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【摘要】概率論是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律演繹的研究，它的一些原理和知識(shí)普遍應(yīng)用于生活的點(diǎn)點(diǎn)滴滴，如生活中的抓鬮問(wèn)題、福利彩票的中獎(jiǎng)問(wèn)題、賭博時(shí)賭注的合理分配問(wèn)題等.基于對(duì)這些問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，文章從概率論的角度出發(fā)，結(jié)合具體的事例，對(duì)生活中的概率問(wèn)題進(jìn)行了探討.

【關(guān)鍵詞】概率論;條件概率;古典概型;貝葉斯公式;數(shù)學(xué)期望

【基金項(xiàng)目】廣東茂名幼兒師范專(zhuān)科學(xué)校2020年度教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——新版課程標(biāo)準(zhǔn)和教資國(guó)考背景下的《小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)》的課程設(shè)計(jì)與教材建設(shè)（2020GMYSKT02）

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門(mén)重要的數(shù)學(xué)分支，它源于生活，也用于生活.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展以及計(jì)算機(jī)的普及，概率論不僅被廣泛用于各行各業(yè)，為分析社會(huì)現(xiàn)象、研究自然科學(xué)、處理公共事業(yè)提供了極大的幫助，在生活中也發(fā)揮著越來(lái)越廣泛的作用.事實(shí)證明，生活中處處存在著概率，而且生活中的概率問(wèn)題往往讓我們意想不到.那么怎樣學(xué)會(huì)運(yùn)用概率知識(shí)來(lái)解決生活中的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題呢？下面結(jié)合本人多年的教學(xué)實(shí)踐談?wù)劯怕收撛谏钪械囊恍┖?jiǎn)單應(yīng)用.

一、彩票問(wèn)題

雙色球彩票是中國(guó)福利彩票的一種，開(kāi)獎(jiǎng)規(guī)則是從33個(gè)紅色球中選6個(gè)再加上從16個(gè)藍(lán)色球中選1個(gè)，一共7個(gè)數(shù)字組成一注.開(kāi)獎(jiǎng)后按號(hào)碼重合個(gè)數(shù)決定獎(jiǎng)金等級(jí)，這其中是不論順序的，號(hào)碼對(duì)了即可.獎(jiǎng)金等級(jí)分為一、二、三、四、五、六等獎(jiǎng)：一等獎(jiǎng) 6紅1藍(lán)，浮動(dòng)獎(jiǎng)金;二等獎(jiǎng)6紅0藍(lán)，浮動(dòng)獎(jiǎng)金;三等獎(jiǎng)5紅1藍(lán)，3000元;四等獎(jiǎng)5紅0藍(lán)或4紅1藍(lán)，200元;五等獎(jiǎng)4紅0藍(lán)或3紅1藍(lán)，10元;六等獎(jiǎng)0紅1藍(lán)或2紅1藍(lán)或1紅1藍(lán)，5元.浮動(dòng)獎(jiǎng)金是根據(jù)當(dāng)期的銷(xiāo)售情況來(lái)定的，如2010年一、二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金平均值分別為696萬(wàn)元、23.4萬(wàn)元.

根據(jù)上表容易算出雙色球的總中獎(jiǎng)率P≈0.067，說(shuō)明100人各買(mǎi)一注的話，約有6人會(huì)中獎(jiǎng).由于中五等獎(jiǎng)的概率為7.76×10-3<0.01，故中五等獎(jiǎng)是一個(gè)小概率事件，根據(jù)小概率事件原理知道，小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中一般不會(huì)發(fā)生，只有在大量實(shí)驗(yàn)后方可發(fā)生.所以一般情況下你買(mǎi)的少量幾注彩票是不會(huì)中獎(jiǎng)的.

那么當(dāng)你拿出2元買(mǎi)一注彩票時(shí)，你獲利的期望值是多少呢？下面以2010年的浮動(dòng)獎(jiǎng)金計(jì)算如下：

5.64×10^-8×6960000+8.46×10^-7×234000+9.14×10^-6×3000+4.34×10^-4×200+7.76×10^-3×10+5.89×10^-2×5+（1-0.067）×（-2）≈-0.789.

即買(mǎi)一注彩票獲利的期望值為 -0.789元，說(shuō)明我們每買(mǎi)一注雙色球彩票平均損失0.789元，買(mǎi)得越多越逃不出這個(gè)宿命，所以福彩中心永遠(yuǎn)是贏家.如果三、四、五、六等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金不變，要想獲利期望值為零，也就是不賺不虧，那么一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金要定位為16251600元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金要為546390元.而福彩中心已經(jīng)明文規(guī)定一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金不超過(guò)一千萬(wàn)，這樣才會(huì)保住他們募集福利資金的宗旨.

二、抓鬮問(wèn)題

在生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些抓鬮、抽簽的問(wèn)題，有人會(huì)想到先抽者有利，正所謂“先下手為強(qiáng)”，但是真的是這樣嗎？ 下面我們先解決如下問(wèn)題.

例1 n個(gè)人用摸彩的方式?jīng)Q定誰(shuí)得到一張電影票，他們依次摸彩，求第k（k≤n）個(gè)人摸到電影票的概率.

分析 這是一個(gè)條件概率問(wèn)題，第k個(gè)人摸到，說(shuō)明前（k-1）個(gè)人都沒(méi)有摸到，第二人摸時(shí)是在第一人沒(méi)摸到的條件下進(jìn)行的，同樣第三人摸時(shí)是在第一和第二人同時(shí)沒(méi)摸到的條件下進(jìn)行的，以此類(lèi)推.

解 令A(yù)i=“第i個(gè)人摸到票”，i=1，2，3，…，（k-1），k，第k個(gè)人摸到，說(shuō)明前（k-1）個(gè)人都沒(méi)有摸到，故第k人摸到的概率為

P[ZK（]=P（A1A2…Ak-1Ak）=[ZK（]P（A1）P（A2A1）P（A3A1A2）…

P（Ak-1A1A2…Ak-2）P（AkA1A2…Ak-1）[ZK）]=n-1n×n-2n-1×n-3n-2×…×n-（k-1）n-（k-2）×1n-（k-1）=1n，[ZK）]

可見(jiàn)每個(gè)人摸到電影票的概率都是一樣的，與摸的順序無(wú)關(guān).

一般地，有下列結(jié)論：若n個(gè)簽中有m（1

三、生日問(wèn)題

例2 著名生日問(wèn)題：從一個(gè)較大的人群中隨機(jī)地選取n（n≤365）個(gè)人，求其中至少有兩個(gè)人的生日相同的概率.

分析 兩人的生日相同是指兩人出生于一年內(nèi)的同一天，如果排除主觀因素，認(rèn)為生產(chǎn)是自然現(xiàn)象，即每個(gè)孩子在哪天出生都是等可能的，本題是一個(gè)古典概型問(wèn)題.

解 設(shè)A=“n人中至少有兩人生日相同”，則A-=“n人中沒(méi)有兩人生日相同”，假定一年以365天計(jì)算，一個(gè)人的生日可以是365天中的任一天，即有365種情況，故n 個(gè)人的生日情況包含365n個(gè)基本事件.

n個(gè)人中沒(méi)有兩人同一天生日，就相當(dāng)于從365天中任意選出n天的排列，即含Cn365·n！個(gè)基本事件，故有

P（A-）=Cn365·n！365n=365！365n（365-n）！，

所以

P（A）=1-P（A-）=1-365！365n（365-n）！.

當(dāng)n較大時(shí)，上式計(jì)算量很大，下表列出一些具體數(shù)值：

從上表容易看出，一個(gè)有50個(gè)學(xué)生組成的班集體，至少有兩人生日相同的可能性竟然高達(dá)97%，這是難以想象的.

四、比賽問(wèn)題

乒乓球比賽規(guī)則有3賽2勝制、5賽3勝制和7賽4勝制等，在實(shí)戰(zhàn)中選擇哪種規(guī)則對(duì)自己更有利，選擇哪種規(guī)則對(duì)參賽雙方較為公平，這些問(wèn)題都是參賽者和組織者關(guān)注的問(wèn)題.

例3 甲、乙兩乒乓球運(yùn)動(dòng)員在一場(chǎng)比賽中，甲勝的概率為0.52，乙勝的概率為0.48.試計(jì)算3賽2勝制和5賽3勝制哪個(gè)對(duì)甲更有利.（假設(shè)3賽2勝制和5賽3勝制分別打完3場(chǎng)和5場(chǎng)）

解 令A(yù)=“一場(chǎng)比賽，甲勝”，

則P（A）=0.52，P（A-）=0.48.

（1）對(duì)于3賽2勝制：可以看作是n=3的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此時(shí)甲勝的概率為

P3（m≥2）=C23×0.522×0.481+C33×0.523=0.529984.

（2）對(duì)于5賽3勝制：可以看作是n=5的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此時(shí)甲勝的概率為：

P5（m≥3）[ZK（]=C35×0.523×0.482+C45×0.524×0.48+C55×0.525≈0.537460.[ZK）]可見(jiàn)P5（m≥3）>P3（m≥2），即5賽3勝制對(duì)甲更有利.

這表明，如果本方每局獲勝的概率比對(duì)方的概率大，那么多比賽幾局對(duì)本方來(lái)說(shuō)是有利的.但從公平的角度而言，3賽2勝制比5賽3勝制更公平、合理.

五、合理分配賭注問(wèn)題：

2002年中央電視臺(tái)第10頻道與觀眾互動(dòng)節(jié)目中有這樣的一個(gè)題目：

例4 甲、乙兩人各出賭資5個(gè)金幣，形成10個(gè)金幣的賭資.規(guī)定最先贏得5局的人獲勝.現(xiàn)在進(jìn)行了7局，甲贏了4局，乙贏了3局，因故不得不終止比賽.問(wèn)：這些賭資應(yīng)如何分配？

當(dāng)時(shí)問(wèn)了演播廳的三位觀眾，都說(shuō)按47和37分配合理.

事實(shí)上，從概率論的角度思考，兩人在每一局獲勝的概率都一樣，即12.

現(xiàn)假定再比賽一局（第8局）.

甲的形勢(shì)是：若甲贏了第8局，則得到全部10個(gè)金幣，但贏的概率是12，所以期望值是5個(gè)金幣;若甲輸了，那么甲、乙打平，甲得5個(gè)金幣，但輸?shù)舻母怕室彩?2，故期望值是2.5個(gè)金幣.合計(jì)共得7.5個(gè)金幣.

乙的形勢(shì)是：若乙贏了第8局，則得到5個(gè)金幣，但贏的概率是12，故期望值是2.5個(gè)金幣;若是輸了，則得到0個(gè)金幣.

解 令ξ表示第8局結(jié)束后甲能得到的金幣數(shù)，由于甲輸贏的概率都是12，贏了ξ=10，輸了ξ=5，即ξ服從的分布表為：

令η表示第8局結(jié)束后乙能得到的金幣數(shù)，由于乙輸贏的概率都是12，贏了η=5，輸了η=0，即η服從的分布表為：

故ξ與η的數(shù)學(xué)期望分別為：10×12+5×12=7.5，5×12+0×12=2.5.

即甲、乙兩人應(yīng)分別得到7.5個(gè)金幣和2.5個(gè)金幣.

這是帕斯卡分配賭金的故事，最早于1494年由意大利數(shù)學(xué)家帕喬利提出，16世紀(jì)中期的卡爾達(dá)諾和塔爾塔利亞等人也討論過(guò)這類(lèi)問(wèn)題.17世紀(jì)中葉法國(guó)人梅雷向數(shù)學(xué)家帕斯卡重提這類(lèi)問(wèn)題，引起帕斯卡與另一位數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在1654年7月至10月間的通信討論，數(shù)學(xué)史上稱(chēng)這些通信為最早的概率論文獻(xiàn).

六、追究責(zé)任問(wèn)題

現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常會(huì)遇到一些責(zé)任問(wèn)題，這些問(wèn)題追究起來(lái)往往是比較麻煩的，正所謂“公說(shuō)公有理，婆說(shuō)婆有理”.如何合理地解決這些問(wèn)題？筆者認(rèn)為這些問(wèn)題大多屬于逆概率問(wèn)題，也就是說(shuō)現(xiàn)在是問(wèn)題出現(xiàn)了（即某事件已經(jīng)發(fā)生），在這樣條件下，如果能計(jì)算出各方參與這件事的概率有多大，問(wèn)題便可解決.

例5 倉(cāng)庫(kù)有10000個(gè)產(chǎn)品，分別為甲廠5000個(gè)，乙廠3000個(gè)，丙廠2000個(gè)，次品率分別為1%，2%和0.5%.

（1）求倉(cāng)庫(kù)里全部產(chǎn)品的次品率;

（2）若倉(cāng)庫(kù)規(guī)定：生產(chǎn)了次品要追究工廠的經(jīng)濟(jì)責(zé)任.現(xiàn)在在倉(cāng)庫(kù)中任取一個(gè)產(chǎn)品，結(jié)果為不合格，但這個(gè)產(chǎn)品是哪個(gè)工廠生產(chǎn)的標(biāo)志已經(jīng)脫落，問(wèn)：倉(cāng)庫(kù)該如何處理這個(gè)產(chǎn)品比較合理？甲、乙、丙分別應(yīng)承擔(dān)多大的經(jīng)濟(jì)責(zé)任？

解 （1）令A(yù)=“任取一個(gè)為次品”，B1=“任取一個(gè)為甲廠產(chǎn)品”，B2=“任取一個(gè)為乙廠產(chǎn)品”，B3=“任取一個(gè)為丙廠產(chǎn)品”.

（2）從概率論的角度考慮，按概率P（Bi|A）的大小來(lái)追究工廠的經(jīng)濟(jì)責(zé)任較為合理，而

可見(jiàn)乙廠責(zé)任較大，丙廠責(zé)任較小.如果說(shuō)要罰款10000元，那么甲、乙、丙分別應(yīng)承擔(dān)4170元、5000元和830元才合理.

P（Bi|A）=P（Bi）P（A|Bi）P（A）（i=1，2，…，n）叫作貝葉斯公式（也叫逆概率公式），其中P（Bi）叫作先驗(yàn)概率，是長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)知道的結(jié)果，而P（Bi|A）叫作后驗(yàn)概率，是醫(yī)生常用的結(jié)論.這公式是英國(guó)醫(yī)生貝葉斯發(fā)現(xiàn)的，最初用于醫(yī)學(xué)的疾病診斷，現(xiàn)在被廣泛應(yīng)用于市場(chǎng)預(yù)測(cè)、安全監(jiān)控等.

上述僅從生活的角度探討了概率知識(shí)在人們生活中的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用，事實(shí)上，概率論在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)、軍事科學(xué)及農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域都有著不可缺少的作用.直觀地說(shuō)，衛(wèi)星上天、導(dǎo)彈巡航、飛機(jī)制造、宇宙飛船遨游太空等都有概率論的一份功勞.概率論作為理論嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)分支正日益受到人們的重視，并將隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而發(fā)展.

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