胡文燕

【摘要】《數(shù)學(xué)建?！肥歉鞲咝?shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)課程，一直以來(lái)深受廣大師生關(guān)注，但在課堂教學(xué)中卻存在著諸多問(wèn)題.為充分調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，更快更好地提高線(xiàn)上線(xiàn)下相結(jié)合的混合式課堂教學(xué)的靈活性和教學(xué)效果，文章通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的模型假設(shè)、模型建立、模型求解進(jìn)行探討，結(jié)合實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將碎片化學(xué)習(xí)理念融入實(shí)際課堂教學(xué)中，并通過(guò)建模案例給出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】碎片化;關(guān)鍵詞;建模目的;求解方法

【基金項(xiàng)目】山西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題資助項(xiàng)目（GH-16107）;晉中學(xué)院教學(xué)改革與研究項(xiàng)目（Jg201914）;晉中學(xué)院“數(shù)學(xué)建?！眱?yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)資助項(xiàng)目;山西省高等學(xué)校教學(xué)改革創(chuàng)新項(xiàng)目（J2020319）

一、引 言

數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，它可以迅速地發(fā)展并滲透到各個(gè)新的專(zhuān)業(yè)和領(lǐng)域，為不同專(zhuān)業(yè)和領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用和問(wèn)題研究提供合理有效的解決方案和解決方法，幾乎所有問(wèn)題、所有課題的解決都離不開(kāi)數(shù)學(xué)建模[1].但在實(shí)際教學(xué)中，卻存在著很多問(wèn)題，學(xué)生對(duì)建模方法的掌握往往不夠透徹，有很多學(xué)生會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)建模課程不像其他專(zhuān)業(yè)課程那樣系統(tǒng)，各章節(jié)之間也沒(méi)有承上啟下，環(huán)環(huán)相扣，而是整體表現(xiàn)得零零碎碎，相互獨(dú)立[2].

2020年初，突如其來(lái)的疫情打亂了各高校、各行業(yè)的既定步伐，為切實(shí)確保各高校全體師生的生命安全和學(xué)生的身體健康，各高校多次推遲了開(kāi)學(xué).在此期間，本著“停課不停教、停課不停學(xué)”的原則，各專(zhuān)業(yè)、各學(xué)科根據(jù)各自的專(zhuān)業(yè)特點(diǎn)，積極實(shí)行了線(xiàn)上網(wǎng)絡(luò)課堂教學(xué).

與傳統(tǒng)教學(xué)相比，線(xiàn)上教學(xué)更加彰顯了學(xué)生的主體地位，而學(xué)生對(duì)線(xiàn)上教學(xué)的態(tài)度，直接影響到教學(xué)成效.線(xiàn)上教學(xué)更需要學(xué)生積極主動(dòng)思考，自主查閱資料，分組研討，這也就要求學(xué)生投入大量的時(shí)間和精力.那么，如何充分引導(dǎo)全體學(xué)生發(fā)自肺腑地自主參與學(xué)習(xí)，如何充分調(diào)動(dòng)全體學(xué)生的自主學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性就迫在眉睫，這也是研究性教學(xué)必須認(rèn)真考慮的主要因素和問(wèn)題.

二、數(shù)學(xué)建模課堂的教學(xué)探討

為了有效提高數(shù)學(xué)建模課程的實(shí)用性和教學(xué)效果，引導(dǎo)全體學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，只有從最根本的角度出發(fā)，讓全體學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)建模的基本方法，一切困難才能迎刃而解，這就要求教師在課堂講授的過(guò)程中，面對(duì)無(wú)從下手的問(wèn)題，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生巧妙結(jié)合數(shù)學(xué)模型來(lái)自實(shí)際又有別于實(shí)際這個(gè)特性，將實(shí)際問(wèn)題碎片化[3]，再一一擊破，最終找到建模過(guò)程中模型假設(shè)、模型建立及模型求解的突破點(diǎn)，并構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型.

（一）“關(guān)鍵詞”在模型假設(shè)中的作用

眾所周知，模型假設(shè)在整個(gè)建模過(guò)程中起著至關(guān)重要的作用，模型假設(shè)的必要和合理程度，直接關(guān)系到建模的成敗.[4]但在許多實(shí)際問(wèn)題的建模過(guò)程中，學(xué)生往往是一頭霧水，尤其面對(duì)看似簡(jiǎn)單的開(kāi)放性題目，更是一籌莫展，無(wú)從下手.為了消除學(xué)生心中這種困惑，使他們面對(duì)實(shí)際問(wèn)題能夠充分發(fā)揮想象力，給出合理全面的簡(jiǎn)化假設(shè)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目，將所給題目碎片化，找出題目語(yǔ)句中的所有關(guān)鍵詞，并針對(duì)關(guān)鍵詞逐個(gè)研究，結(jié)合題目中所給的實(shí)際問(wèn)題，一一給出適當(dāng)合理的假設(shè).

現(xiàn)在以模型“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？[5]”和模型“雙層玻璃窗的功效[5]”為例具體闡述.

1.以“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？”為例

該問(wèn)題只有短短幾個(gè)字，這會(huì)令大部分學(xué)生陷入迷茫，不知從何處下手，此時(shí)可將其關(guān)鍵詞一一列出，并逐一給出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).

首先，“椅子”是這句話(huà)中的主語(yǔ)，是當(dāng)之無(wú)愧的關(guān)鍵詞.生活中的椅子多種多樣，無(wú)論是材質(zhì)還是形狀都各有不同，但若想建立數(shù)學(xué)模型解決這個(gè)問(wèn)題，就必須對(duì)“椅子”做出明確、具體的假設(shè).由題目所指，其關(guān)注的是椅子能否放穩(wěn)的問(wèn)題，故重點(diǎn)在于椅腳，而對(duì)椅面的形狀卻不必要求.結(jié)合實(shí)際情況，日常生活中的椅子大多是四條腿的，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可假設(shè)椅子有四條腿，并將椅子四條腿的長(zhǎng)度看成完全一樣的.若將椅腳與地面接觸處視為一個(gè)點(diǎn)，并取規(guī)則的平面中心對(duì)稱(chēng)圖形——正方形作為椅腳連線(xiàn)所構(gòu)成的圖形，就可以巧妙地將“椅子”與“正方形”聯(lián)系起來(lái)，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái).

其次，“不平的地面”也是五花八門(mén)、各種各樣，甚至?xí)信_(tái)階這樣的情況出現(xiàn).秉承合理簡(jiǎn)單的原則，可將地面高度看成連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)斷裂，從而可將“不平的地面”視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面，并且它是相對(duì)平坦的.

最后，“放穩(wěn)”這個(gè)關(guān)鍵詞是該問(wèn)題的關(guān)鍵，為了能借助數(shù)學(xué)工具證明椅子能否在不平的地面上放穩(wěn)，就必須用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述“放穩(wěn)”這個(gè)特征.因?yàn)楫?dāng)椅子穩(wěn)穩(wěn)地放在地面上時(shí)，其四只椅腳都是緊緊著地的，所以，可先假設(shè)椅子的椅腳只有三只腳同時(shí)著地，這樣就大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題，并使得問(wèn)題更加明朗.

2.以“雙層玻璃窗的功效”為例

乍一看這個(gè)題目不像是一個(gè)問(wèn)題，不同于上一個(gè)模型是用問(wèn)句呈現(xiàn)的，此處更像是一個(gè)標(biāo)題.但其實(shí)不難想到，這個(gè)模型是要研究我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ?jiàn)的雙層玻璃窗的功效如何.

同前一個(gè)模型一樣，大部分同學(xué)會(huì)一頭霧水，不知道從哪里入手，這就需要我們一一找出關(guān)鍵詞，逐個(gè)攻破.

這里有三個(gè)“關(guān)鍵詞”：“雙層”“玻璃窗”和“功效”.先來(lái)看“雙層”：現(xiàn)實(shí)生活中，北方大部分城市建筑物的窗戶(hù)都是雙層玻璃的，也就是說(shuō)窗戶(hù)上裝有兩層玻璃.細(xì)心觀(guān)察，會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩層玻璃并不是緊緊挨在一起的，它們中間有一定的空隙.那么，這個(gè)空隙中有什么呢？毋庸置疑，是空氣.清楚雙層玻璃窗的結(jié)構(gòu)以后，就要求我們?cè)谀Ｐ图僭O(shè)時(shí)，必須考慮雙層玻璃之間的距離，距離的選擇一定是最終玻璃窗功效的必要因素.

再看第二個(gè)關(guān)鍵詞“玻璃窗”：玻璃窗的安設(shè)目的是保暖，而市場(chǎng)上的玻璃五花八門(mén)，品種煩多，玻璃的材質(zhì)不同，厚度不同，其保暖效果自然也就不同.那么，如何選擇玻璃，玻璃的材質(zhì)、材質(zhì)均勻程度和厚度對(duì)保暖效果又起到了多大的作用，都是我們需要研究的因素.

最后一個(gè)關(guān)鍵詞“功效”：指的是保暖效果到底有多好.結(jié)合物理學(xué)的知識(shí)我們知道，想要了解玻璃窗能多大程度的保暖，就是要研究熱量是如何在室內(nèi)有取暖措施的情況下，通過(guò)玻璃窗流失的，這就涉及了物理學(xué)中熱量傳導(dǎo)的問(wèn)題.制作工藝不同的玻璃，其各個(gè)點(diǎn)的熱傳導(dǎo)系數(shù)也不同，為簡(jiǎn)單計(jì)，我們假設(shè)玻璃窗的玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù).因?yàn)殡p層玻璃窗不僅有玻璃，還有空氣，所以我們除了要研究玻璃的熱傳導(dǎo)以外，還必須考慮熱量通過(guò)空氣的傳導(dǎo).

為了更好地突顯雙層玻璃窗的功效顯著，我們可以將其與單層玻璃窗進(jìn)行比較，用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà).為了公平起見(jiàn)，可設(shè)單層玻璃窗的玻璃厚度是雙層玻璃窗玻璃厚度d的2倍，如圖1：

我們假設(shè)，雙層玻璃窗中間所夾空氣的厚度為l，為簡(jiǎn)單計(jì)，假設(shè)窗戶(hù)的密閉性很好，兩層玻璃之間所夾的空氣是不流動(dòng)的，也就是說(shuō)，此處熱量的傳播過(guò)程只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流;室內(nèi)、室外溫度分別為T(mén)1，T2，熱傳導(dǎo)已經(jīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，室內(nèi)、室外溫度保持不變.這樣我們就順利地從三個(gè)“關(guān)鍵詞”入手，合理地對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)化，巧妙地將其用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述了出來(lái).

（二）建模目的是模型構(gòu)建的切入點(diǎn)

對(duì)問(wèn)題有了合理的假設(shè)后，就需根據(jù)對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型，但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)驗(yàn)不夠豐富，知識(shí)儲(chǔ)備不夠充足，往往不知從哪里入手，這就需要教師從模型建立的目的出發(fā)，一點(diǎn)一點(diǎn)引導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生找到模型建立的切入點(diǎn).仍以模型“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？”和模型“雙層玻璃窗的功效”為例.

第一個(gè)模型“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？”中，“放穩(wěn)”的意思可以很簡(jiǎn)單地理解為椅子的四只椅腳同時(shí)著地，也就是四只椅腳與地面的距離都為零.而椅腳與地面的距離恰恰與椅子的位置有關(guān)，若我們能用正確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確地描述椅子的位置，那么就說(shuō)明我們可以把“椅子四只腳同時(shí)著地”的所有條件和所得出的結(jié)論都用正確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確地表示了出來(lái).

注意到椅腳連線(xiàn)呈正方形，而正方形是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，當(dāng)椅子位置發(fā)生改變時(shí)，正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)的角度正好代表了椅子位置的改變，那么我們就可以用位置變量θ來(lái)描述椅子的位置.進(jìn)一步地，可假設(shè)A，C兩腳與地面距離之和為f（θ），B，D兩腳與地面距離之和為g（θ），這樣我們就找到了模型建立的關(guān)鍵——數(shù)量指標(biāo)，從而構(gòu)建該實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型就變得非常容易了.

這個(gè)模型的巧妙之處就在于用變量θ表示椅子的位置，用θ的兩個(gè)函數(shù)表示四腳與地面的距離，而這都得益于對(duì)模型建立的目的這個(gè)切入點(diǎn)的分析研究.

第二個(gè)模型“雙層玻璃窗的功效”中，建模目的是通過(guò)比較單層玻璃窗和雙層玻璃窗的熱量流失，研究雙層玻璃窗的“功效”.

熱傳導(dǎo)過(guò)程遵循物理學(xué)中的物理定律：厚度為d的均勻介質(zhì)，兩側(cè)溫度差為ΔT，則單位時(shí)間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過(guò)單位面積的熱量Q與ΔT成正比，與d成反比，即

Q=k（ΔT/d）.

接下來(lái)只需要分別求出雙層玻璃窗和單層玻璃窗各自單位時(shí)間通過(guò)單位面積的熱量，并進(jìn)行比較即可.雖然一個(gè)房間的熱量流失不僅僅通過(guò)玻璃窗，還可以通過(guò)天花板、地面、墻壁等介質(zhì)流失，但這個(gè)模型已經(jīng)足夠證明雙層玻璃窗確實(shí)比單層玻璃窗在保暖方面更勝一籌，功效顯著.

由此可見(jiàn)，教會(huì)學(xué)生如何從建模目的出發(fā)找到模型構(gòu)建的切入點(diǎn)是何等重要.

（三） 模型求解方法的選擇

數(shù)學(xué)模型的形式多種多樣，或者是數(shù)學(xué)公式、圖表、微分方程組，或者是一種算法，不同類(lèi)型、不同形式的數(shù)學(xué)模型有著各自不同的求解方法，但也有一類(lèi)數(shù)學(xué)模型，雖然模型形式相同，但有的模型變量特征不同，有的模型變量個(gè)數(shù)不同，有的模型建模目的不同，這時(shí)它們的求解方法也截然不同.

1.微分方程模型的求解

微分方程模型[5]是一類(lèi)描述實(shí)際對(duì)象隨時(shí)間（或空間）演變過(guò)程，分析其變化規(guī)律，預(yù)測(cè)其未來(lái)性態(tài)的動(dòng)態(tài)模型.經(jīng)典的指數(shù)增長(zhǎng)模型（Malthus模型）和阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）都是以微分方程形式呈現(xiàn)的.

其中，x（t）為t時(shí)刻的人口，r為人口的固有增長(zhǎng)率，xm為環(huán)境所能容納的最大人口數(shù)量.

這兩個(gè)模型構(gòu)建的目的都是為預(yù)測(cè)t時(shí)刻人口的數(shù)量，故模型求解均是直接求微分方程的解，以此來(lái)預(yù)測(cè)人口.

但還有一類(lèi)模型，雖也是以微分方程形式呈現(xiàn)的，但求解方法卻大不相同.以模型“種群的相互競(jìng)爭(zhēng)[5]”為例，我們假設(shè)甲、乙兩個(gè)種群在各自獨(dú)立生存時(shí)，都遵從Logistic規(guī)律，那么t時(shí)刻兩種群的數(shù)量x1（t），x2（t）滿(mǎn)足：

其中r1，r2分別為甲、乙兩個(gè)種群的固有增長(zhǎng)率，N1，N2是最大容量，單位數(shù)量的乙（甲）種群消耗供給甲（乙）種群的食物數(shù)量是單位數(shù)量的甲（乙）種群消耗供給乙（甲）種群的食物數(shù)量的σ1（σ2） 倍.

這個(gè)模型與Malthus模型及Logistic模型相比，形式是一樣的，都是微分方程，但因?yàn)樵撃Ｐ蜆?gòu)建的目的是若干年后兩個(gè)相互競(jìng)爭(zhēng)種群的演變結(jié)局，所以在對(duì)該模型進(jìn)行求解時(shí)，并不需要直接對(duì)微分方程進(jìn)行求解，而是運(yùn)用微分方程的穩(wěn)定性理論，直接研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，這也大大簡(jiǎn)化了模型的求解.

由此可見(jiàn)，即便模型的形式是一樣的，但若是建模的目的不同，求解方法也是大不相同的.

2.數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的求解

數(shù)學(xué)規(guī)劃模型[5]是一類(lèi)優(yōu)化模型，建立優(yōu)化模型需要確定優(yōu)化的目標(biāo)和尋求的決策.實(shí)際生活中，很多問(wèn)題歸結(jié)出的優(yōu)化模型，其決策變量個(gè)數(shù)和約束條件個(gè)數(shù)一般都比較大，這樣就不能簡(jiǎn)單地用微分法求解，需要用到數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法.本文就典型的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型——運(yùn)輸問(wèn)題和指派問(wèn)題進(jìn)行研究，探討其模型求解方法的不同.

運(yùn)輸問(wèn)題是線(xiàn)性規(guī)劃應(yīng)用最廣泛的領(lǐng)域之一，以產(chǎn)銷(xiāo)平衡運(yùn)輸問(wèn)題為例，其數(shù)學(xué)模型形式如下：

該模型雖是一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃模型，但其結(jié)構(gòu)卻具有特殊性，它含有m×n個(gè)變量，（m+n）個(gè)約束，約束條件系數(shù)矩陣的元素都等于0或1，模型的變量和約束均較多，故不適合用常規(guī)求解線(xiàn)性規(guī)劃模型的單純方法求解，而采用表上作業(yè)法求解這一類(lèi)產(chǎn)銷(xiāo)平衡的運(yùn)輸問(wèn)題.

進(jìn)一步，如果所有的決策變量不再僅僅是非負(fù)約束，而是0-1變量，又有模型中m=n，此時(shí)上述模型可寫(xiě)為：

很顯然，這是典型的指派問(wèn)題，它是一種特殊的平衡運(yùn)輸問(wèn)題，此處可將每個(gè)生產(chǎn)地的產(chǎn)量和每個(gè)銷(xiāo)售地的銷(xiāo)量都看作1，由于其結(jié)構(gòu)的特殊性，不再用表上作業(yè)法，可用更為簡(jiǎn)便的匈牙利算法進(jìn)行求解.

再有，如果約束條件不全是等式，m≠n，建立0-1規(guī)劃模型是常用方法，由于任務(wù)的數(shù)量與能夠承擔(dān)的人員數(shù)量不一定相等，約束條件不再都是等式約束，故匈牙利算法不再適用，我們可以選擇Lingo數(shù)學(xué)軟件對(duì)其進(jìn)行求解.

綜合上述，同樣都是數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，如果變量個(gè)數(shù)不同，類(lèi)型不同，或者約束條件不同，那么即便其形式很相似，求解方法也截然不同.這就要求教師在課堂教學(xué)中針對(duì)不同的數(shù)學(xué)模型，詳盡分析其模型形式，建模目的的異同，從而選取適合的求解方法.

三、 結(jié) 語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)一直是備受關(guān)注的重要課題，為了真正地將建模方法教給學(xué)生，教給學(xué)生如何真正地借助數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題，就一定要認(rèn)真鉆研教材、研究教法，從提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性出發(fā)，將碎片化教學(xué)理念巧妙融入實(shí)踐教學(xué)中，線(xiàn)上線(xiàn)下相結(jié)合，真正提高教學(xué)質(zhì)量.

【參考文獻(xiàn)】

[1]唐婭嫻.數(shù)學(xué)建模思想對(duì)大學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的影響[J].科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊，2017（8）：160.

[2]尹裴，關(guān)曉飛.數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)實(shí)踐研究[J].教育教學(xué)論壇，2016（37）：75-76.

[3]郭亞娜，丁振國(guó)，李尚富.探究“碎片化”教學(xué)資源設(shè)計(jì)原則與建設(shè) [J].科技展望，2016（35）：161-162.

[4]趙建昕.提高數(shù)學(xué)建模能力的策略研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13（3）：50-51.

[5]姜啟源.數(shù)學(xué)模型：第四版[M].北京：高等教育出版社，2011.