陳添明，姚占磊，張 竟

（三一汽車制造有限公司，湖南 長沙 410000）

［關鍵字］伸縮折臂式高空作業(yè)車、工作空間計算方法、蒙特卡洛法

高空作業(yè)平臺車的作用廣泛應用于市政建設、消防救護、建筑裝飾以及造船、石油、化工、航空等行業(yè)。它具有機動靈活、覆蓋面廣、到達作業(yè)地點能迅速投入工作等優(yōu)點。其最重要的參數(shù)之一為工作平臺作業(yè)范圍，即在汽車底盤不移動的情況下，工作平臺可以將人或器材運達的范圍。因此，研究高空作業(yè)平臺的可達空間，避免出現(xiàn)作業(yè)死區(qū)是十分重要的。

雖然高空作業(yè)平臺的作業(yè)范圍與機器人機械臂的工作空間在計算和求解上是屬于同一類問題，但是高空作業(yè)平臺的作業(yè)范圍研究文獻卻很少。機器人機械臂的工作空間解法［1-3］通常有繪圖法、解析法、數(shù)值法。繪圖法是基于幾何關系用CAD軟件直接繪制工作范圍曲線的方法，常用于自由度少的平面問題。解析法是基于公式表達式計算的工作空間計算方法，也是常用于自由度較少的情況，當自由度較多時公式復雜從而難以計算。數(shù)值法以極值理論和優(yōu)化方法為基礎，計算工作空間邊界上的特征點，從而構成的工作空間邊界曲線或曲面。該方法理論簡單，操作性強，適合編程求解，但所得空間的準確性與取點的多少有很大的關系，而且點太多會受到計算機速度的影響。典型的工作空間數(shù)值法有搜索法、迭代法和蒙特卡洛法［4-6］。

相比于機器人機械臂的工作空間計算，高空作業(yè)平臺的工作空間計算具有一定不同點：1）屬于大型機械，長達幾十米甚至上百米；2）多個轉(zhuǎn)動與多個滑動運動自由度相結合；3）工作平臺轉(zhuǎn)動自由度需要自動調(diào)為水平。本文擬用蒙特卡洛數(shù)值法，把高空作業(yè)平臺進行簡化為6個自由度的運動學模型，研究其工作范圍的計算和評估方法，為大型工程機械的工作空間范圍計算提供一定 參考。

1 模型和方法

1.1 高空作業(yè)平臺分析模型

本文研究對象如圖1。

圖1所示為高空作業(yè)平臺的標準姿態(tài)，其主要分為下車、轉(zhuǎn)臺、上車3大部分。上車結構可分為1號臂的1～5節(jié)臂、2號臂的1～2節(jié)臂、3號臂、工作平臺一共9個物體。

圖1 高空作業(yè)平臺車設計圖

根據(jù)研究目的，做如下簡化：（1）忽略下車和轉(zhuǎn)臺，僅考慮變幅平面內(nèi)的影響，簡化為平面二維問題，以1號臂根鉸點為原點；（2）忽略臂節(jié)間的變幅和展開油缸，用轉(zhuǎn)角變量代替油缸伸縮行程變量；（3）由于1號臂的5個臂節(jié)間靠油缸和繩排進行同步伸縮運動，實際是1個自由度，把1號臂的5個臂簡化為2個物體。簡化后的模型如圖2。

圖2 高空作業(yè)平臺車分析模型簡化圖

簡化模型包含6個物體：1號臂2個物體OA和AB，初始長度為；二號臂2個物體BC和CD，初始長度為LBD；三號臂1物體DE，初始長度為LDE；工作平臺1物體EFG，其中EF為工作平臺底部，要求保持水平角度，G點為工作平臺最外側頂點。

1號臂的OA和AB相對滑移鉸自由度用s1表示。OA相對于水平轉(zhuǎn)角用α表示。AB和BC夾角用β表示。BC和CD相對滑動用s2表示。CD和DE夾角用γ表示。DE和EF夾角用θ表示。模型一共6個自由度：s1，α，β，s2，γ，θ。

以下推導工作平臺G點位置的計算公式。

初始時刻位姿時

記初始時刻矢量

其中 φ0為工作平臺∠GEF角度，為已知量。

分別記角度α，β，γ，θ變換的方向余弦陣為

則工作平臺G點的表達式為

由于要求工作平臺時刻保持水平，有角度關系補充方程

因此，實際上是5個自由度的求解。

1.2 工作空間蒙特卡洛法

蒙特卡洛法（Monte Carlo Method），又叫做統(tǒng)計模擬法，是借助于隨機抽樣（偽隨機數(shù)）進行計算的數(shù)值方法。該方法適合于公式不能直接求解模型較為復雜的情況，只要給定變量的取值范圍，對變量進行隨機離散代入抽象模型，算出解集。

蒙特卡洛法求解工作空間基本步驟如下：

（1）給定6變量的取值范圍，生成偽隨機變量：

（2）隨機生成N點的偽隨機數(shù)代入方程，求解出對應N個姿態(tài)的工作平臺位置。最后把繪制N點坐標值，即為工作平臺的作業(yè)范圍。

當N取值較小時，所求解的空間精度會不足，當N足夠大時，即可獲得滿意的解。解的精度可用點的包絡曲線圖面積進行評價。圖3是工作空間包絡圖示意。

圖3 工作空間包絡線包絡面積計算圖

假設虛線包絡的面積Areal是工作空間真實解。實線為經(jīng)過蒙特卡洛法計算的當前解外圍點包絡線包絡面積Asolve。當

越趨近于1則表明計算的工作空間越逼近真 實解。

包絡線包絡面積的計算可以把包絡線根據(jù)x的最小值和最大值為特征點進行分割投影計算。如上圖所示，A點為x最小值點，D為x最大值點。ABCD連線與x軸的投影A’B’C’D’可分解為3個平行梯形，從而計算出其面積。同理，可以計算出DEFA與x軸圍成的面積。兩面積之差就是當前解包絡線包絡面積Asolve。當包絡區(qū)域跨過x軸即y值有正負時，可對區(qū)域進行y軸正向平移，使得包絡區(qū)域在都在y正向時再計算。這里給出的是連續(xù)閉環(huán)實心的包絡線工作面積計算方法，較為復雜時也可近似分解計算。

然而，隨著自由度的增加，基本算法的解在接近工作空間真實解包絡線的點數(shù)變得稀疏不均勻，不利于逼近真實解。原因是在邊界附近隨機點分布不夠多，取值離散點不足夠引起的。改進的方法如圖4所示。

圖4 變量上下限分割示意圖

思路是對原變量的最大最小值之間進行分割，適當選取分割區(qū)間值作為上下限去生成偽隨機變量，計算對應的工作空間。如上圖示例，實線之間是原變量的上下限區(qū)間，分割后用上下邊界兩套區(qū)間θi1～θi2、θin-1～θin以及中間一些區(qū)間（如可間隔選?。┐嬖瓍^(qū)間生成偽隨機變量后的計算更有利于獲得邊界的解。

2 算例

參數(shù)表如表1。

表1 參數(shù)表

θ自由度為工作平臺調(diào)平角度，其最值是由式（13）確定。

利用以上參數(shù)對高空作業(yè)平臺車進行作業(yè)范圍的計算。研究不同離散計算次數(shù)對結果的影響。

圖5 蒙特卡洛法計算次數(shù)與包絡面積關系圖

為獲得更好的統(tǒng)計數(shù)值，減少誤差，圖5每個離散計算均進行500次，獲取該計算次數(shù)下的工作空間解包絡線面積的平均值。圖5（a）為進行了100次離散計算的工作空間圖示，中間的離散點較為稀疏，包絡線有角尖，不平滑，面積為1484。圖5（b）是800次離散計算工作空間圖示，離散點比圖5（a）的多了，包絡線也光滑，面積為1863。圖5（c）為計算6400次離散點計算工作空間圖示，點數(shù)足夠多，邊界也比圖5（b）光滑，面積為2080。圖5（d）也表示了隨著蒙特卡洛法離散計算點的增加，包絡曲線的面積越來越大，并且逐漸趨近于水平的穩(wěn)定值。說明所求解的工作空間越來越逼近真實解。

為了解改進算法對計算結果的影響，進行同樣500次計算統(tǒng)計，以及相同離散點求解結果的對比。計算結果見圖6。

由圖6（a）、（b）、（c）計算可見，相同次數(shù)的離散計算，改進算法均比基本算法包絡面積都更大些。而且圖6（c）表明，計算結果包絡線比圖5（c）更光滑，離散點分散更到位些。圖6（d）的工作空間包絡面積曲線對比圖更說明了改進算法的有效性。

3 結束語

本文有別于機器人機械臂工作空間的求解，做了3方面的工作：（1）建立了伸縮折臂式高空作業(yè)平臺車的工作空間作業(yè)范圍求解理論模型；（2）提出了用離散點包絡線包絡面積來評估工作空間解的方法；（3）提出了對變量進行分割處理后再進行蒙特卡洛法的工作空間改進算法。這些工作可以為高空作業(yè)平臺車以及類似的機械產(chǎn)品工作空間求解提供一定參考。

圖6 改進蒙特卡洛法計算次數(shù)與包絡面積關系圖