廣東省東莞市中堂鎮(zhèn)實驗中學(xué)

眾所周知,中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課對學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)好數(shù)學(xué),發(fā)展思維能力,是極為重要的,對提高教學(xué)質(zhì)量也是不可或缺的環(huán)節(jié).復(fù)習(xí)課不像新授課一樣有每節(jié)課的具體教學(xué)內(nèi)容和任務(wù),久而久之復(fù)習(xí)課便形成一套思維定勢:概念、定理回憶、例題精講、練習(xí)、測試反饋,這樣會使學(xué)生感到枯燥無味從而影響復(fù)習(xí)效率.日前,依然存在不少教師在初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)中,只注重學(xué)習(xí)的結(jié)果分?jǐn)?shù),而不是獲得知識的過程.在解題教學(xué)中,教師常常講的是自己的思維結(jié)果、即解題的思路是什么,怎樣作鋪助線,怎樣推理得到結(jié)論,或是根據(jù)什么公式、法則計算,計算中要注意什么等等,很少講自己分析尋找思路的過程,在分析、研究過程中走過什么彎路或是碰過壁,如何修正、調(diào)整的.其實,教師的這種經(jīng)驗對于學(xué)生來說,比得到這問題的解更加重要.

元認(rèn)知理論是由弗拉維爾于20世紀(jì)70年代提出,元認(rèn)知就是個體關(guān)于自己的認(rèn)知過程的知識和調(diào)節(jié)的能力.當(dāng)學(xué)生的元認(rèn)知水平較高,他們就能有效地監(jiān)控調(diào)節(jié)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為,促進(jìn)學(xué)習(xí)效率的提高,因此適當(dāng)了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的元認(rèn)知水平,對于數(shù)學(xué)教學(xué)的有效開展,并有針對性地指導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要的指導(dǎo)意義.研究發(fā)現(xiàn):在數(shù)學(xué)思維活動中,思維監(jiān)控系統(tǒng)處于支配地位,是數(shù)學(xué)思維活動的監(jiān)控室.在元認(rèn)知思想的指導(dǎo)下,即使思維受阻停滯,也能及時矯正思維方向,調(diào)整思維的策略,把思維活動拉回正軌,起到“北斗導(dǎo)航”精準(zhǔn)帶路的作用.我們老師平時上課都會依據(jù)自己的經(jīng)驗,提出一些很有價值的問題,但是很多學(xué)生并不能快速內(nèi)化吸收,因而我們會發(fā)現(xiàn)剛剛學(xué)會的問題學(xué)生很快就忘記了,感覺學(xué)生從不曾留下深刻足跡.“一題一課”可很好地解決這個問題,利用問題變式反復(fù)追問,不僅記憶深刻烙下深刻痕跡,而且使學(xué)生思維更有系統(tǒng)性.下面我以“中考第二輪復(fù)習(xí)回歸課本研讀一題一課系列之——相似”一課為例來談?wù)勎业囊稽c思考.

1 原題呈現(xiàn),源自課本

題目源自人教版課本九下數(shù)學(xué)58頁拓廣探索的第11題,內(nèi)容如下:

題目如圖1,一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC =120 mm,高AD =80mm.把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC 上,其余兩個頂點分別在AB,AC 上,這個正方形零件的邊長是多少?

圖1

首先利用課件PPT 呈現(xiàn)該題目,由學(xué)生說題,“說已知,說結(jié)論,說出已知可得的信息和結(jié)論”.需要的條件,說出已知與問題之間的聯(lián)系.所謂說已知,說結(jié)論,即為說出已知條件是什么,有什么用處;說出結(jié)論是怎樣的,要得到結(jié)論需要什么條件.而說出相關(guān)知識點及相似題型就避免了天馬行空,使思維范圍就大大縮小了.若有學(xué)生需要適當(dāng)提示時,不要直接給出方法,要引導(dǎo)學(xué)生自己去思考.

師:正方形有哪些性質(zhì)呢?

生1:四條邊相等,四個角都是直角,對邊互相平行.

師(追問):在三角形內(nèi)有平行你想到了什么?

生1:兩三角形相似.

師:題目知道哪些量?

生2:三角形的一邊和一高.

師:相似三角形的性質(zhì)里有沒有涉及到邊和高的?

生2:相似三角形對應(yīng)邊的比的對應(yīng)高的比.

師:生2 講得太好了,可是這ΔAEF的邊和高都不知道,而這邊EF 也就是題目要求解的,怎么辦呢?

生3:它們之間有聯(lián)系,可利用方程思想解決！

師:漂亮！馬上動筆書寫,5分鐘后同學(xué)們成果展示.

設(shè)計意圖回歸課本,從教材的一道復(fù)習(xí)題出發(fā),低起點,高立意,可激發(fā)學(xué)生探究興趣.引導(dǎo)學(xué)生逐步揭示問題的本質(zhì),并挖掘隱藏的數(shù)量關(guān)系,再次鞏固相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比的性質(zhì),了解該性質(zhì)的用法.關(guān)注學(xué)生,啟發(fā)學(xué)生,讓解法自然生成.答題如下:

解設(shè)正方形零件的邊長為x mm,則KD = EF =x,AK =80-x,因為EF//BC,所以ΔAEF ∽ΔABC,所以AD⊥BC,所以即解得x=48.

答:正方形零件的邊長為48mm.

2 反思原題,自然過渡

再讀原題,通過“圖形確定性”分析法可知,這個正方形是確定的,確定就是唯一,唯一即是可求！那么,這個正方形零件面積是可求的,那這塊三角形材料是否最大限度地使用了? 圖形被唯一了,要變化面積需弱化條件,那么自然就把正方形弱化成矩形.

探索1 如果原題中所要加工的零件只是一個矩形,如下圖2,問這個矩形的最大面積是多少?

圖2

審題可知,這矩形面積是隨著EF的長度變化而變化的,則要求它的最大面積,先把面積表示出來,我們知道線段EF 與EG的乘積即為面積.

師:同學(xué)們在思考表示面積時有什么困惑嗎?

生1:兩條線段的長度都不知道,設(shè)一條線段為x,另一條又要設(shè)y的話,再加上面積S 就共有3個未知數(shù)了.

師:這兩條線段之間有沒有聯(lián)系呢?

生2:前面的學(xué)習(xí)知道,可用方程思想來求解第二條線段的表示！

師:很好！那設(shè)哪一條線段為x 呢?

生2:都可以.

師:好的,同學(xué)們,實踐出真知,請馬上嘗試解決一下.

接著學(xué)生分別嘗試設(shè)EF 與EG為x 時的情況:

結(jié)果呈現(xiàn),對比發(fā)現(xiàn),情況二可直接寫出AK的表達(dá)式,運(yùn)算量比情況一少一點,然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可,答案略.現(xiàn)矩形的兩條邊長都可表示出來了,若題目修改成問該矩形的周長與邊的函數(shù)關(guān)系式也一樣就解決了.剪切掉了矩形剩下三個三角形,我們也可如此設(shè)計問題:

探索2當(dāng)EG 長度為多少時,ΔAEF的面積等于ΔBEG 與ΔCFH 之和?

有了前面的探究基礎(chǔ),這一問就相對容易解決,接下來就是引導(dǎo)學(xué)生表示出這三個三角形的面積,在表示ΔBEG與ΔCFH的面積的時候,單獨表示發(fā)現(xiàn)多了參數(shù)BG 與CH,但是面積和時就變成從而可列出方程求解.

3 刨根問底,尋求本質(zhì)

我們研究問題往往從特殊到一般化的探究思路,若是這塊三角形材料的邊BC =a,高AD =h.則矩形PQMN面積的最大值是多少呢? 也就是說把原來的數(shù)據(jù)120 與80分別換成a 與h,也就是說只要知道這個三角形的一邊和該邊上的高,矩形面積的最大值就是固定的呢? 因解法思路上是相通一致的,從而可求.

探索3 若邊BC = a,高AD = h,則矩形PQMN面積的最大值是多少? (用含a,h的代數(shù)式表示.)

簡解設(shè)EG=x,則解得所以所以當(dāng)時,面積有最大值,

感悟觀察結(jié)果我們可發(fā)現(xiàn),一個給出一邊和這邊上的高的三角形,剪切出如上所述的矩形的最大面積就是該三角形面積的一半,而此時邊EF 恰為三角形的中位線.而這一結(jié)論的得出,我們教師要適時地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解后反思,歸納總結(jié),升華思想.

4 拓展應(yīng)用,融會貫通

有了上面這一般化的結(jié)論,如果就停止了前進(jìn)的步伐的話就太可惜了,這樣感覺功虧一簣.要想把這節(jié)課的知識達(dá)成目標(biāo)真正落實,還需要及時的二次反饋這一環(huán)節(jié)步驟.題目可設(shè)計如下:

探索4如圖3,現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經(jīng)測量AB= 60 cm,BC= 100cm,CD= 70 cm,且∠B= ∠C= 60°,木匠楊師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN,求該矩形的面積.

圖3

圖4

如果是直接拿出這道題目來做的話,難度就很大了.但有了前面的學(xué)習(xí),這題就相對容易,但是要讓學(xué)生自行找到兩者的關(guān)聯(lián),教師在必要時引導(dǎo)提醒學(xué)生.給足學(xué)生思考的時間,充分暴露思維的全過程,出聲思維讓思維可視化,這樣教師就可以作精準(zhǔn)的診斷,而不是學(xué)生簡單說一句不會,老師就全盤告訴學(xué)生答案是什么,導(dǎo)致學(xué)生只知道原來是這樣做的,不知道為什么這樣做.

師:同學(xué)們,在解答過程中有哪些困惑嗎?

生1:這個是四邊形,和前面的不一樣.

師:真的不一樣嗎? 能否聯(lián)系起來呢?

生2:延長BA和CD,補(bǔ)充完整三角形,就聯(lián)系起來了.

師:很好！馬上動筆試試.

簡解如圖4,延長BA,CD交于點E,過點E作EH⊥BC于點H,因為∠B= ∠C,所以EB=EC,因為BC= 100,且EH=BC= 50,所以100,因為AE= 40,ED= 30,所以BE,CE的中點Q,P在線段AB,CD上,所以中位線PQ的兩端點在線段AB,CD上,由前面的學(xué)習(xí)可知,矩形PQMN的最大面積為

反思為什么要先判斷中位線PQ的兩端點在AB、CD上呢? 因為前面的學(xué)習(xí)我們知道矩形取得最大面積時PQ恰為三角形的中位線,這是要檢驗取最值時的點存在在原圖的線段上,若在虛線AE,DE上就不滿足了.

問題解決后,學(xué)生自然會獲得很大的成就感,從而再次激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提升了學(xué)生的自我效能感.這里其實滲透了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,在教學(xué)中滲透的基本思想,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的靈魂和精髓,是對數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)反映.教師在教學(xué)過程中不單是要“授人以魚和授人以漁”,而且是要“授人以欲”,這是價值觀對方法論的超越.所謂“欲”,就是根植于內(nèi)心的理想、信念和為之而努力的激情,它時刻影響著人的行為.我們的大腦不是一個被填充的容器,而是一把需要被點燃的火把.一個掌握方法的人若沒有一個積極追求精進(jìn)的態(tài)度,他的方法也是毫無用處的.若是教學(xué)目標(biāo)重點是轉(zhuǎn)向面積類問題的函數(shù)表示的話,可以作如下設(shè)計:

探索5如圖5,已知銳角ΔABC中,邊BC= 8,高AD= 10,兩動點M,N分別在邊AB,AC上滑動,且MN//BC,以MN為邊向下作正方形MPQN,設(shè)正方形的邊長為x.

圖5

(1)若正方形MPQN的頂點P,Q在邊BC上,求MN的長;

(2)設(shè)正方形MPQN與ΔABC公共部分的面積為y,當(dāng)x是多少時,公共部分的面積y最大,最大值是多少?

點評這題目就把前面加工成正方形和矩形的問題統(tǒng)一起來了,而且更系統(tǒng)完善.審題可知,這題考查到了分類討論思想,它的公共部分分三種情況,在三角形內(nèi)部、一邊在BC上,正方形一部分在三角形的外部,而顯然在內(nèi)部的面積比剛好在邊上時要小,所以比較后兩種情形時的面積大小即可,不過在取面積二次函數(shù)最值時,對應(yīng)的x要在取值范圍內(nèi),如若不然就要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來處理了,此題答案略.

若是教學(xué)目標(biāo)重點是轉(zhuǎn)向相似三角形線段比的等量變換問題的話,可以作如下設(shè)計:

圖6

探索6如圖6,ΔABC中,∠BAC= 90°,正方形的一邊GF在BC上,其余兩個頂點D,E分別在AB,AC上.連接AG,AF分別交DE于M,N兩點.

(1)求證:

(2)求證:MN2=DM ·EN.

(3)若AB=AC=4,求MN的長.

分析第1問的這類比例證明學(xué)生都知道用三角形相似來解決,但是它不屬于直接利用一對相似三角形相似就能解決的問題.它需要兩對相似,要利用這個來“搭橋過河”,因為那兩對比值都與相等;在第2問中除了應(yīng)用DE//BC,得到還得應(yīng)用∠BAC= 90°和正方形的性質(zhì)來推出ΔBGD∽ΔEFC,從而有再由DG=GF=EF推出即可; 有了前兩問的結(jié)論第3問就較簡單了,這里不再贅述.

如果是跳出向下作特殊四邊形思路的話,可作如下設(shè)計:

圖7

探索7如圖7,已知三角形紙片ABC,面積為25,BC邊的長為10,∠B和∠C 都為銳角,M為AB 邊上一動點(M與點A,B 不重合),過點M作MN//BC,交AC于點N.將ΔAMN 沿MN 折疊,使點A落在BC的下方,設(shè)MN = x,ΔA′MN 與四邊形BCNM重疊部分面積為y.

(1)試求出y 關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

(2)當(dāng)x為何值時,重疊部分的面積y最大,最大值是多少?

后話教師示范分析典型的數(shù)學(xué)例題,引導(dǎo)學(xué)生在簡單模仿、反復(fù)訓(xùn)練、自發(fā)領(lǐng)悟的基礎(chǔ)上,增加一個“自覺分析”的環(huán)節(jié),解題后進(jìn)行再思考,及時分析自己的解題過程,反思、聯(lián)系、歸納,并考慮能否進(jìn)一步歸類引伸.題目獲解后,回過頭來進(jìn)行解題過程的分析,正是“學(xué)會解題”的最好機(jī)會,通過解題過程的分析而學(xué)會解題,就是積極主動地去發(fā)展元認(rèn)知能力.在解題過程中,對每個問題進(jìn)行分析時,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生,使注意力從指向問題本身轉(zhuǎn)變?yōu)橹赶蛩麄冊诜治鰡栴}時正在做什么、想什么,即是使學(xué)生始終監(jiān)控調(diào)節(jié)自己的行為,清楚地了解自己思考問題的過程.

“一題一課”讓課堂教學(xué)從形式上走向了簡約,通過有意識地訓(xùn)練提高學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力,就是提高他對自己學(xué)習(xí)過程的自我意識,從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自覺性,及時調(diào)整和改進(jìn)學(xué)習(xí)過程,這對學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)能力的提高是非常關(guān)鍵的.一題一課就是想達(dá)成“做一題,得一法,會一類,通一片”的教學(xué)目標(biāo),從而增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

總之,增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力,不但讓學(xué)生知道應(yīng)該如何思維,更讓學(xué)生學(xué)會如何時刻監(jiān)控自己的思維,在思維受阻時可及時調(diào)整策略.學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,是學(xué)習(xí)的建構(gòu)者,讓學(xué)生學(xué)會如何思考,化被動為主動,不斷提升學(xué)生主動探求的愿望和能力,我們的教育就會充滿生機(jī)和活力.