安徽省安慶市懷寧縣新安中學(xué)

1 創(chuàng)設(shè)情境,引入問題

教師:同學(xué)們,之前我們學(xué)習(xí)了平面向量基本定理,平面向量基本定理告訴我們,平面內(nèi)任意一個向量都可以用兩個不共線的向量量化,這為我們研究問題帶來極大的方便.同時,平面向量基本定理也是整個向量理論的基礎(chǔ),所以我們一定要學(xué)好這個基礎(chǔ),為后面的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備,今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)有關(guān)平面向量基本定理的一些應(yīng)用.

例1如圖1,平面內(nèi)有三個向量其中與的夾角為120°,的夾角為30°,且若則λ+μ的值為___

圖1

圖2

教師:大家回顧平面向量基本定理的推導(dǎo)過程,中間作了一條什么樣的輔助線? 你能用類似的方法解決這道題嗎?

學(xué)生1:如圖2,過終點C作其中一個基底的平行線交另一個基底OA于點D,則于是λ=4,μ=2,λ+μ=6.

教師:很好,這位同學(xué)用了作基底平行線的方法得出了正確答案,而且計算量也不大.請大家積極思考,還有其它的方法嗎?

學(xué)生3:我用的是建立坐標(biāo)系的方法,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,寫出向量的坐標(biāo),代入得到兩個關(guān)于λ,μ的兩個方程,從而解出λ,μ.

教師:非常棒.這道題現(xiàn)在我們有3 種解法,但在實際運用時大家還要注意選擇合適的方法.

練習(xí)選擇合適的方法解答下面這道題:向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖3所示,若c=λa+μb(λ,μ ∈R),則

圖3

圖4

圖5

教師:讓學(xué)生思考題中的向量a,b,c是如何給出的? 結(jié)合網(wǎng)格的特點,選擇適當(dāng)?shù)姆椒?

學(xué)生4:我用的作基底的平行線法,因為在網(wǎng)格中可以很方便的看出長度的比例關(guān)系,如圖4,于是

學(xué)生5:網(wǎng)格線中的橫線和豎線是垂直的,非常適合建系,我用的建系法,如圖5.我認為這題建系法比作圖法還要簡單,因為它只需要寫出坐標(biāo)即可,沒有任何技巧,大部分同學(xué)在考試中都可以用這種方法解出這道題.

2 師生互動 認識本質(zhì)

例2:如圖6,在梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點,若則λ+μ=___

圖6

經(jīng)過大家的討論,發(fā)現(xiàn)這題的作圖法比較麻煩,考試時難以得出正確答案,或者可以特殊化建系法,讓AD與AB垂直.

教師:這些方法都是具體求出λ和μ的值,然后再求和.請同學(xué)思考一下,數(shù)學(xué)當(dāng)中的求和必須要求出每個量的具體值嗎? 我們能不能不求出λ和μ的值,而直接整體求出它們的和呢?

大家經(jīng)過討論,都認為可以整體求出,因為前面在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時候,在求方程根的和時都是直接運用對稱得出和的,而不需要求出每一個根,但這個如何整體求出呢,大家陷入了沉思? 教師適當(dāng)提示:

教師:前面我們講到一個關(guān)于向量分解系數(shù)和的結(jié)論,大家還記得嗎? 共線定理推論:設(shè)O,A,B三點不共線,且若P,A,B三點共線,則λ+μ=1,這道題有推論中這樣的模型嗎?

圖7

如圖7,連接MN并延長交AB的延長線與E點,由結(jié)論得:(其中x+y= 1),又易得

做完之后,大家驚呼:原來這么方便.

教師:誰能把這個方法的步驟敘述一下?

學(xué)生7:第一步:找交點E第二步:把待求向量用表示即可,前面的系數(shù)即為所求

教師:大家能把對這道題的做法做一個提煉和推廣嗎?經(jīng)過大家的討論和修改,得出一般性結(jié)論:

結(jié)論1如圖8,O,A,B三點不共線,OP交AB于點C,(x,y,λ為實數(shù)),則x+y=λ

圖8

證明由結(jié)論,(其中m+n= 1)? 又即得于是x+y=λm+λn=λ.

圖9

教師:由此我們可以看出x+y的值完全由中的λ所確定,只要我們找到交點,再把待求向量重新表示.一開始的例1可以用這個方法做嗎? 請大家試試看.

教師:這個解法和之前的解法有什么不同?

學(xué)生9:之前的解法是單獨求出每個系數(shù),再相加,這個解法是直接整體求出和,但不知道具體的每個系數(shù),如果只需要求和還是這個方法方便.

3 小組合作共探新知

教師:現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了如何整體求出向量在基底分解形式下的系數(shù)和,現(xiàn)在我讓P點動起來(圖10),當(dāng)P點位置變化時,x+y值是怎么變化的呢?

圖10

學(xué)生10:比值讓我聯(lián)想到了平行線,過P作AB的平行線l,過O作l的垂線分別交AB,l于M,N,x+y=λ=如何變化我還需要再思考下.

學(xué)生11:老師,我發(fā)現(xiàn)|ON|是個定值!

教師:對,所以呢?

學(xué)生11:|ON|不變,所以當(dāng)l向右上平移,|OM|變長,從而λ變大.

教師:回答的非常好.

大家為學(xué)生11的精彩回答鼓掌,教師接著補充.

教師:由于|OM|的變長,當(dāng)l從左下角向右上角平移的過程中,x+y是不斷增大的.當(dāng)P在直線k與直線AB之間,x+y的范圍是多少? 當(dāng)P在直線k上,x+y的值是多少? 當(dāng)P在直線AB右上時,x+y的范圍是多少?

學(xué)生12:當(dāng)P在直線k與直線AB之間,|OM| ∈(0,|ON|),于是當(dāng)P在直線k上,|OM=|ON|,于是當(dāng)P在直線k與直線AB之間,于是

師生小結(jié):即λ的值可用AB的平行線這把“尺度”來度量,在越遠離起點O的平行線上,λ的值越大(這里暫時不考慮負值的情況),在同一條平行線上時λ的值不變.

教師:下面我們來看兩道高考題,感受高考對這類問題的考察.

練習(xí)2(2009年高考安徽卷理科第14題)給定兩個長度為1的平面向量它們的夾角為120°.圖11所示,點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動.若其中x,y ∈R,則x+y的最大值是_____

圖11

圖12

解析

學(xué)生13:如圖12,平移線段AB直至與圓弧AB相切,當(dāng)C恰為切點時x+y最大,易得D為OC中點,OC= 2OD,x=y的最大值

練習(xí)3(2017年高考全國ⅠⅠⅠ卷理科第12題)在矩形ABCD中,AB= 1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.則λ+μ的最大值為().

圖13

學(xué)生14:如圖13,平移線段BD直至與圓C相切,當(dāng)P恰為切點時λ+μ最大,過A作AM垂直MP于M點,易得MN=EP= 2r,AN=CE=r,于是λ+μ的最大值

4 總結(jié)反思 任務(wù)后續(xù)

教師:最后我們來總結(jié)這節(jié)課的收獲.

學(xué)生15:用共線定理的推論整體求出系數(shù)和.

學(xué)生16:用平行線作為尺度,判斷系數(shù)和的最值.

教師:課后請大家思考兩個探究.

探究1P是正方形ABCDEF某一邊上的一點,則x+y的最大值為()

A.4 B.5 C.6 D.7

探究2(變式)如圖14,在正方形ABCD中,E為AB中點,P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點,設(shè)向量則λ+μ的最小值是___

解析本題需要把向量平移到同一個起點,如圖15,將DE平移到AF,連接PF交AC于點G,則當(dāng)P從D轉(zhuǎn)到B時G在右移,AG在變長,所以當(dāng)P在B處λ+μ值最小,由中位線易得最小值是

圖14

圖15

章建躍先生認為:“從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強思考,這是落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點”[1].作為教師,不光要講推理,更要講道理,把數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易接受的教育形態(tài).為此,這節(jié)課的設(shè)計我注重讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn),自主探究,理清知識的來龍去脈,學(xué)生有困難的地方注重銜接,用問題串的形式層層遞進,層層深入,問題串之間又設(shè)問讓過度做到自然平緩,如在整體求x+y時,讓學(xué)生聯(lián)想哪里有系數(shù)和,從而想到用共線定理推論,求x+y最大值時,因為有比例式,讓學(xué)生聯(lián)想到了平行線,以期用一個個小問題,激發(fā)學(xué)生的思維.這節(jié)課上完后,我也發(fā)現(xiàn)了自己的一些不足之處:學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,在今后的教學(xué)中我還應(yīng)給予他們更多的寬容.把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生,把提問的權(quán)利交給學(xué)生,把講解的機會讓給學(xué)生,促進更加主動的探究知識,在探究中提升邏輯推理能力.另外對細節(jié)的把握上,還不能做到放縮自如,老師要給學(xué)生一杯水,老師自己就要有一缸水,一潭水,一節(jié)好的課,絕不是靠暫時的努力就能做到的,羅馬不是一天建成的,只有不斷積淀,提高自身素養(yǎng),“腹有詩書氣自華”,課堂上才能做到“隨風(fēng)潛入夜,潤物細無聲”.