孫莉

【摘要】中考復(fù)習(xí)階段的備課，重在選題，支持入選例題評講的理由有很多，比如，貼近某知識點(diǎn)或依據(jù)某數(shù)學(xué)方法或解題策略，或嘗試由一道題關(guān)聯(lián)多個知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法，以達(dá)到精選精煉，通過解題發(fā)揮例題的價值.

【關(guān)鍵詞】解題教學(xué);一課一題;立足題目;探究解法;呈現(xiàn)通法

【基金項(xiàng)目】課題名：南京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題;《“基本圖形”在初中幾何教學(xué)中的滲透策略研究》《波利亞解題思想在初中幾何命題教學(xué)中的實(shí)踐與延伸》.

一、案例背景

中考復(fù)習(xí)階段的備課，重在選題，支持入選例題評講的理由有很多，比如，貼近某知識點(diǎn)或依據(jù)某數(shù)學(xué)方法或解題策略，或嘗試由一道題關(guān)聯(lián)多個知識點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法，以達(dá)到精選精煉，通過解題發(fā)揮例題的價值.本文將呈現(xiàn)近期筆者在中考二輪復(fù)習(xí)期間與學(xué)生一起探究一道中考題的教學(xué)實(shí)踐與教學(xué)思考，與同行們分享.

二、案例呈現(xiàn)

（一）題目

（2017年南京市中考數(shù)學(xué)第27題）

折紙的思考.

【操作體驗(yàn)】

用一張矩形紙片折等邊三角形.

第一步，對折矩形紙片ABCD（AB>BC）（圖①），使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平（圖②）.

第二步，如圖③所示，再一次折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的P處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC.

①

②

③

（1）說明△PBC是等邊三角形.

【數(shù)學(xué)思考】

（2）如圖④所示，小明畫出了圖③的矩形ABCD和等邊三角形PBC.他發(fā)現(xiàn)，在矩形ABCD中把△PBC經(jīng)過圖形變化，可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形.請描述圖形變化的過程.

④

⑤

（3）已知矩形一邊長為3 cm，另一邊長為a（cm）.對每一個確定的a的值，在矩形中都能畫出最大的等邊三角形.請畫出不同情形的示意圖，并寫出對應(yīng)的a的取值范圍.

【問題解決】

（4）用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為4 cm和1 cm的直角三角形鐵片，所需正方形鐵片的邊長的最小值為cm.

（二）“一課一題”的教學(xué)記錄

教學(xué)環(huán)節(jié)一?圍繞等邊三角形的熱身問題

活動一?展示交流課前作業(yè)，學(xué)生自評、互評、交流.

課前作業(yè)：嘗試用不同的方法在A4紙中折出等邊三角形.

要求：①虛線畫出折痕，實(shí)線畫出等邊三角形;②說明理由.

（課前采圖，課上PPT展示）

S1-S4的展示如下：

⑥

⑦

⑧

⑨

追問1?如何想到上述折法的？

追問2?解讀題目，注意到哪些關(guān)鍵詞？如何解讀這些關(guān)鍵詞？

關(guān)鍵詞最近聯(lián)想

不同方法的多樣

A4矩形

折軸對稱：全等，對應(yīng)邊（角）相等;對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分

等邊三角形等邊三角形的判定：三邊相等的三角形是等邊三角形;三角相等的三角形是等邊三角形;有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形

追問3?哪種折法最便捷？

設(shè)計意圖：操作體驗(yàn)以體驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)為載體，重直接經(jīng)驗(yàn)，更重知識理解.學(xué)生通過展示交流在解題教學(xué)的意識下將知識結(jié)構(gòu)化，尋找解決問題的通法.雖是折紙也是解題，解題的第一步就是弄清題意，先思再折，先動腦再動手，不同折法的解題切入點(diǎn)不同，但共性是抓住圖形的特征以及折疊（軸對稱）的性質(zhì).折疊性質(zhì)最易構(gòu)造的是等腰三角形，再尋找腰底相等比構(gòu)造角的條件要容易得多.

教學(xué)環(huán)節(jié)二?更大的等邊三角形探究

活動二?你能找出更大的等邊三角形嗎？它們之間有怎樣的位置關(guān)系呢？

追問1?幾何學(xué)習(xí)中，主要關(guān)注圖形的哪些方面？

追問2?剛剛折疊產(chǎn)生的圖形形狀都是等邊三角形，它們的大小有什么關(guān)系？全等嗎？它們的位置又有怎樣的關(guān)系？

追問3?如何理解“更大”？

追問4?為什么圖⑧⑨中的等邊三角形比圖⑥⑦中的等邊三角形更大？

追問5?如何得到“更大”？為什么要旋轉(zhuǎn)？為什么要位似呢？

設(shè)計意圖：基于活動一以及研究幾何圖形的基本思路，自然提出活動二.“更大”直觀上指面積更大，而對形狀相同的等邊三角形，進(jìn)一步要求邊長更大.想得到更大的圖形一定是要經(jīng)歷位似變換的，而從圖④直接放大，顯然在矩形中沒有足夠的放大空間，但只要稍加旋轉(zhuǎn)，問題就迎刃而解了.在尋找“更大”的過程中也會形成一種自覺的反思和心理傾向：有沒有“最大”，所以“更大”既是前面活動經(jīng)驗(yàn)的積累，又是解決后續(xù)問題的引申.

如圖④所示，小明畫出了圖③的矩形ABCD和等邊三角形PBC.他發(fā)現(xiàn)，在矩形ABCD中把△PBC經(jīng)過圖形變換，可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形.請描述圖形變換的過程.

追問1?在描述圖形變換的過程中，語言敘述如何才能做到完整呢？

追問2?旋轉(zhuǎn)角是任意的嗎？

追問3?圖④如何得到圖⑧呢？

設(shè)計意圖：追問1是在學(xué)生書寫的過程中教師介入的，在活動二之后學(xué)生已經(jīng)對為了得到“更大”需要旋轉(zhuǎn)+位似達(dá)成了共識，但是有少數(shù)學(xué)生在書寫過程中明顯對這兩種位似變換的要素有些淡忘導(dǎo)致語言不準(zhǔn)確，本質(zhì)上是由于概念理解不到位.另外，有學(xué)生在書寫過程中提到“旋轉(zhuǎn)一定的角度”，所以有了追問2，這里旋轉(zhuǎn)的角度是不可以超過30°的，這也是追問3中要提到的“最大”，起初不想給后面“最大”的探究帶來干擾，“最大”在活動二中不提及，但基于學(xué)情，自然生成了追問3.

教學(xué)環(huán)節(jié)三?最大的等邊三角形的探究

活動三?已知矩形一邊長為3 cm，另一邊長為a cm.對每一個確定的a的值，在矩形中都能畫出最大的等邊三角形.請畫出不同情形的示意圖，并寫出對應(yīng)的a的取值范圍.

追問1?為什么示意圖不止一個？

追問2?為什么要分類討論？討論的對象和標(biāo)準(zhǔn)分別是什么？

追問3?約定彩色紙短邊是3 cm，根據(jù)需要裁出想要的矩形紙片并在其中畫出最大的等邊三角形.上黑板貼出你所找到的答案，后面展示的學(xué)生要求給出的圖形與前面的不同.

學(xué)生陸續(xù)貼出了圖⑩到圖B13.

⑩

B11

B12

B13

追問4?給出的矩形可以排序嗎？

追問5?觀察圖⑩到圖B13，每個矩形中的等邊三角形都是最大的嗎？例如，圖⑩中的等邊三角形為什么不是圖B14的擺放方式呢？

B14

B15

追問6?還有其他情況嗎？圖⑩中，隨著a的增大，等邊三角形會如何變化？

追問7?哪個圖中的a比較好求呢？其他圖中的a的取值范圍又該如何確定呢？

追問8?回看整個尋找“最大”的過程，用到了哪些數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想？

追問9?對上述折紙過程你有什么思考？

追問10?關(guān)注了“大小、位置”，“大小”研究完了嗎？最大是多大？接下來我們還可以拓展嗎？形狀可以進(jìn)一步研究嗎？在有限的時間里，你還想研究什么樣的問題？你想如何研究？

設(shè)計意圖：由a的不確定自然聯(lián)想到要分類討論，但是這種分類是無序的，在追問1，2中學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)等邊三角形的位置擺放隨著矩形的長、寬比變化而變化，為了更直觀易操作教師介入有了追問3，這在考試過程中也是可行的.追問4可以讓學(xué)生更好地用“生長”的眼光看待a，亦為追問6埋下了伏筆.追問5再次點(diǎn)破解決問題的關(guān)鍵是“旋轉(zhuǎn)+位似”，也是“更大”活動中知識的遷移、經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)化.在追問7中很自然地選擇了臨界狀態(tài)并利用三角函數(shù)解決了問題.追問8～10是對整個解題的過程的回顧，有知識的、有經(jīng)驗(yàn)的，更多是題目的生成過程，學(xué)生在回答追問10中提出要探究“尋找矩形中的最大等腰三角形、最大菱形、正方形……”等一系列問題，都是源于學(xué)生已經(jīng)通曉幾何圖形的研究內(nèi)容“形狀、大小、位置”以及找到這類問題解決的通法，即不僅知道了對類似這樣的問題該如何思考，更要知道題目的生成過程.

教學(xué)環(huán)節(jié)四?反思拓展

B16

問題解決?用一張正方形鐵片剪一個直角邊長分別為4 cm和1 cm的直角三角形鐵片，所需正方形鐵片的邊長的最小值為cm.

設(shè)計意圖：在教學(xué)實(shí)踐中此題作為課后作業(yè).經(jīng)歷了探究矩形中的等邊三角形的“有”到“更大”再到“最大”這一過程，學(xué)生關(guān)注了圖形的大小、位置;后續(xù)學(xué)生們提到尋找最大的菱形、正方形，這是關(guān)注了“形狀”，這三方面是研究任何一個幾何圖形應(yīng)該關(guān)注的，這與題目的生成是息息相關(guān)的.對外部的四邊形從“特殊”的A4紙到“一般”的矩形再到“特殊”的正方形.“特殊”作為解決問題的突破口切入點(diǎn)，以“特殊”為起點(diǎn)進(jìn)行歸納、概括找到解決一般問題的方法和規(guī)律，再反過來指導(dǎo)特殊問題的解決.

三、設(shè)計反思

（一）規(guī)范推理和書寫過程

在平面幾何教學(xué)中，要關(guān)注學(xué)生分析問題的思路、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，如在問題1的“說明理由”過程中很多學(xué)生書寫如下：

由折疊，BF=CF，∠BFP=∠CFP.

又∵∠BFP+∠CFP=180°，

∴2∠BFP=180°，

∴∠BFP=90°，

∴EF垂直平分BC，

∴PB=PC.

又由折疊，BC=BP，

∴△BCP為等邊三角形.

卻不知由折疊得全等即可得到對應(yīng)邊相等，即如下書寫：

由折疊，PB=PC，BC=BP，

∴△BCP為等邊三角形.

由此走彎路的現(xiàn)象不難看出學(xué)生對折疊的性質(zhì)還不夠明確，所以應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生理解圖形變換的性質(zhì)，重視邏輯推理的過程.此外，還要注重書寫格式，發(fā)展表述能力，如在問題2中，學(xué)生語言表達(dá)的不完整還是由于對圖形變換的要素不清晰，在幾何教學(xué)時應(yīng)注重概念形成的過程并將知識內(nèi)化、運(yùn)用，真正做到言之有理、落筆有據(jù).

（二）引導(dǎo)關(guān)注解題教學(xué)

在A4紙中折出“等邊”的方法有很多種，題中是給定明確的折法，要求學(xué)生說理即可，筆者不禁思考：如果就給一張A4紙，學(xué)生能自行折出等邊三角形嗎？又有多少種折法呢？哪種折法最便捷呢？這些都該如何思考呢？這就需要教師關(guān)注學(xué)生分析、解決問題的過程以及方法的優(yōu)化，在平常教學(xué)中堅持“解題教學(xué)”，并在該教學(xué)活動中，教師給學(xué)生要提出一些要求.首先，要求學(xué)生學(xué)會“咬文嚼字”，學(xué)會分析題目中每句話的意思，并且和相關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)建立聯(lián)想，即由已知想可知，由未知想需知.如在教學(xué)環(huán)節(jié)一當(dāng)中，對每個關(guān)鍵詞的解讀，當(dāng)我們看到“折”，要引導(dǎo)學(xué)生想到與軸對稱相關(guān)的知識點(diǎn)，等等.其次，要學(xué)會建立聯(lián)系，如何將“已知的聯(lián)想”與“未知的聯(lián)想”建立聯(lián)系，一旦發(fā)現(xiàn)，問題即可得到解決.最后，回顧反思，看看這道題能不能從“個案”變“類案”，能否舉一反三，找到解決問題的通法.

（三）突出與強(qiáng)化分類討論思想

數(shù)學(xué)中的分類討論思想與新課改中提出的培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與探索精神是一致的，它可以培養(yǎng)學(xué)生思維的連貫性和有序性，培養(yǎng)學(xué)生完整、細(xì)致地分析問題的習(xí)慣和探索問題的能力，對養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)有較大的益處，然而在初中數(shù)學(xué)中分類討論問題往往是學(xué)生不容易掌握好的一類問題，從問題3的課堂實(shí)踐不難看出，學(xué)生由a的不確定知道要分類討論卻不知如何討論，學(xué)生呈現(xiàn)出的構(gòu)圖是碎片式的，以至于對a的取值憑直覺是沒有依據(jù)的，究其原因，主要是平時的教與學(xué)中，對分類討論的數(shù)學(xué)思想滲透不夠，“要分類嗎？為什么？分類的對象是什么？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？”這是教學(xué)中應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)和滲透的.

（四）深刻品題，關(guān)注題目生成

好題是造出來的，也是教出來的，又是學(xué)生做出來的.在平常的教與學(xué)中，教師和學(xué)生往往是一個“打工者”，關(guān)注的更多的是解決問題中應(yīng)用的知識、思想方法，而在本題教學(xué)實(shí)踐過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生一直保持著良好的自主探究意識，其原因正是學(xué)生明確研究幾何圖形應(yīng)關(guān)注“形狀、大小、位置”這三方面的內(nèi)容，在折完等邊三角形后自然關(guān)注它們的“大小、位置”“大小一樣嗎？有更大的嗎？彼此之間又通過怎樣的圖形變換得到呢？”生成了問題2“更大”之后自然聯(lián)想到“最大”，在教學(xué)過程中也曾經(jīng)試圖在A4紙中連續(xù)探究“更大、最大”，再到一般化的矩形，但又有“將學(xué)生思維限定”的顧慮，所以把“最大”從特殊的A4紙落到了一般的矩形，生成了問題3.“有了研究‘等邊三角形的經(jīng)驗(yàn)，其他幾何圖形可以類比嗎？”，此時關(guān)注“形狀”生成了問題4，課堂中學(xué)生生成的結(jié)果比試題更廣泛，因?yàn)檫@節(jié)課意在立足題目、探究解法、呈現(xiàn)通法，也是因?yàn)檫@樣的一道題，教學(xué)過程呈現(xiàn)出來是一節(jié)課，又不止一節(jié)課，這正是教師所喜聞樂見的.