朱陳剛

在數(shù)學(xué)考試中，考生常常會遇到解題過程比較繁瑣或者做不下去的情況，究其原因，是由于考生對所學(xué)知識理解不夠透徹，解題方法運用不夠熟練. 若我們在平時教學(xué)中積極引導(dǎo)考生進(jìn)行解題反思，反思解題過程中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，準(zhǔn)確找到解題的突破口，將會收到事半功倍的效果，下面略舉幾例加以說明.

一、反客為主

例1. 已知函數(shù)f（x）=aex-ln x-1.

（1）設(shè)x=2是f（x）的極值點，求a的值，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間 ;

（2）證明：當(dāng)a≥ 時，f（x）≥0.

【規(guī)范解答】（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0， +∞），f′（x）=aex- ，∵ f′（2）=0，∴ ae2- =0，a= . 則f（x）= ex-ln x-1，f′（x）= ex- ，當(dāng)02時，f′（x）>0，所以，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0， 2），f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（2， +∞）.

（2）將函數(shù)看成是關(guān)于a的一次函數(shù)，則f（a） =exa-ln x-1，因為ex>0，所以，當(dāng)a≥ 時，f（a）是單調(diào)遞增函數(shù)，則? f（a）≥f（a）min=f（ ）=ex-1-ln x-1，設(shè)g（x）=ex-1-ln x-1，g′（x）=ex-1 - ， 當(dāng) 01時， g′（x）>0， 所以， g（x）在（0， 1）上單調(diào)遞減，g（x）在（1， +∞）上單調(diào)遞增，g（x）min =g（1）=0，所以，f（a）≥f（a）min=f（ ）=ex-1-ln x-1≥0，綜上所述，當(dāng)a≥ 時，f（a）≥0.

【小結(jié)】從上述例子中，我們可以看到，在解決函數(shù)問題時不要墨守成規(guī)，總是將函數(shù)看成是自變量x的函數(shù)，其實換一個角度把它看成關(guān)于a的函數(shù)，這樣考慮既可以活躍思維也避免了復(fù)雜的運算，減少出錯的機會，使復(fù)雜問題簡單化，加深了對化歸數(shù)學(xué)思想的理解.

【實踐提高】當(dāng)m是什么整數(shù)時，關(guān)于x的方程x2-（m-1）x+m+1=0的兩個根是整數(shù)？

【參考解答】因為1-（m-1）+m+1≠0，所以x≠1，將方程整理為（x-1）m=x2+x+1，得：m= = =x+2+ ，因為x，m為整數(shù)，所以x-1=±1，x-1=±3，即x=-2， 0 ， 2， 4，將x=-2， 0 ， 2， 4代入上式，得m=-1或m=7，故當(dāng)m=-1或m=7時，方程x2-（m-1）x+m+1=0的兩個根是整數(shù).

二、化零為整

例2. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n（m>n），求它的前m+n項的和Sm+n.

【規(guī)范解答一】設(shè){an}的公差為d，由Sn=m，Sm=n，得：

Sn=na1+ d=m……（1）Sm=ma1+ d=n……（2），（2）-（1）得：

（m-n）a1+ d=n-m， ∵ m>n， ∴ a1+ d= -1.

∴ Sm+n=（m+n）a1+ d=（m+n）（a1+ d）=-（m-n）.

【規(guī)范解答二】設(shè)Sn=An2+Bn（n∈N？鄢），則

Am2+Bm=n……（3）An2+Bn=m……（4），（3）-（4）得：A（m2-n2）+B（m-n）=n-m，∵ m≠n， ∴ A（m+n）+B=-1，

∴ A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），Sm+n=-（m+n）.

【小結(jié)】由上面的解答可以看到并沒有求等差數(shù)列的首項和公差，而是將前m項和的式子與前n項和的式子作差的結(jié)果看作一個整體，將整體代入前m+n項的和Sm+n的式子求得結(jié)果，這充分體現(xiàn)了“化零為整”的思想，也就是說解題時不著眼問題的各個部分而把注意力放在整體結(jié)構(gòu)上，從整體角度思考，使解題過程簡捷優(yōu)化，避免了復(fù)雜的運算.

【實踐提高】若sin（ - ）= ，求cos（ +2 ）的值.

【參考解答】sin（ - ）=cos[ -（ - ）]=cos（ + ）= ，

∴ cos（ +2 ）=cos2（ + ）=2cos 2 （ + ）-1=2× -1=- .

三、化數(shù)為形

例3. 設(shè)向量 ， ?， ?滿足| |=| |=1， ?· =- ， < - ， ?- >=60°，求 | | 的最大值.

【規(guī)范解答】∵ ?· =- ，且 | |=| |=1，∴ cos< ， ?>= =- ，< ， ?>=120°，如圖1所示，將 ， ?， ?的起點平移至同一點O，OA= ，OB= ，OC= ，則 - ?= ， - = ，∠ACB=60°，于是四點A， O， B， C共圓，即點C在？駐AOB的外接圓上，故當(dāng)OC為直徑時，| | 取最大值，由余弦定理得AB= = ，由正弦定理得2R= =2，即 | | 的最大值為2.

【小結(jié)】解答本題的關(guān)鍵是“化數(shù)為形”，借助圖形的直觀性來探索數(shù)量關(guān)系，樹立數(shù)形結(jié)合意識，將向量 ， ?， ?的起點平移至同一點O，根據(jù)題設(shè)條件，得到A， O， B， C共圓，然后用正、余弦定理進(jìn)行解答，簡捷明了.

【實踐提高】求使 + 取最小值時x的值.

【參考解答】 + = + ，根據(jù)兩點間距離公式，上式的幾何意義是點（x， 0）到點A（0， 2）的距離與到點B（8， 4）的距離的和，如圖2所示，也就是在x軸上找一點，使得它到兩個定點A（0， 2）和B（8， 4）的距離最小，在平面上，當(dāng)三點共線時距離最小，于是，作出點A（0， 2）關(guān)于x軸的對稱點A′（0， -2），則點A′（0， -2）與點B（8，? 4）的連線與x軸的交點C就是要求的點，A′B的直線方程為3x-4y-8=0，直線與x軸的交點坐標(biāo)為C（ ， 0），所以，x的值為 .

四、正難則反

例4. 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1+ ，S3=9+3 .

（1）求等差數(shù)列{an}的通項公式與前n項和Sn;

（2）設(shè)bn= （n∈N？鄢），求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.

【規(guī)范解答】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知a1=1+ ， S3=3a1+3d=9+3 ， 解得d=2， 所以an=2n+ -1，Sn=n2+ n.

（2）由（1）可知bn=n+ ，假設(shè){bn}中存在三項bp，bq， br（p，? q，? r互不相等）成等比數(shù)列，則bq2=bp·br， 即， （ q+ ）2=（p+ ）（r+ ），q2+2 q+2=pr+ （p+r）+2，q2-pr+ （2q-p-r）=0，因為p，? q，? r∈N？鄢，所以，q2-pr=02q-p-r=0，q2 =pr，p+r=2q，（p+r）2=4q2，即（p+r）2=4pr，（p-r）2=0，p=r，與p，? q，? r互不相等矛盾，故數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.

【小結(jié)】“正難則反”就是解題時從問題的正面思考較為復(fù)雜或困難，可考慮從問題的反面入手，逆向求解，從而化難為易，由上面的解題過程我們可以看到這種思考方法可以避免復(fù)雜的討論，減少出錯的機會.

【實踐提高】已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0}，B={x|x<0}，若A∩B≠？準(zhǔn)，求實數(shù)m的取值范圍.

【參考解答】∵ A∩B≠？準(zhǔn)，B={x|x<0}，∴方程x2-4mx+2m+6=0應(yīng)有負(fù)根. 當(dāng)？駐=16m2-4（2m+6）≥0時，m≤-1或m≥ . 若方程x2-4mx+2m+6=0兩根均為非負(fù)數(shù)，則？駐≥0，x1+x2=4m≥0，x1x2=2m+6≥0，解得：m≥ ，所以方程有負(fù)根時？駐≥0，m< ，則m≤-1，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是{m|m<-1}.

五、動中思定

例5. 如圖3，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，點P，Q分別在底面ABCD、棱AA1上運動，且PQ=4，點M為線段PQ的中點，則當(dāng)P，Q運動時，求線段C1M的長度的最小值.

【規(guī)范解答】以A為坐標(biāo)原點，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，以AA1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖4所示，設(shè)M（x，? y，? z），則P（2x， 2y， z），Q（0， 0， 2z），由PQ=4，得 =4，化簡得x2+y2+z2=4，所以，點M的軌跡是以A為球心，半徑為2的八分之一個球，由此可知，|C1M|min=|C1A|-2=? 4 -2.

【小結(jié)】“動中思定”就是抓住運動變化過程中的某個特殊、暫時相對的靜止?fàn)顟B(tài)，從而發(fā)現(xiàn)變量和常量的關(guān)系，找到解題的突破口，在上述問題中點M是動的，但點M的軌跡是定的，所以，先求出點M的軌跡方程，進(jìn)一步分析可知當(dāng)點M在C1A的連線上時，線段C1M的長度有最小值，這樣問題便迎刃而解.

【實踐提高】如圖5，正方形ABCD的邊長為1， P，Q分別為邊AB，DA上的點. 當(dāng)？駐APQ的周長為2時，求∠PCQ的大小.

【參考解答一】延長AB至E，使BE=DQ，又∠CBE=∠CDQ= ，CB=CD，可得？駐CBE≌？駐CDQ，則∠DCQ=∠BCE，∠DCQ+∠QCB=∠BCE+∠QCB= ，即∠QCE= ，設(shè)DQ=x，PB=y，AQ=1-x，AP=1-y，PQ=x+y，PE=x+y，在？駐CPQ和？駐CPE中，CQ=CE，PQ=PE，PC為公共邊，？駐CPQ≌？駐CPE，所以，∠QCP=∠PCE，又∠QCE= ，∠PCQ= = .

【參考解答二】設(shè)AP=x， AQ=y，∠BCP= ，∠DCQ=？茁，則tan =1-x， tan？茁=1-y，于是 tan（ +？茁）= = . 又？駐APQ的周長為2，即x+y+ =2. 化簡可得xy=2（x+y）-2. 于是tan（ +？茁）= =1，又0< +？茁< ，所以， +？茁= ，∠PCQ= -（ +？茁）= .

六、執(zhí)果溯源

例6. 已知f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，且f′（x）

A. f（1）e2014f（0）

B. f（1）>ef（0），f（2014）>e2014f（0）

C. f（1）>ef（0），f（2014）

D. f（1）

【規(guī)范解答】設(shè)g（x）= ，g′（x）= ′=

= <0， 所以函數(shù)g（x）= 在R上是單調(diào)減函數(shù)，所以g（1）

【小結(jié)】“執(zhí)果溯源”就是由所要解決的問題出發(fā)去追溯問題的源頭，揭示問題的本質(zhì)，本題要找的源頭是構(gòu)造函數(shù)

g（x）= ，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識將問題完美的解決. 一般來說，構(gòu)造函數(shù)有下面的規(guī)律：1. 含導(dǎo)數(shù)式f′（x）g（x）+f（x）g′（x）可構(gòu)建函數(shù)F（x）=f（x）g（x）;2. 含導(dǎo)數(shù)式f′（x）g（x）-f（x）g′（x）可構(gòu)建函數(shù)F（x）= ;3. 含導(dǎo)數(shù)式f′（x）+f（x）可構(gòu)建函數(shù)F（x）=f（x）ex;4. 含導(dǎo)數(shù)式f′（x）-f（x）可構(gòu)建函數(shù)F（x）= ;5. 含導(dǎo)數(shù)式f′（x）+af（x）可構(gòu)建函數(shù)F（x）=f（x）eax;6. 含導(dǎo)數(shù)式f′（x）-af（x）可構(gòu)建函數(shù)F（x）= ;7. 含導(dǎo)數(shù)式f′（x）xln x+f（x）可構(gòu)建函數(shù)F（x）=f（x）ln x;8. 含導(dǎo)數(shù)式f′（x）xln x-f（x）可構(gòu)建函數(shù)F（x）= .

【實踐提高】已知函數(shù)f（x）的定義域為（1， +∞），f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)x>1時，xf′（x）ln x>f（x），f（e2）=2，則不等式f（ex）

A. （-∞， 2）????? B. （2， +∞）????? C. （0， 2）????? D. （1， 2）

【參考解答】 設(shè) g（x）= ，g′（x）= ′= ，當(dāng)x>1時，xf′（x）ln x>f（x），即f′（x）ln x- >0，由此得g′（x）>0，所以g（x）= 在（1， +∞）上是單調(diào)遞增函數(shù). 又f（e2）=2，當(dāng)x=e2時， = =1. 當(dāng)x>1時，由f（ex）

如何在解數(shù)學(xué)題時少走彎路？則需要考生養(yǎng)成良好的解題反思習(xí)慣，如何進(jìn)行反思？筆者認(rèn)為可以從以下幾個角度引導(dǎo)考生學(xué)會反思：1. 反思解題過程中所用的基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)思想方法;2. 反思解題過程中的易錯點、特殊解題技巧，如何突破固有的思維定勢以及對審題重要性的認(rèn)識;3. 反思解題所經(jīng)歷的思考過程，為什么這樣想？從題目哪個條件得到的啟發(fā)，由感性認(rèn)識上升到理性思維.

數(shù)學(xué)考試離不開解題，解題反思能夠更好地加深考生對問題的理解，提升對所學(xué)知識的綜合運用能力，體驗數(shù)學(xué)思想方法對解題的指導(dǎo)作用，久而久之，將會促成考生的反思意識由被動到主動，解題思維從模仿到創(chuàng)新，真正達(dá)到教育家陶行知所說的“處處是創(chuàng)造之地，天天是創(chuàng)造之時，人人是創(chuàng)造之人”的境界.

責(zé)任編輯 徐國堅