陳國真，徐斯強，劉品寬，丁 漢

(上海交通大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院，上海 200240)

1 引 言

快速反射鏡(Fast Steering Mirror, FSM)是用于光源和目標之間用以改變光束指向的裝置，廣泛應(yīng)用于成像系統(tǒng)、激光武器和空間光通信領(lǐng)域[1-4]。目前，基于柔性機構(gòu)的FSM得到了廣泛的研究，因為相比于剛性結(jié)構(gòu)，柔性機構(gòu)具有無摩擦、無裝配間隙、運動精度高等優(yōu)點[5]。

FSM一般由音圈電機和壓電陶瓷驅(qū)動[6-11]。相比于壓電陶瓷，音圈電機可以實現(xiàn)毫米級的運動行程，基于音圈電機驅(qū)動的FSM可以實現(xiàn)更大的偏轉(zhuǎn)角度。然而，傳統(tǒng)機構(gòu)中的音圈電機的動子會隨著FSM的運動而發(fā)生相應(yīng)的偏轉(zhuǎn)，動子末端會有較大的橫向位移。由于音圈電機的氣隙較小(氣隙和輸出力成反比)，當(dāng)FSM行程較大時，動子末端會和定子碰撞[12]。因此，基于音圈電機驅(qū)動的FSM為了實現(xiàn)大行程運動，必須消除動子的橫向位移。

對于運動控制系統(tǒng)，機構(gòu)的共振模態(tài)會降低閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，從而限制了高增益反饋控制器的使用，因而影響了系統(tǒng)帶寬的提高[13]。陷波濾波器是消除系統(tǒng)共振模態(tài)的有效方式，根據(jù)共振模態(tài)的頻率和阻尼比即可設(shè)計相應(yīng)的陷波濾波器[13-16]。為了補償模型誤差并提高抗干擾能力，采用比例積分(PI)控制器來實現(xiàn)閉環(huán)控制[16]。然而，當(dāng)柔性機構(gòu)的運動行程較大時，力-位移關(guān)系呈現(xiàn)出明顯的非線性[17-18]。機構(gòu)的剛度隨運動位置的增加而增大，從而導(dǎo)致共振頻率相應(yīng)的增大。若采用常值陷波濾波器，即共振頻率為常數(shù)，系統(tǒng)在不同位置處的帶寬性能會有較大差異。因此，對于大行程運動的FSM，采用常值陷波濾波器已不能有效地消除隨位置而變化的共振模態(tài)的影響。

本文設(shè)計了基于音圈電機驅(qū)動的新型FSM來實現(xiàn)大行程運動，采用柔性解耦機構(gòu)來消除電機動子的橫向位移。采用變值陷波濾波器來消除隨位置而變化的共振模態(tài)的影響，即將共振頻率表示為FSM運動位置的函數(shù)，并配合PI控制器實現(xiàn)閉環(huán)控制。通過仿真分析和實驗比較了采用常值和變值陷波濾波器時系統(tǒng)的帶寬性能，驗證了在運動行程較大的FSM系統(tǒng)中設(shè)計變值陷波濾波器的必要性和有效性。

2 結(jié)構(gòu)設(shè)計

圖1 快速反射鏡的機械結(jié)構(gòu)

FSM的結(jié)構(gòu)設(shè)計如圖1所示。FSM由反射鏡、4個音圈電機、基座和柔性解耦機構(gòu)組成。反射鏡為橢圓，尺寸為Φ100×Φ70.7×15 mm(長徑×短徑×厚度)。柔性解耦機構(gòu)由平動板、解耦板和轉(zhuǎn)動板組成，如圖2所示。FSM由4個音圈電機驅(qū)動，每兩個電機為一對(一個往上推，一個往下拉)驅(qū)動FSM來實現(xiàn)繞x(y)軸的轉(zhuǎn)動。當(dāng)4個音圈電機同時往上推或往下拉時，F(xiàn)SM即可實現(xiàn)沿z軸的平動。平行四桿機構(gòu)由4個平動板組成，實現(xiàn)沿z軸的平動，同時約束其它自由度的運動。電機沿z軸的豎直運動通過轉(zhuǎn)動板轉(zhuǎn)化為FSM的旋轉(zhuǎn)運動。解耦板可以實現(xiàn)繞x(y)軸的轉(zhuǎn)動，電機動子的橫向位移可轉(zhuǎn)化為解耦板的轉(zhuǎn)動。因此，通過柔性解耦機構(gòu)可以消除電機動子的橫向位移來實現(xiàn)FSM的大行程運動。

3 實驗系統(tǒng)搭建

FSM的柔性機構(gòu)通過電火花線切割技術(shù)進行加工，其結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。為便于設(shè)計和加工，解耦板和轉(zhuǎn)動板的結(jié)構(gòu)參數(shù)相同。利用線性驅(qū)動器(LA-210s-02-RA,VREDAN,Inc.)驅(qū)動音圈電機(LVCA-038-038-01, MOTICONT, Inc.)來實現(xiàn)電機沿豎直方向的運動，音圈電機的性能參數(shù)如表2所示。采用光柵尺(CE300-40,MicroE,Inc.)來測量FSM的輸出位移。光柵尺的分辨率為1 μm。將dSPACE-DS1103作為控制器來實現(xiàn)FSM系統(tǒng)的運動控制。實驗平臺系統(tǒng)如圖3所示。

圖2 快速反射鏡的柔性機構(gòu)

圖3 基于音圈電機驅(qū)動的快速反射鏡實驗平臺搭建

表1 柔性機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)

Tab.1 Structural parameters of compliant mechanism

(mm)

表1中，L1，L2，b1，b2和t1，t2分別表示平動板和轉(zhuǎn)動板(解耦板)的長度、寬度和厚度。

表2 音圈電機的性能參數(shù)

4 控制器設(shè)計

FSMθx和θy軸的控制器設(shè)計原理一樣，因此，本節(jié)以θx軸為例進行闡述。首先，通過實驗測試得到FSM在旋轉(zhuǎn)運動時的力-位移關(guān)系。然后，針對FSM的旋轉(zhuǎn)運動進行動力學(xué)建模，得到其開環(huán)傳遞函數(shù)。最后，計算得到FSM的共振模態(tài)與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，并據(jù)此設(shè)計相應(yīng)的變值陷波濾波器。

4.1 力-位移非線性特性

圖4 θx軸力-位移關(guān)系

當(dāng)柔性機構(gòu)實現(xiàn)大行程運動時，其力-位移關(guān)系呈現(xiàn)出非線性特性。一般來說，隨著位移的增大，柔性機構(gòu)的剛度逐漸變大，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的動力學(xué)模型發(fā)生變化。因此，要實現(xiàn)對大行程FSM的控制，必須得到其力-位移的非線性關(guān)系。經(jīng)實驗測試，F(xiàn)SMθx軸的力-位移關(guān)系如圖4所示。力和位移的關(guān)系可表示為：

Mx=2.73×103θx3-0.82θx2+33.91θx-2.13×10-3，

(1)

對式(1)求導(dǎo)，即可得到旋轉(zhuǎn)剛度和位移的關(guān)系，如下所示：

Kx=8.19×103θx2-1.64θx+33.91.

(2)

綜上所述，F(xiàn)SM在大行程運動時，力-位移關(guān)系呈現(xiàn)明顯的非線性，其旋轉(zhuǎn)剛度隨位移的增加而增大。

4.2 動力學(xué)建模

FSM的動力學(xué)方程可表示為：

2rkii(s)-Kθ(s)=s2Jθ(s),

(3)

其中：r和K分別表示FSM的旋轉(zhuǎn)半徑和旋轉(zhuǎn)剛度；ki和i分別表示音圈電機的力常數(shù)和電機電流；J和θ分別表示FSM的轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)動角度。

J=2r2(m1+m2)+J1,

(4)

其中：m1和m2分別表示音圈電機動子和連接塊的質(zhì)量；J1為FSM的轉(zhuǎn)動慣量。

根據(jù)基爾霍夫定律，可以推導(dǎo)出音圈電機的電學(xué)模型得到：

U(s)=(R+Ls)i(s)+kirθ(s)s,

(5)

其中：U表示音圈電機兩端的電壓；R和L分別表示音圈電機的電阻和電感。

控制信號u經(jīng)dSPACE放大十倍后即為驅(qū)動器的輸入信號，同時將Varedan驅(qū)動器近似為電流放大環(huán)節(jié)，即可得到dSPACE控制指令u和音圈電機兩端電壓U之間的關(guān)系：

(6)

根據(jù)式(3)～式(6)，F(xiàn)SM的傳遞函數(shù)可表示為：

(7)

其中：

4.3 變值陷波濾波器設(shè)計

FSM的開環(huán)傳遞函數(shù)為三階系統(tǒng)，包括一個二階阻尼震蕩環(huán)節(jié)和一個一階慣性環(huán)節(jié)。二階阻尼震蕩環(huán)節(jié)的共振會導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的降低，從而限制了高增益反饋控制器的應(yīng)用。因此，陷波濾波器被廣泛地用來消除系統(tǒng)共振模態(tài)的影響。

陷波濾波器可表示為：

(8)

其中ξ和w0分別表示系統(tǒng)的阻尼比和共振頻率。

陷波濾波器是一種特殊的帶阻濾波器，將帶阻濾波器的阻帶改成一個頻率點即為陷波濾波器。常值陷波濾波器只在目標頻率處具有幅值衰減的作用，在其他頻率點處基本沒有影響。然而，根據(jù)4.1和4.2節(jié)可知，本文設(shè)計的FSM的共振模態(tài)隨運動位置的變化而變化。由式(7)可得到FSM的共振頻率與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系：

ωx=3.60×104θx2-7.06θx+339.17.

(9)

因此，必須采用變值陷波濾波器來消除系統(tǒng)隨運動位置的變化而改變的共振模態(tài)的影響，即將式(8)中的固定值w0替換為式(9)所示的wx。

在零點位置處，根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)得到的阻尼比為0.108 4。相比于共振頻率的變化，阻尼比的變化對閉環(huán)帶寬的影響可忽略不計。因此，在不同位置處將阻尼比近似為常值0.108 4。

綜上所述，變值陷波濾波器可表示為位置的函數(shù)，即有：

(10)

采用PI控制器來實現(xiàn)整個系統(tǒng)的閉環(huán)控制。PI控制器可表示為：

(11)

5 仿真分析

采用Matlab軟件分別對常值和變值陷波濾波器進行仿真分析，從而驗證變值陷波濾波器的必要性和有效性。

根據(jù)式(10)，常值陷波濾波器可表示為 ：

(12)

PI控制器可表示為：

(13)

將式(12)所示的濾波器作為常值陷波濾波器來消除共振模態(tài)的影響，分別得到系統(tǒng)在零點和25 mrad處的頻率響應(yīng)，如圖 5所示。

圖5 采用常值陷波濾波器時θx軸在不同位置處的帶寬

采用常值陷波濾波器時，系統(tǒng)在零點處的帶寬為95.1 Hz；當(dāng)系統(tǒng)運動到25 mrad時，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)在共振頻率處有一個明顯的衰減，為-4.24 dB。因此，系統(tǒng)在25 mrad處的帶寬大幅度降低，為47.0 Hz。

采用式(10)所示的變值陷波濾波器來消除共振模態(tài)的影響，分別得到系統(tǒng)在零點和25 mrad處的頻率響應(yīng)，如圖6所示。采用變值陷波濾波器，系統(tǒng)運動到25 mrad時，它在共振頻率處的頻率響應(yīng)并沒有明顯的衰減，系統(tǒng)帶寬為91.2 Hz。

綜上所述，F(xiàn)SM沿θx軸運動時，變值陷波濾波器可以消除共振模態(tài)的影響。

圖6 采用變值陷波濾波器時θx軸在不同位置處的帶寬

6 實 驗

當(dāng)采用常值和變值陷波濾波器作為FSM系統(tǒng)的控制策略時，這里分別測試了系統(tǒng)在不同位置處的閉環(huán)帶寬性能，并通過對比實驗驗證了變值陷波濾波器的必要性和有效性。

6.1 常值陷波濾波器

在dSPACE中輸入掃頻信號，通過辨識得到θx軸的開環(huán)傳遞函數(shù)，擬合和實驗得到開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)結(jié)果，如圖 7所示。

圖7 θx軸開環(huán)辨識

辨識結(jié)果可表示為：

(14)

由式(14)可知，θx軸的共振頻率和阻尼比分別為：

ωx=336.15 rad/s,ξ=0.077 47.

(15)

根據(jù)式(8)設(shè)計相應(yīng)的常值陷波濾波器得到：

(16)

PI控制器可表示為：

(17)

采用式(16)設(shè)計的常值陷波濾波器和式(17)設(shè)計的PI控制器對FSM進行閉環(huán)控制，測試了θx軸在不同位置處的帶寬性能，如圖8所示。同理可得到θy軸在不同位置處的帶寬性能，如圖 9所示。

根據(jù)實驗結(jié)果可知，隨著運動位置的增大，F(xiàn)SM在共振頻率附近點處的頻率響應(yīng)出現(xiàn)明顯的衰減。在零點處，θx和θy軸在共振頻率附近點處頻率響應(yīng)的最小值分別為-0.56 dB和-0.69 dB，但隨著位置的增大，其值一直減小。當(dāng)系統(tǒng)運動到21.2 mrad時，θx和θy軸頻率響應(yīng)的最小值分別約為-3.93 dB和-4.45 dB。

系統(tǒng)在共振頻率附近點處頻率響應(yīng)的最小值的變化直接影響了其帶寬性能。如表 3所示，當(dāng)系統(tǒng)的運動位置小于15.2 mrad時，θx和θy軸的帶寬分別為95 Hz和110 Hz左右。當(dāng)系統(tǒng)運動到18.2 mrad時，系統(tǒng)沿θx和θy軸運動的帶寬分別驟降為47.92 Hz和57.1 Hz。

綜上所述，當(dāng)采用常值陷波濾波器時，系統(tǒng)在不同位置處的帶寬性能會有巨大的差異，因而無法保證FSM系統(tǒng)在大行程運動時的帶寬性能。其原因在于：當(dāng)FSM系統(tǒng)的運動位置增大時，其剛度增大，從而導(dǎo)致共振頻率隨之變大。此時，常值陷波濾波器已無法很好地消除共振模態(tài)的影響。

表3 采用常值陷波濾波器時不同位置處FSM的帶寬

Tab.3 Bandwidth of FSM at different positions using fixed notch filter

位置/mradθx軸帶寬/Hzθy軸帶寬/Hz0112.698.0615.2108.994.0318.257.147.9221.252.244.52

圖8 采用常值陷波濾波器時θx軸在不同位置處的帶寬

圖9 采用常值陷波濾波器時θy軸在不同位置處的帶寬

6.2 變值陷波濾波器

在不同位置處，對FSM系統(tǒng)進行辨識，得到其共振頻率與運動位置的關(guān)系為：

ωx=13.85x2-2.82x+337.67.

(18)

對于變值陷波濾波器，由于其共振頻率隨著運動位置的變化而變化，在Simulink中直接采用“Transfer Fun”將它寫為傳遞函數(shù)的方式無法實現(xiàn)。在本文中，變值陷波濾波器的實現(xiàn)方法如圖 10所示。

首先將式(8)所示的陷波濾波器的傳遞函數(shù)改寫為狀態(tài)變量，即為：

(19)

其中：x1，x2代表狀態(tài)變量，y和u分別代表輸出和輸入。

然后，在Simulink中調(diào)用“S-Function Builder”，根據(jù)式(18)和式(19)，模塊“Outputs”中的程序可表示為：

“double w;

w=13.85*pow(u2[0],2)-2.82*u2[0]+337.67;

y0[0]=(2*0.07747*w-2*w)*xC[1]+u1[0];”

模塊“Continuous Derivatives”中的程序可表示為：

“doublew;

w=13.85*pow(u2[0],2)-2.82*u2[0]+337.67;

dx[0]=xC[1];

dx[1]=-pow(w,2)*xC[0]-2*w*xC[1]+u1[0]?！?/p>

圖10 變值陷波濾波器Simulink 軟件程序

圖11 采用變值陷波濾波器時θx軸在不同位置處的帶寬

通過實驗測試了θx軸采用變值陷波濾波器時FSM在不同位置處的帶寬性能，如圖 11所示。同理可得到θy軸在不同位置處的帶寬性能，如圖 12所示。

圖12 采用變值陷波濾波器時θy軸在不同位置處的帶寬

根據(jù)實驗結(jié)果可知，隨著運動位置的增大，F(xiàn)SM系統(tǒng)在共振頻率點附近處的頻率響應(yīng)基本平穩(wěn)，并未出現(xiàn)明顯的衰減。如表4所示，系統(tǒng)沿θx和θy軸運動時的閉環(huán)帶寬基本穩(wěn)定在95 Hz和110 Hz。

表4 采用變值陷波濾波器時不同位置處FSM的帶寬

Tab.4 Bandwidth of FSM at different positions using variable notch filter

位置/mradθx軸帶寬/Hzθy軸帶寬/Hz0112.695.2115.2111.898.3718.2109.897.6621.2107.494.93

通過對FSM平臺輸入階梯信號來測試其最小分辨率，如圖13所示，F(xiàn)SM平臺的最小分辨率為±0.03 mrad。

綜上所述，采用變值濾波器可以有效地消除FSM系統(tǒng)隨位置變化而改變的共振模態(tài)的影響，使系統(tǒng)的帶寬性能在各個位置保持穩(wěn)定。通過實驗驗證了變值濾波器的有效性和必要性。

7 結(jié) 論

本文針對基于音圈電機驅(qū)動的FSM在大行程運動時電機動子和定子發(fā)生碰撞的問題，設(shè)計了新型的FSM柔性機構(gòu)來消除電機動子的橫向位移。針對FSM在大行程運動時的共振頻率會隨運動位置的變化而改變的問題，設(shè)計了變值陷波濾波器來保證系統(tǒng)在不同位置處的帶寬性能保持一致。設(shè)計的變值陷波濾波器的共振頻率為FSM運動位置的函數(shù)，并結(jié)合PI控制器實現(xiàn)閉環(huán)控制。實驗結(jié)果表明：采用常值陷波濾波器時，系統(tǒng)在不同位置處的帶寬差異較大；當(dāng)系統(tǒng)的運動位置小于15.2 mrad時，F(xiàn)SM沿θx和θy軸的帶寬分別為95 Hz和110 Hz左右；當(dāng)系統(tǒng)運動到18.2 mrad時，θx和θy軸的帶寬分別驟降為47.92 Hz和57.1 Hz。采用變值陷波濾波器時，快反鏡沿θx和θy軸在不同位置處的帶寬基本穩(wěn)定在95 Hz和110 Hz，驗證了變值陷波濾波器的有效性。