熊兵

[摘? 要] 文章通過(guò)一個(gè)探究問(wèn)題的分析研究，總結(jié)出探究問(wèn)題的解決分為兩條主線(xiàn)思路，同時(shí)其中一條主線(xiàn)思路分為三種方法，三種方法的核心都是通過(guò)弱化條件來(lái)解決問(wèn)題. 應(yīng)用此方法，可以培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立研究能力、創(chuàng)新能力.

[關(guān)鍵詞] 弱化;合情推理;探究

中學(xué)階段常遇到一些探究問(wèn)題，中高考也時(shí)常將其作為考題. 探究問(wèn)題類(lèi)型繁多，如純數(shù)字探究、圖形探究，純數(shù)字和圖形探究又可以分出很多不同的類(lèi)型. 既然探究問(wèn)題如此常見(jiàn)，那么值得深入研究.

下面我們來(lái)思考這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，平面內(nèi)五條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)有多少對(duì)對(duì)頂角？對(duì)于這樣的題目，方法有很多，本文將深入研究這個(gè)題目，進(jìn)而找到比較系統(tǒng)或者常規(guī)的處理方式來(lái)解決此探究問(wèn)題.

針對(duì)這個(gè)題目我們來(lái)分析一下它的一些做法，第1種方法，可以直接數(shù)，這個(gè)方法比較容易出錯(cuò)，因?yàn)槿菀讛?shù)重或數(shù)漏;第2種方法，這是我們要推廣的一種方法，它適合于這種規(guī)律性的探究問(wèn)題，同時(shí)還可以將其延伸到很多復(fù)雜類(lèi)型的問(wèn)題，這種思想就是降低題目的要求，即通過(guò)弱化條件來(lái)解決問(wèn)題. 以這個(gè)題目為例，本題中5條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，我們注意到5條直線(xiàn)較多，此時(shí)降低要求，要有交點(diǎn)，至少需要2條直線(xiàn)（如圖2），容易數(shù)出對(duì)頂角的數(shù)量為2對(duì)，接下來(lái)3條直線(xiàn)的情形（如圖3），4條直線(xiàn)、5條直線(xiàn). 我們研究從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的情形，找尋對(duì)頂角數(shù)量有什么樣的規(guī)律，由此猜想出平面內(nèi)5條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，對(duì)頂角的數(shù)量是多少. 當(dāng)然，這樣數(shù)比較容易出錯(cuò)，雖然這是一個(gè)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)程，但是如果某種情形數(shù)錯(cuò)，我們就總結(jié)不出正確的規(guī)律. 于是接下來(lái)又提供兩種思路，第1種思路，什么樣的情況會(huì)產(chǎn)生對(duì)頂角，根據(jù)對(duì)頂角定義“兩條直線(xiàn)相交會(huì)產(chǎn)生對(duì)頂角”，那多于兩條直線(xiàn)的情形，我們就任選兩條直線(xiàn)，它都可以形成對(duì)頂角，此時(shí)我們用排列組合的思想，即相當(dāng)于從n條直線(xiàn)當(dāng)中取兩條直線(xiàn)，產(chǎn)生兩組對(duì)頂角. 我們解決了n條直線(xiàn)交于一點(diǎn)的對(duì)頂角的數(shù)量（2C■），這是從對(duì)頂角定義的角度去思考的. 第1種思路可能不太容易想到，第2種思路是我們?cè)谧鲞@類(lèi)題目時(shí)最重要的一種思路. 在第2種思路中，一定要注意研究新加入一條直線(xiàn)之后，對(duì)頂角數(shù)量發(fā)生了什么樣的變化. 相同類(lèi)型甚至很多其他類(lèi)型的題目都可以用這種思路去研究. 比如兩條直線(xiàn)相交，有兩對(duì)對(duì)頂角，再加入一條直線(xiàn)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)直接數(shù)會(huì)有6組對(duì)頂角. 接下來(lái)我們的任務(wù)是一定要去研究新增加的這4對(duì)對(duì)頂角是怎么來(lái)的，這樣我們便會(huì)研究出再加入一條直線(xiàn)，它又會(huì)發(fā)生什么樣的變化，于是我們可以進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納，用一個(gè)合情推理來(lái)解決. 最后我們可以推廣到n條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)交于一點(diǎn)有多少對(duì)對(duì)頂角.

接下來(lái)，通過(guò)這個(gè)題目的研究，我們總結(jié)一下研究過(guò)程.

這個(gè)模型的構(gòu)建借助于剛才研究的問(wèn)題，我們對(duì)應(yīng)起來(lái)解釋?zhuān)瑥奶骄繂?wèn)題出發(fā)，兩種思路，一是直接數(shù)（即直接研究）. 二是弱化條件研究，從兩條直線(xiàn)開(kāi)始研究，然后又分出三個(gè)思路，（1）直接數(shù)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜（即直接研究）;（2）研究每一種情況的對(duì)頂角數(shù)量，根據(jù)對(duì)頂角的定義任選兩條直線(xiàn)都可以形成對(duì)頂角，用排列組合的思想，相當(dāng)于從n條直線(xiàn)當(dāng)中取兩條直線(xiàn)產(chǎn)生兩組對(duì)頂角，n條直線(xiàn)交于一點(diǎn)的對(duì)頂角的數(shù)量就是2C■（即研究問(wèn)題本質(zhì)）;（3）研究新加入一條直線(xiàn)之后，對(duì)頂角數(shù)量發(fā)生了什么樣的變化，合情推理然后得出結(jié)論（即研究問(wèn)題變化）.

通過(guò)此模型，我們來(lái)看以下問(wèn)題.

例1：在△ABC中，畫(huà)出一個(gè)正方形，要求正方形的一邊在AB邊上，剩下兩個(gè)正方形的頂點(diǎn)剛好在AC，BC邊上.

解決方法，弱化條件，畫(huà)一個(gè)正方形的一邊在AB邊上，剩下一個(gè)正方形的頂點(diǎn)剛好在AC邊上，畫(huà)出大小不同的情形，然后發(fā)現(xiàn)不同情形的正方形中，剩下的不在三角形邊上的頂點(diǎn)剛好在一條直線(xiàn)上，連接其中不在三角形邊上的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線(xiàn)交BC邊于點(diǎn)D，于是從D點(diǎn)出發(fā)作出正方形即可. （如圖5）

例2：尺規(guī)作圖作已知三角形的外接圓.

解決方法，找到圓心，圓心滿(mǎn)足到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，弱化要求，假設(shè)到其中兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等，則圓心在三角形邊的中垂線(xiàn)上，畫(huà)出兩邊的中垂線(xiàn)，交于一點(diǎn)D，即為圓心. （如圖6）

例3：給定兩條平行線(xiàn)及平行線(xiàn)間一點(diǎn)，尺規(guī)作圖作一個(gè)圓與給定的兩直線(xiàn)相切并通過(guò)已知點(diǎn).

解決方法，此問(wèn)題同樣需要找到圓心，直徑即平行線(xiàn)之間的距離，既然知道了直徑，因此我們?nèi)趸瘲l件，圓心與已知點(diǎn)的距離確定，可以畫(huà)出到已知點(diǎn)距離為半徑的軌跡為一個(gè)圓，圓上的點(diǎn)作圓心都可以，再確定圓心在給定的平行線(xiàn)之間的一條直線(xiàn)上，找交點(diǎn)確定圓心.

例4：凸多邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)問(wèn)題.

解決方法，我們可以采取兩種不同的弱化方式，一是從四邊形開(kāi)始數(shù)多邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)，然后逐漸增加邊數(shù)研究規(guī)律，這種方式剛好符合剛開(kāi)始舉例的問(wèn)題，也可以采取三種方法去解決問(wèn)題;二是弱化到數(shù)一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)，然后結(jié)合所有頂點(diǎn)一起考慮.

例5：多項(xiàng)式（a+b）2020的展示開(kāi)式的研究.

解決方法，我們可以從指數(shù)為1開(kāi)始研究，然后指數(shù)為2、指數(shù)為3，展開(kāi)后研究系數(shù)及字母指數(shù)的變化，得出結(jié)論，同時(shí)還可以進(jìn)行推廣研究.

總之，弱化條件合情推理解決問(wèn)題是一種行之有效且常用的方法，它不但可以解決一些常見(jiàn)的探究性問(wèn)題，同時(shí)還可以推廣出更多有趣、有意義的延伸結(jié)論，甚至有時(shí)還能觸類(lèi)旁通解決不同類(lèi)型的問(wèn)題. 應(yīng)用此方法，可以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究能力、創(chuàng)新能力. 有了獨(dú)立研究的經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)過(guò)程中將受益匪淺.