梁建輝

[摘? 要] 在核心素養(yǎng)理念下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)從傳統(tǒng)的“雙基”拓展到“四基”，其中特別強調(diào)數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的滲透，因此，基于HPM視角開展數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的意義. 文章以“兩角和與差的余弦公式”一課的教學(xué)為例，對HPM視角的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的意義和操作范式進行論述.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);HPM視角;探究

HPM是數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育相融合的簡稱，在傳統(tǒng)的教學(xué)模式下，選擇這一模式的教師非常少，大多數(shù)教師只關(guān)注對學(xué)生進行數(shù)學(xué)知識的傳授，所以很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中難以形成完整的體系，并會感到這門學(xué)科的枯燥和乏味. 在核心素養(yǎng)的理念下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)從傳統(tǒng)的“雙基”拓展到“四基”，其中特別強調(diào)數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的滲透，因此，基于HPM視角開展數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的意義. 本文以“兩角和與差的余弦公式”一課的教學(xué)為例，對HPM視角的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的意義和操作范式進行論述.

■HPM模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

HPM這一模式的重要意義在于能幫助學(xué)生生成親身體驗，感受數(shù)學(xué)家的真實故事，激發(fā)其對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)熱情，改變其錯誤認(rèn)知或者片面認(rèn)知，樹立學(xué)習(xí)自信，并且能夠有效地促進學(xué)生思維水平的提升和探究能力的培養(yǎng).

1. 引導(dǎo)數(shù)學(xué)思維歷練

對于學(xué)生而言，他們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識或者分析現(xiàn)實問題時，就是經(jīng)歷一個空間想象、觀察發(fā)現(xiàn)以及抽象概括的一系列思維活動以及思維過程. 在核心素養(yǎng)的理念下，教師的有效輔助能引發(fā)學(xué)生的深度思考，幫助學(xué)生面對客觀事物生成正確的判斷，揭示潛藏于其后的數(shù)學(xué)現(xiàn)象具有重要的意義. 在數(shù)學(xué)史中既包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法等，也包括其起源以及發(fā)展歷程，是所有的先輩們經(jīng)歷了艱苦卓絕的研究所總結(jié)出的實踐成果，同時又具備典型的抽象性以及高度的凝練性，在數(shù)學(xué)史中蘊含的思維有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 因此，基于HPM視角開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠有效地鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

2. 進行數(shù)學(xué)文化滲透

在人類文化中，數(shù)學(xué)是其中的重要組成部分，而數(shù)學(xué)教育也不僅僅是針對知識的教育，還應(yīng)當(dāng)包含文化教育. 作為數(shù)學(xué)文化教育的重要載體，選擇HPM模式是為了能夠使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的過程中提升個體的文化修養(yǎng)，并還原數(shù)學(xué)知識的誕生過程，有利于推進學(xué)生數(shù)學(xué)文化的生成. 此外，還能夠幫助學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)價值觀，并通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)其中的獨有之美. 只有學(xué)生對數(shù)學(xué)文化產(chǎn)生濃厚的興趣時，才會主動了解數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)生過程，感受其發(fā)展變化.

3. 促進數(shù)學(xué)興趣提升

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既沒有游戲，也很少涉及實驗，而學(xué)科本身的特點也決定了其理論知識的高深莫測，常常使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒. 但是，在數(shù)學(xué)發(fā)展史中蘊含了極其深厚的積淀，教師可以在教學(xué)枯燥的公式推導(dǎo)或者概念定義的過程中，引入相關(guān)知識點的起源以及發(fā)展過程，或者也可以說一說相關(guān)的故事軼聞，這樣就能夠提高學(xué)習(xí)的趣味性，相信會使更多的學(xué)生對數(shù)學(xué)這門學(xué)科產(chǎn)生濃厚的興趣.

■基于HPM視角的“兩角和與差的余弦公式”教學(xué)探索

以下，筆者結(jié)合“兩角和與差的余弦公式”一課的教學(xué)為例，論述HPM模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用策略.

1. 情境引入

問題情境1：出示30°，45°角，讓學(xué)生使用不同的方法求它們的正弦值和余弦值.

在自主探究之后，學(xué)生紛紛給出了不同的見解，有的使用計算器，有的使用測量，也有的提出使用勾股定理，利用畫圖的方法對這一問題進行探索：繪制一個斜邊為1的直角三角形，然后利用其特殊的性質(zhì)，引入勾股定理可以了解其他各邊的長度，再將對邊比斜邊，就能分別得出每一個角的正弦值和余弦值.

問題情境2：根據(jù)45°和30°的正弦值和余弦值，是否可以求出cos15°？

師：如果使用銳角α和β分別代替45°和30°，是否能夠借助α和β的正弦值和余弦值來表示cos（α-β）？

生：cos45°-cos30°=■-■=■，而cos15°=cos（45°-30°）≠cos45°-cos30°，由此可以說明：對于任意角α和β，等式cos（α-β）=cosα-cosβ不成立.

師：那么，究竟應(yīng)該如何表示呢？接下來，我們走入今天的課堂教學(xué).

2. 公式探究

問題情境3：有兩個直角三角形AOC和BO′D，它們的斜邊都是1，其中的一個銳角分別為α和β，如何構(gòu)造α和β？

生1：可以先將兩個直角三角形拼接在一起，這樣兩個頂點O和O′相重合.

師：應(yīng)該怎樣得到α-β呢？

生2：兩個頂點重合之后，OC和O′D部分重合（圖1），則∠AOB=α-β.

師：因為課堂時間有限，我們從中選擇兩種方法進行深入研究. 能否使用α和β，分別表示圖形中的線段呢？

生：AC=sinα，OC=cosα，BD=sinβ，O′D=cosβ.

師：怎樣才能從中找到一條輔助線，使其長度等于cos（α-β）？

生1：過點A作OB的垂線交OB于N，此時ON=cos（α-β）.

生2：過點B作OA的垂線交OA于N，此時ON=cos（α-β）.

師：回答得非常好，想要研究cos（α-β），首先需要了解ON的長度. 那么，使用α，β的正弦值和余弦值，如何表示線段ON的長度？

學(xué)生在研究的過程中遭遇到了阻礙，此時，教師對學(xué)生進行引導(dǎo).

師：看起來大家都遭遇了困境，根據(jù)現(xiàn)在的解題，是否需要添加新的輔助線？

生1：過點C作OB的垂線交OB于E，則OE=OCcosβ=cosαcosβ，ON=OE+EN.

生2：過點D作OA的垂線交OA于E，OE=ODcosα=cosαcosβ，ON=OE+EN.

師：根據(jù)已知的三角形，如何表示線段EN？

生1：過點C作AN的垂線，垂足為F，由此生成一個新的Rt△AFC，其中，CF=ACsinβ=sinαsinβ.

生2：過點B作DE的垂線，垂足為F，由此生成一個新的Rt△DFB，其中，BF=BDsinα=sinαsinβ.

師：根據(jù)已經(jīng)表示的線段的長度，能否將cos（α-β）與α，β的正弦值和余弦值之間建立關(guān)系？

生1：因為ON=OE+EN=OE+CF，由此可以得出cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

生2：因為ON=OE+EN=OE+BF，由此可以得出cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

師：上述推導(dǎo)所建立的前提是α和β為銳角，如果其為任意角，這一結(jié)論是否仍然成立？

生：當(dāng)α和β在其他范圍內(nèi)時，可以根據(jù)誘導(dǎo)公式證明其成立.

板書：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ（α，β為任意角）.

師：上面的推導(dǎo)過程我們選擇了幾何推導(dǎo)法，你是否還有其他更簡便的方法？回憶上述的推導(dǎo)過程，你是否可以找到一個更便捷的幾何模型，使其可以直接推導(dǎo)出任意角的前提下兩角差的余弦公式？

先播放微視頻，借助板書呈現(xiàn)兩點間距離公式及其推導(dǎo)方法，具體內(nèi)容如下：

借助帕普斯模型為我們樹立了直觀感知，但是對于古代的數(shù)學(xué)家而言，僅滿足于驗證銳角的情形，隨著知識的拓展和深入，越來越多的數(shù)學(xué)家開始關(guān)注這一結(jié)論是否適用于任意角的情形. 利用帕普斯模型所推導(dǎo)出的公式，還需要在誘導(dǎo)公式的輔助下進行推廣，具有較高的煩瑣性. 1941年，E. J. McShane對公式進行了再次推導(dǎo)：在一個單位圓中，α和β為任意角，其邊分別與單位圓相交于B（cosα，sinα），C（cosβ，sinβ）兩點. 將△BOC以順時針的方向進行旋轉(zhuǎn)，OC與OA重合，OB與OD重合，此時，點D的坐標(biāo)為（cos（α-β），sin（α-β）），由AD=CB，根據(jù)兩點間距離公式可以推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.

實際上，這也是教材為我們呈現(xiàn)的證明方法，通過數(shù)形結(jié)合的方式，完成了順利推導(dǎo)，也能夠了解其適用于任意角的情形.

師：如果了解了兩角差的余弦公式，你是否可以推導(dǎo)出兩角和的余弦公式？

生：cos（α+β）=cos[α-（-β）]=cosα·cos（-β）-sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

教師補充并完成板書.

3. 公式應(yīng)用

呈現(xiàn)習(xí)題：

（1）請你根據(jù)今天所學(xué)過的知識求出cos15°和cos75°的值.

（2）化簡：cosαcos（60°-α）-sinα·sin（60°-α）.

（3）你能利用兩角和與差的余弦公式證明“cos（π-α）=sinα”嗎？

由學(xué)生自主探究、自主回答，目的是為了幫助學(xué)生提高對公式的運用熟練度，還能夠從中體會三角代換思想，為接下來的深入學(xué)習(xí)打下良好且扎實的根基.

4. 課堂總結(jié)

基于帕普斯模型，從中提煉出兩種方法，其核心思想都是構(gòu)造直角三角形，由此提煉出三角函數(shù)線段，因此，這一方法具有極強的直觀性特點;旋轉(zhuǎn)法的典型優(yōu)勢在于便捷簡單，能夠直接求出任意兩角差的余弦公式，同時也是對帕普斯模型的有效突破.

總之，在本課的教學(xué)中，在于HPM視角下基于兩種不同的幾何模型，完成對兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)以及直觀想象素養(yǎng). 微視頻中所呈現(xiàn)的是相關(guān)知識點的發(fā)展歷史，是對學(xué)生視野的有效拓寬，可以使學(xué)生在深度學(xué)習(xí)的過程中，充分感受到數(shù)學(xué)知識所潛藏的人文精神. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中引入HPM模式，能夠提高課堂教學(xué)的趣味性，能夠幫助學(xué)生追根溯源，找到知識的發(fā)展起源，感受其發(fā)展歷程，體會知識的魅力，全面提高學(xué)習(xí)興趣.