（西藏昌都市第三高級中學(xué) 西藏 昌都 854000）

函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，函數(shù)理論是高等數(shù)學(xué)的主要組成部分，是近代科學(xué)技術(shù)不可缺少的工具。全國統(tǒng)編的中學(xué)課本對于函數(shù)的初步知識給予了應(yīng)有的重視。例如，在初中學(xué)過的函數(shù)及圖象的基礎(chǔ)上，到高一又緊接著講授集合的簡單知識，從而通過集合元素的對應(yīng)關(guān)系加深對函數(shù)概念的理解。在此基礎(chǔ)上，課本又通過冪函數(shù)的內(nèi)容和初中函數(shù)知識的復(fù)習(xí)，引出了函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性。進而借助于單調(diào)函數(shù)及其圖象的學(xué)習(xí)，又從單值函數(shù)引出一一對應(yīng)函數(shù)，從一一對應(yīng)函數(shù)引出逆對應(yīng)函數(shù)。同時由逆對應(yīng)引出反函數(shù)的概念。最后通過指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)進一步加深對反函數(shù)的認識。

綜上所述，可以發(fā)現(xiàn)新教材中的函數(shù)知識比過去增加了一些新內(nèi)容。為了比較深入的體會新教材，就函數(shù)的定義談一些看法，達到從此教學(xué)中鑒別新教材的目的。

幾種函數(shù)定義的討論

1.依賴性的函數(shù)概念。早期的課本往往以變量間依賴性，互變性來表達函數(shù)，都類似于下面的定義；

若兩個變量，當(dāng)?shù)谝粋€變量變化時，第二個變量也隨著起變化，則第二個變量叫第一個變量的函數(shù)。

這個定義它樸素地反應(yīng)了函數(shù)中辯證唯物主義的思想，并在特定條件下體現(xiàn)了自變到因變的生動過程，總結(jié)了訐多函數(shù)的共性，可以認為它是科學(xué)函數(shù)概念的雛形。但這個定義沒有兩個變量的數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，也就是說它沒有反映科學(xué)的函數(shù)概念的特征，同時，它強調(diào)變量變化從而縮小了概念的外延。例如：y＝sin2x＋cos2x不論x取怎樣的實數(shù)值，對應(yīng)于y的值始終是1，在這種情況下函數(shù)并不依賦于變量x的值的選擇。這個例子說明了函數(shù)概念中重要的不是自引起因變的現(xiàn)象，而應(yīng)該是它們的對應(yīng)關(guān)系。所以這樣描述的函數(shù)是粗糙的，片面的。為了糾正這個缺點，課本又對函數(shù)概念作了如下的修正；如果有兩個變量，當(dāng)一個變量變化時，另一變量也相應(yīng)的變化，當(dāng)?shù)谝粋€變量取某一固定的數(shù)時，第二變量就相應(yīng)地取確定的數(shù)值，我們把第二個變量叫做第一個變量的函數(shù)。

2.函數(shù)的運算定義。歷史上，首先給出函數(shù)的運算的是貝努里。后來尤拉明確的提出，一個變量的函數(shù)是一解析表示，由這個變量及一些數(shù)或常數(shù)用任何運算方式結(jié)合而成，這就是尤拉明確的定義。我國最早也采用的是類似的定義。

對這樣的定義，需說明以下幾點：

1.用這種觀點敘述函數(shù)顯然也是片面的。因為它把函數(shù)這一廣泛的概念和定義的表示法混同了起來，從而又人為的縮小概念的外延，所以將它作為看待是不相稱的，而作為解折式所表達的內(nèi)容卻又是必要的。因為強調(diào)由解析式給出的函數(shù)，從數(shù)學(xué)觀點來看，這是非常重要的一個方面，由于函數(shù)可以由式子給出，這對于用數(shù)學(xué)方法來討論函數(shù)的性質(zhì)是一個很有利的條件。

2.把解析式與函數(shù)概念等同起來是歷史的必然。因為自然界中各種物體和現(xiàn)象都是相互聯(lián)系的，彼此依賴的。人們在早期的實踐中形成了物理學(xué)中各種用公式來表達的定理，而這些定理正是函數(shù)概念。

上述函數(shù)概念的推導(dǎo)也是歷史的必然。我們知道，按指定法則變化曲線是產(chǎn)生函數(shù)的幾何方面的根源。有人認為函數(shù)是一條可以隨意描畫的曲線，并以此來代替函數(shù)的運算定義。在那里把一個變量的函數(shù)歸結(jié)到曲線上的點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，表明圖形可以單獨地確定函數(shù)，而不管圖形有無公式給出。

3.對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義。1837年，一位數(shù)學(xué)家提出：若給定了確定的X的數(shù)值，就對應(yīng)著Y的確定的數(shù)值，則稱Y是自變量X的函數(shù)。等到集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，許多作者就改用了集合和對應(yīng)的兩個原始概念來敘述，這種改寫后的定義是這樣講的：給出兩個集合M和N，對于集合M的每一個元素x，可以依照某一對應(yīng)法則使之對應(yīng)于集合N中的某一元素Y，假定這種對應(yīng)建立了，我們就說在集合M上確走了一個函數(shù)。

這個定義的優(yōu)點在于：

1.這個定義抓住了函數(shù)的本質(zhì)屬性。從定義的敘述可以知道，要把變量Y稱為變量x的函數(shù)，只須有一個法則存在，使得這個函數(shù)的定義域中每一個x值，有一個確定的Y值和它相對應(yīng)就可以了，不管這個法則是如何提出的公式、圖形、表格或其它任何方式。這個定義于前面敘述的幾個定義在理論上并不相抵觸，但比前面的定義要帶有普遍性和廣泛性。從函數(shù)理論的發(fā)展史和它的應(yīng)用來看都證實了這種定義的優(yōu)越性。

2.從這個定義中，我們可以看到確定一個函數(shù)的三個要素：（1）變量值的集合M；（2）函數(shù)值的集合 N；（3）對應(yīng)關(guān)系：由它可以使每一個變量對應(yīng)一個完全確定的函數(shù)值。

3.中學(xué)課本中的函數(shù)定義。中學(xué)數(shù)學(xué)的函數(shù)定義，有多次變化，但基本上屬于傳統(tǒng)定義。下面列舉兩種代表性的提法：

數(shù)值可以任意選擇的變量叫自變量。如果對自變量的每一個確定的值，另一個變量有確定的值和它對應(yīng)，那么這個變量叫做自變量的函數(shù)。

設(shè)在某變化過程中有兩個變量x和Y，變量x依賴于Y，若對與x的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法則，Y都有唯一確定的一個值和它對應(yīng)，那么Y就叫做x的函數(shù)。

就上面的兩種定義，新教材中的函數(shù)概念在下面幾個方面加強了：

1.教材的課本中還進一步指出：x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，和x的值相對應(yīng)的Y的值的全體叫函數(shù)的值域，函數(shù)的定義域和值域都是一些實數(shù)的集合，函數(shù)概念中的對應(yīng)法則是指值對應(yīng)等。

2.課本中列舉了有名的笛克雷函數(shù)說明，表示函數(shù)的式子可以由定義域中不同子集上的不同式子給出。通過此例豐富了對函數(shù)的感性認識，還可以預(yù)防函數(shù)概念上的差錯。

3.在函數(shù)圖象教材方面，新教材通過圖說明函數(shù)的圖象不一定都是一些平滑的直線，也可以是一些點，一些線段還可以是一些曲線。這里從數(shù)形結(jié)合的第二個回合又加深了對函數(shù)的認識，有利于形象思維向抽向思維的過渡。

4.新教材引入了區(qū)間的概念和符號，因此，連續(xù)實數(shù)的集合，就可以有三種表示方法。這對后繼課程的學(xué)習(xí)和自學(xué)帶來了很大的方便。

從以上兩種形式的定義中，可以看到，新課本采用單值函數(shù)的定義，我們認為這種處理比較好，它方便由單值對應(yīng)引出一一對應(yīng)，方便直接定義反函數(shù)。