張兵源

(福建省漳州市教育科學(xué)研究院 363000)

一、試題呈示

題目已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一的零點(diǎn)；(2)若x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax,求a的取值范圍.

試題分析2019年高考新課標(biāo)Ⅰ卷文科第20題,以三角函數(shù)為載體考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.試題平和——表述簡明,言簡意賅;穩(wěn)定——平穩(wěn)過渡,風(fēng)采依舊.試題分為兩步,具有梯度性,層次感強(qiáng),既能夠讓不同的考生都有所收獲,也能夠讓優(yōu)秀的學(xué)生脫穎而出.第一小題證明導(dǎo)函數(shù)存在唯一的零點(diǎn),需要借助導(dǎo)數(shù)工具結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求證;第二小題已知恒成立問題求參數(shù)的取值范圍,融函數(shù),導(dǎo)數(shù),不等式等眾多知識(shí)點(diǎn)于一體,深刻體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生能力考查,對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用.實(shí)際解題時(shí),對(duì)考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋找合理的解題策略和考生的邏輯思維,運(yùn)算求解能力都提出很高的要求,能有效地反映考生的思維層次的高低,給優(yōu)秀學(xué)生提供充分施展才能的空間.

二、試題解析

1.對(duì)第一小題的解析

思路1直接法

f′(x)=cosx+xsinx-1，記g(x)=f′(x)，轉(zhuǎn)化為證明g(x)在(0,π)存在唯一的零點(diǎn).

g′(x)=xcosx，

所以f′(x)在(0,π)存在唯一的零點(diǎn),得證.

點(diǎn)評(píng)思路1對(duì)f(x)求導(dǎo),得到導(dǎo)函數(shù)f′(x),將f′(x)看成一個(gè)新的函數(shù)g(x),對(duì)g(x)再求導(dǎo),借助導(dǎo)數(shù)考察g(x)的單調(diào)性,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明出g(x)在(0,π)存在唯一的零點(diǎn).思路清晰自然,直奔目標(biāo),迅速求解.

思路2間接法

令f′(x)=0,得cosx+xsinx-1=0,即cosx+xsinx=1.

記φ(x)=cosx+xsinx,轉(zhuǎn)化為證明直線y=1與曲線φ(x)=cosx+xsinx在(0,π)有唯一一個(gè)交點(diǎn).

φ′(x)=xcosx,

又φ(0)=1,φ(π)=-1<0,畫出曲線φ(x),如圖1所示.

圖1

故直線y=1與曲線φ(x)=cosx+xsinx在(0,π)只有一個(gè)交點(diǎn),得證.

點(diǎn)評(píng)思路2借助函數(shù)與方程思想,將問題轉(zhuǎn)化為證明直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn),是數(shù)形結(jié)合思想的深刻體現(xiàn).

2.對(duì)第二小題的解析

思路1由f(x)≥ax,得2sinx-xcosx-x-ax≥0.

記g(x)=2sinx-xcosx-x-ax,則g(x)≥0.顯然g(0)=0,g(π)=-aπ.

g′(x)=cosx+xsinx-a-1,g″(x)=xcosx.

g′(0)=-a,g′(π)=-2-a.

若-a<0,即a>0時(shí),必存在δ>0,當(dāng)x∈(0,δ)時(shí),g′(x)<0,g(x)在x∈(0,δ)單調(diào)遞減,g(x)

若-a≥0,即a≤0時(shí),

當(dāng)-2-a≥0,即a≤-2時(shí),g′(x)≥0,g(x)在x∈(0,π)單調(diào)遞增,g(x)≥g(0)=0,符合題意.

當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g′(x)>0,g(x)在x∈(0,x0)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),g′(x)<0,g(x)在x∈(x0,π)單調(diào)遞減.

又g(0)=0,g(π)=-aπ≥0.

所以g(x)≥0,符合題意.綜上有a≤0.

點(diǎn)評(píng)思路1是構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)g(x),求導(dǎo),對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論.難點(diǎn)在于如何找到討論的點(diǎn).由于g′(0)=-a,g′(π)=-2-a,所以不難想到必須對(duì)這兩個(gè)端點(diǎn)值與零進(jìn)行分類討論.

思路2由f(x)≥ax,得2sinx-xcosx-x-ax≥0.

記g(x)=2sinx-xcosx-x-ax,則g(x)≥0.顯然g(0)=0.

g′(x)=cosx+xsinx-a-1,令g′(0)≥0,得a≤0.

下證當(dāng)a≤0時(shí)有g(shù)(x)≥0.

當(dāng)a≤0時(shí),g′(x)=cosx+xsinx-a-1,g″(x)=xcosx.

g′(0)=-a≥0,g′(π)=-2-a.

當(dāng)-2-a≥0,即a≤-2時(shí),g′(x)≥0,g(x)在x∈(0,π)單調(diào)遞增,g(x)≥g(0)=0,符合題意.

當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g′(x)>0,g(x)在x∈(0,x0)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),g′(x)<0,g(x)在x∈(x0,π)單調(diào)遞減.

又g(0)=0,g(π)=-aπ>0.

所以g(x)≥0,符合題意.

綜上有a≤0.

點(diǎn)評(píng)思路2先求出符合題意的必要條件再驗(yàn)證充分性.由于g(x)在端點(diǎn)處的函數(shù)值剛好是零,且g(x)≥0恒成立,因此必有g(shù)′(0)≥0,從而解出a≤0.但是還必須證明a≤0就是使得g(x)≥0恒成立的參數(shù)a的取值范圍.

思路3當(dāng)x=0時(shí),有0≥a·0,a∈R.

記T(x)=2xcosx-2sinx+x2sinx,T′(x)=x2cosx.

T(0)=0,T(π)=-2π<0.

當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),T(x)>0,φ′(x)>0,φ(x)在x∈(0,x0)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),T(x)<0,φ′(x)<0,φ(x)在x∈(x0,π)單調(diào)遞減.

又φ(π)=0,畫出φ(x)的圖象,如圖2所示.

圖2

所以φ(x)的最小值為0,故a≤0.

綜上有a≤0.

點(diǎn)評(píng)思路3是分離變量轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.將參數(shù)a與變量x分離,轉(zhuǎn)化成a≤φ(x)min.由于φ(x)的最值在端點(diǎn)處往往取不到,所以需要借助極限的知識(shí)或者洛必達(dá)法則求解.

思路4由第一小題知f′(x)在(0,π)存在唯一的零點(diǎn),設(shè)為x0.且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,x0)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(x0,π)單調(diào)遞減.又f(0)=f(π)=0,即當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)≥0.又有?x∈[0,π]時(shí),f(x)≥ax.所以a≤0.綜上有a≤0.

思路5由題意有f(π)≥aπ,又f(π)=0,所以aπ≤0,即a≤0.由第一小題知f′(x)在(0,π)存在唯一的零點(diǎn),設(shè)為x0.且當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,x0)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x0,π)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(x0,π)單調(diào)遞減.又f(0)=f(π)=0,即當(dāng)x∈[0,π]時(shí),f(x)≥0.又當(dāng)a≤0,x∈[0,π]時(shí),ax≤0.所以f(x)≥ax.綜上有a≤0.

三、試題變式

變式1已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=x2+ax-2xsinx+1.

解析(1)略.(2)由已知有ex-x2-ax+2xsinx-1≥0.

設(shè)h(x)=ex-x2-ax+2xsinx-1,則h(x)≥0.顯然h(0)=0.

h′(x)=ex-a-2x+2sinx+2xcosx.令h′(0)≥0得a≤1.

下證當(dāng)a≤1時(shí)有h(x)≥0.

當(dāng)a≤1時(shí),h′(x)=ex-a-2x+2sinx+2xcosx.顯然ex-a≥0.

記T(x)=-2x+2sinx+2xcosx.由00.

故h′(x)>0.所以h(x)在x∈[0,1)單調(diào)遞增,h(x)≥h(0)=0.

綜上,a≤1.

(1)求函數(shù)f(x)和g(x)的解析式；

解析(1)f(x)=cos2x,g(x)=sin2x.(過程略)

則h′(x)=cosx+cosxcos2x+2sin2x(2-sinx).

因此,存在唯一的x0符合題意.

四、教學(xué)啟示

全國卷導(dǎo)數(shù)壓軸試題不管文科還是理科,試題都能夠延續(xù)往年全國卷試題中導(dǎo)數(shù)壓軸題的形式與命題風(fēng)格,表述簡潔,內(nèi)涵豐富,以學(xué)生熟悉的一次函數(shù),二次函數(shù),三角函數(shù)及對(duì)數(shù)型函數(shù),指數(shù)函數(shù)的組合為載體,以函數(shù)的單調(diào)性為背景,將函數(shù),方程與不等式等融匯聯(lián)系在一起,考查函數(shù)極值的概念,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,考查考生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具靈活分析問題與解決問題的能力.

本道文科高考試題所涉及到的知識(shí)點(diǎn)與求解方法體現(xiàn)了高考不回避熱點(diǎn)問題,不回避學(xué)生平時(shí)?？嫉目键c(diǎn),常用的方法.這就啟發(fā)我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)時(shí)一定要講透題型及其相應(yīng)的求解策略.比如對(duì)于本題的第二小題是常見的恒成立問題求參數(shù)的取值范圍,如果教師在平時(shí)的復(fù)習(xí)時(shí)能夠把此類題型的求解方法講解清楚,學(xué)生就能夠內(nèi)化成自己的能力,從而精準(zhǔn)提分.

除此以外,教師要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)問題的探究性教學(xué),重視變式訓(xùn)練,注重對(duì)同一個(gè)習(xí)題多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的改編,重組和變式,訓(xùn)練和優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).要樹立備考以提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn),全方位地培養(yǎng)學(xué)生的綜合處理數(shù)學(xué)問題的能力,讓學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),掌握數(shù)學(xué)本質(zhì),感受數(shù)學(xué)思想,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題,用數(shù)學(xué)的眼光觀察,分析和解決問題.