憶阻器多渦卷混沌系統(tǒng)及其滑?？刂仆?/h1>
2020-02-25 07:05李曉霞馮志新張啟宇王雪
量子電子學(xué)報(bào) 2020年6期
李曉霞, 馮志新, 張啟宇, 王雪
(1 河北工業(yè)大學(xué)省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 天津 300130;2 河北工業(yè)大學(xué)河北省電磁場與電器可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 天津 300130)
1 引 言
作為第四種基本的雙端電路器件,1971 年Chua[1]在理論上預(yù)測的憶阻器以其獨(dú)特的性質(zhì)而具有極大的應(yīng)用價(jià)值。2008 年惠普實(shí)驗(yàn)室成功開發(fā)出憶阻器的實(shí)物,掀起了研究者們探索憶阻器的熱潮[2～4]。憶阻器具有非線性的特性,將其引入電路后更容易產(chǎn)生混沌現(xiàn)象進(jìn)而形成混沌系統(tǒng)。混沌系統(tǒng)在安全通信[5～7]、圖片加密[8～11]等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,因此,構(gòu)建具有多樣性的混沌系統(tǒng),使其在應(yīng)用到保密領(lǐng)域后更難以被破解具有極大的研究意義,而憶阻器的引入為混沌系統(tǒng)的構(gòu)建提供了新的思路。所以,人們采用各種方法構(gòu)建憶阻混沌系統(tǒng),并對(duì)其進(jìn)行了深入的研究。Yang 等[12]提出了一種分?jǐn)?shù)階廣義憶阻器,并用這種憶阻器替代傳統(tǒng)的蔡氏二極管,得到了一種基于分?jǐn)?shù)階憶阻器的混沌電路。Bao 等[13]用憶阻器替代一個(gè)三維混沌電路的耦合電阻,形成了一種具有無限多隱藏吸引子的超混沌系統(tǒng)。Wang 等[14]利用三個(gè)憶阻器設(shè)計(jì)了一個(gè)六階混沌電路,觀察到了不同的吸引子相圖,并研究了各憶阻器能量信號(hào)之間產(chǎn)生吸引子的情況。
同步現(xiàn)象廣泛存在于物理、化學(xué)、生物等各個(gè)領(lǐng)域[15～18]?；煦缦到y(tǒng)之間的同步現(xiàn)象更是人們研究的熱點(diǎn)。從完全同步[19]、廣義同步[20]到組合同步[21]、準(zhǔn)投影同步[22],人們?cè)诨煦缤椒较蛉〉昧素S碩的成果[23～27]。但是,以前研究者主要關(guān)心系統(tǒng)之間是否能實(shí)現(xiàn)同步,而很少關(guān)注同步的速度是否可以更快,抗干擾的能力是否可以更強(qiáng)。
基于以上問題,本文將反映憶阻器性質(zhì)的項(xiàng)及其他非線性項(xiàng)引入Yang 系統(tǒng)[28],提出了一個(gè)具有豐富多樣性的混沌系統(tǒng)。改變系統(tǒng)的參數(shù)和狀態(tài)變量的初始值可以得到單渦卷、雙渦卷和三渦卷的混沌吸引子。然后以三渦卷時(shí)的系統(tǒng)為例,通過系統(tǒng)對(duì)初始值的敏感性、時(shí)域譜、功率譜、Poincare 截面、Lyapunov 指數(shù)和維數(shù)分析了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,證實(shí)了該系統(tǒng)的混沌特性。接下來研究了憶阻混沌系統(tǒng)與加入了干擾信號(hào)的Chen 系統(tǒng)[29]的同步,利用滑?？刂品椒▌?dòng)態(tài)響應(yīng)快、對(duì)外界干擾和模型的不確定性敏感度低的特點(diǎn),設(shè)計(jì)了滑?？刂破骷皡?shù)自適應(yīng)律。應(yīng)用Lyapunov 穩(wěn)定性理論得出了實(shí)現(xiàn)同步的充分條件。最后將該同步方法與沒有使用滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行比較,結(jié)果顯示該方法具有更快的同步速度和更強(qiáng)的抗干擾能力。
2 憶阻混沌系統(tǒng)模型
Yang 系統(tǒng)[28]可以描述為
式中x=(x1,x2,x3)T∈R3為狀態(tài)向量,當(dāng)α=35、β=3、γ=35 并且x1、x2、x3的初始值分別取1.15、3.5、3.3 時(shí)該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。然后,在描述Yang 系統(tǒng)的三個(gè)微分方程中各增加一項(xiàng),得到憶阻混沌系統(tǒng)
式中x=(x1,x2,x3)T∈R3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,a、b、c、d、g、h、m 為系統(tǒng)的參數(shù), f(·)為系統(tǒng)中反映憶阻性質(zhì)的函數(shù),此處選用Bao 等[30]提出的光滑憶阻器模型,此模型具有三次單調(diào)上升的非線性特性曲線,其電荷與磁通的關(guān)系可以描述為
式中α′>0、β′>0 為憶阻器系統(tǒng)的參數(shù),則它的憶導(dǎo)為
當(dāng)α′= β′= 1 時(shí),(3)式描述的是一個(gè)歸一化磁控憶阻器。令系統(tǒng)(2)中的f(·)滿足(3)式的形式,并令α′=β′=1,得
式中x3表示向憶阻器中輸入的磁通, f(x3)表示憶阻器積累的電荷。將(5)式代入系統(tǒng)(2)中,選取系統(tǒng)(2)的參數(shù)為a = 16.5、b = 5、c = 15、d = 4、g = 10、h = 7、m = 6,且選取初始值為x1(0) = 1.74、x2(0) = 2.88、x3(0) = 0.8,利用四階龍格庫塔算法,仿真時(shí)間設(shè)置為300 s,可得到如Fig.1(a)的單渦卷吸引子。此外,選取系統(tǒng)(2)的參數(shù)為a = 17、b = 9、c = 15、d = 7、g = 10、h = 7、m = 0,初始值為x1(0)=1.7、x2(0)=1.9、x3(0)=1.5 時(shí)可得到雙渦卷混沌吸引子,如Fig.1(b)所示。當(dāng)系統(tǒng)(2)的參數(shù)為a=17、 b= 9、c=15、d = 7、g=10、h=7、m=6 且初始值為x1(0)=1.7、x2(0)=1.9、x3(0)=1.5時(shí)可得到三渦卷混沌吸引子,如Fig.1(c)所示。下面以三渦卷吸引子時(shí)的系統(tǒng)為例,討論憶阻混沌系統(tǒng)的性質(zhì)。
Fig.1 (a)Single-scroll attractor;(b)Double-scroll attractor;(c)Triple-scroll attractor
3 憶阻混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析
3.1 系統(tǒng)的初值敏感性及時(shí)域圖分析
對(duì)初始值的高度敏感性是混沌系統(tǒng)的重要特征。對(duì)于同一個(gè)混沌系統(tǒng)，從兩個(gè)極其相近的初始值出發(fā)進(jìn)行演化，兩組狀態(tài)變量的值在短時(shí)間內(nèi)相差不大,但是隨著時(shí)間的推移必然呈現(xiàn)出顯著的差異。Fig.2(a)反映了初始值相差10?8時(shí)憶阻系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨著系統(tǒng)的演化而呈現(xiàn)出的差異,其中實(shí)線的初始值取值為(1.7,1.9,1.5),虛線的初始值取值為(1.7,1.9,1.5+10?8)。由圖可見,開始時(shí)兩個(gè)變量的波形重合,但隨著系統(tǒng)的演化,兩個(gè)波形的差異越來越大,最后成為完全不同的波形。說明該憶阻系統(tǒng)對(duì)初值有高度敏感性,符合混沌系統(tǒng)的特征。
Fig.2 (a)Initial value sensitivity verification;(b)Time domain waveform
系統(tǒng)(2)的x1時(shí)域波形如Fig.2(b)所示,系統(tǒng)呈現(xiàn)出一種類似隨機(jī)的狀態(tài),而該系統(tǒng)方程的參數(shù)都是已確定的,不存在隨機(jī)因素,由此可以判斷系統(tǒng)確實(shí)存在混沌行為。
3.2 系統(tǒng)的功率譜及Poincare 截面分析
功率譜方法的基本思想是將動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)展成傅氏級(jí)數(shù)或傅氏積分,利用展開式的系數(shù)給出各頻率成分的相對(duì)強(qiáng)度,分析頻譜的相對(duì)強(qiáng)度的分布可以確定運(yùn)動(dòng)的特征[31]。系統(tǒng)(2)的功率譜如Fig.3(a)所示,該系統(tǒng)的功率譜是呈現(xiàn)噪聲背景的寬峰連續(xù)譜,這是由于混沌運(yùn)動(dòng)具有內(nèi)在的隨機(jī)性特征。并且由于倍周期分叉,功率譜中還出現(xiàn)了許多峰值譜線。這些現(xiàn)象符合混沌系統(tǒng)功率譜的特征,說明系統(tǒng)(2)是一個(gè)混沌系統(tǒng)。
Poincare 截面又稱Poincare 映射,其原理是從三維或高維連續(xù)系統(tǒng)到Poincare 截面上離散系統(tǒng)的映射,通過該方法,可以將動(dòng)力系統(tǒng)的軌道轉(zhuǎn)換成軌道與一個(gè)截面的交點(diǎn)來進(jìn)行研究,從而可以在Poincare截面上觀察系統(tǒng)形態(tài)隨著時(shí)間的演化情況。當(dāng)Poincare 截面上的圖形是一段連續(xù)曲線或是具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)時(shí),可判定系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。系統(tǒng)(2)中,x2=0 時(shí)的Poincare 截面如Fig.3(b)所示,符合混沌系統(tǒng)的特征,可判定系統(tǒng)(2)是一個(gè)混沌系統(tǒng)。
3.3 系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)和維數(shù)
Lyapunov 指數(shù)是判斷非線性系統(tǒng)是否存在混沌現(xiàn)象的重要依據(jù)。憶阻系統(tǒng)(2)的Lyapunov 指數(shù)譜如Fig.3(c)所示。三個(gè)Lyapunov 指數(shù)為L1=2.19、L2=0.014、L3=?16.75,并且L1+L2+L3<0。其中L1> 0 表示在該方向上相鄰軌道迅速分離,系統(tǒng)的初始條件對(duì)系統(tǒng)長時(shí)間的演化有影響,即系統(tǒng)是初始值敏感的,運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài);L2趨于0,對(duì)應(yīng)穩(wěn)定狀態(tài),初始誤差不放大也不縮小;L3< 0 表示系統(tǒng)在該方向上相體積收縮,在整體上是穩(wěn)定的。憶阻系統(tǒng)的Lyapunov 維數(shù)為2.13,出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)維,具有復(fù)雜的分形結(jié)構(gòu),符合混沌系統(tǒng)的特征,說明系統(tǒng)(2)是一個(gè)混沌系統(tǒng)。
4 混沌系統(tǒng)的廣義同步
4.1 憶阻混沌系統(tǒng)與Chen 系統(tǒng)的滑?？刂茝V義同步
選取憶阻系統(tǒng)(2)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),將(5)式代入(2)式,并將(2)式的右端展開整理,令其參數(shù)的下標(biāo)為1,可以得到
為便于說明,令q1=d1+1。
將加入了外界擾動(dòng)和控制器的Chen 系統(tǒng)[29]作為響應(yīng)系統(tǒng),參數(shù)的下標(biāo)為2,則
式中u1、u2、u3為廣義同步的控制器,r1(t)、r2(t)、r3(t)為外界擾動(dòng),是不受狀態(tài)變量約束的自由項(xiàng),但為有界量,即|ri(t)|≤ηi, i=1,2,3,ηi>0 為常數(shù)。
定義廣義同步的誤差為
式中e=(e1,e2,e3)T, x=(x1,x2,x3)T, y=(y1,y2,y3)T,Φ(x)為廣義同步映射函數(shù),對(duì)(8)式求導(dǎo)可得
式中D 為雅各比矩陣算子,即DΦ(x)為Φ(x)的雅各比矩陣,二者選取如下
則其雅各比矩陣為
將(6)、(7)、(11)式代入(9)式得
選取滑?？刂频幕Ｃ鏋?/p>
式中s=(s1,s2,s3)T, λ=diag(λ1,λ2,λ3),且λ1,λ2,λ3均為大于0 的常數(shù)。廣義同步的控制器為
將(14)式代入(12)式得參數(shù)自適應(yīng)律為
選(13)式為滑?？刂频幕Ｃ?(14)式為控制器,(16)、(17)式為參數(shù)自適應(yīng)律,則有如下定理成立。
定理:對(duì)于誤差系統(tǒng)(15),如果滿足k > ηi(i = 1,2,3),則廣義同步誤差e 沿著滑模面s 漸近趨于0,即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義同步。證明: 選取Lyapunov 函數(shù)為
當(dāng)ηi?k<0,即k>ηi, i=1,2,3 時(shí)V˙ ≤0。根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性定理,誤差系統(tǒng)e 的零解是漸近穩(wěn)定的,即‖e(t)‖=0,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)與響應(yīng)系統(tǒng)(7)實(shí)現(xiàn)廣義同步。
數(shù)值仿真中選擇滑?？刂频幕Ｃ鏋閟=(4.5e1,1.5e2,5.5e3)T,即λ1=4.5,λ2=1.5,λ3=5.5。外部干擾信號(hào)是獨(dú)立于狀態(tài)變量的有界信號(hào),不妨選擇三角函數(shù)信號(hào),即
驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)選用三渦卷混沌吸引子系統(tǒng)的參數(shù)和初值, 即a1= 17、b1= 9、c1= 15、q1= 8 (d1=7)、g1= 10、h1= 7、m1= 6, 這些參數(shù)為待估計(jì)的“未知”參數(shù), 系統(tǒng)狀態(tài)變量的初值(x1,x2,x3) =(1.7,1.9,1.5)。響應(yīng)系統(tǒng)為Chen 系統(tǒng),參數(shù)為a2=35、b2=3、c2=28,且狀態(tài)變量的初值為(y1,y2,y3)=(1,?2,2), 其中a2、b2、c2也是“未知”參數(shù)。待估計(jì)的“未知”參數(shù)的初始值為:(0) = 14、(0) = 7、(0) = 16、?q1(0) = 7、(0) = 10、(0) = 9、(0) = 8、(0) = 38、(0) = 4、(0) = 24 且k=2.3>η1=η2=η3=0.5,滿足定理中的條件。則可以得到廣義同步誤差隨時(shí)間的演化曲線如Fig.4(a)所示,“未知”參數(shù)的估計(jì)值隨時(shí)間的演化如Fig.4(b)～(d)所示?？梢钥闯稣`差系統(tǒng)迅速趨于0,參數(shù)的估計(jì)值趨于其真實(shí)值。由于q1=d1+1,所以d1的估計(jì)值是7。
Fig.4 (a)Evolution of e with time. Estimation of(b)a1,b1,c1,(c)q1,g1,h1,m1 and(d)a2,b2,c2
4.2 同步的速度及抗干擾能力
同步控制器是實(shí)現(xiàn)混沌同步的重要因素。其設(shè)計(jì)的優(yōu)劣直接影響混沌同步能否實(shí)現(xiàn)以及同步質(zhì)量的好壞。同步的質(zhì)量包含著對(duì)同步的各種要求,例如達(dá)到同步狀態(tài)的速度以及同步的狀態(tài)對(duì)外界干擾信號(hào)的抵抗能力。達(dá)到同步狀態(tài)的速度可以通過同步誤差e 趨于0 的時(shí)間長短來衡量,而同步的抗干擾能力可以通過觀察同步誤差e 趨于0 后加入干擾信號(hào)是否產(chǎn)生振蕩來衡量。在本部分中,將加入了滑模控制方法的控制器與沒有加入滑?？刂频目刂破鬟M(jìn)行比較,研究了當(dāng)不加入干擾信號(hào)和加入由三角函數(shù)定義的干擾信號(hào)這兩種情況下兩個(gè)控制器對(duì)同步質(zhì)量的影響。
前面已經(jīng)介紹了滑模控制廣義同步的控制器,下面給出當(dāng)不采用滑?？刂茣r(shí)憶阻混沌系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)之間實(shí)現(xiàn)廣義同步的各種必要參數(shù)以方便比較。
廣義同步的誤差為
參數(shù)自適應(yīng)律為
當(dāng)不加入外界干擾信號(hào),即(r1(t),r2(t),r3(t))T=(0,0,0)T時(shí),若同步所需要的參數(shù)與上文中加入了滑模控制方法的對(duì)應(yīng)參數(shù)選擇相同的值,則此時(shí)未加入滑?？刂品椒ǖ膹V義同步誤差e′隨時(shí)間的演化如Fig.5(a)所示。去除干擾信號(hào)后帶有滑?？刂频耐秸`差e 如Fig.5(b)所示。在Fig.5(a)中, e′大約13 s 時(shí)結(jié)束大幅度的振蕩而趨于0,但在20 s 附近仍有小幅度的振蕩。Fig.5(b)中,誤差e 在5 s 時(shí)就結(jié)束大幅度振蕩,并且沒有再出現(xiàn)振蕩,說明在兩個(gè)控制器下憶阻系統(tǒng)與Chen 系統(tǒng)均能達(dá)到廣義同步的狀態(tài),且滑?？刂品椒梢钥s短誤差趨于0 的時(shí)間,即提高了同步的速度。
Fig.5 (a)Synchronization error e′ without sliding mode control;(b)Synchronization error e with sliding mode control
當(dāng)加入(22)式定義的三角函數(shù)干擾信號(hào)時(shí),對(duì)應(yīng)的參數(shù)值仍選擇上述的參數(shù)值,則沒有加入滑?？刂品椒ǖ膃′隨時(shí)間的演化如Fig.6 所示,加入了滑?？刂品椒ǖ膃 隨時(shí)間的演化已經(jīng)在Fig.4(a)中給出。對(duì)比兩圖可知,沒有加入滑?？刂频那闆r下e′已經(jīng)出現(xiàn)了振蕩而無法趨于0,即兩個(gè)系統(tǒng)在外界的干擾信號(hào)作用下無法維持同步狀態(tài),而加入滑?？刂品椒ê髢蓚€(gè)系統(tǒng)仍能達(dá)到同步,說明滑?？刂品椒梢栽鰪?qiáng)同步的抗干擾能力。
Fig.6 Synchronization error e′ without sliding mode control under the disturbance of trigonometric function signal
5 結(jié) 論
通過在Yang 系統(tǒng)中添加反映憶阻器性質(zhì)的項(xiàng)和其他的非線性項(xiàng),提出了一個(gè)憶阻混沌系統(tǒng)。改變系統(tǒng)參數(shù)的取值以及狀態(tài)變量的初始值,得到了單渦卷、雙渦卷和三渦卷的混沌吸引子。通過分析呈現(xiàn)三渦卷吸引子時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征,驗(yàn)證了其混沌的特性。基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論,應(yīng)用滑?？刂品椒?設(shè)計(jì)了同步的控制器和參數(shù)自適應(yīng)律,實(shí)現(xiàn)了所提出的混沌系統(tǒng)與加入了外界擾動(dòng)的Chen 系統(tǒng)的廣義同步。最后將應(yīng)用與未應(yīng)用滑模控制方法得到的同步誤差進(jìn)行了比較。仿真結(jié)果表明兩個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了同步,參數(shù)得到了準(zhǔn)確估計(jì),滑?？刂品椒ㄊ雇剿俣雀烨铱垢蓴_能力更強(qiáng)。
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作為第四種基本的雙端電路器件,1971 年Chua[1]在理論上預(yù)測的憶阻器以其獨(dú)特的性質(zhì)而具有極大的應(yīng)用價(jià)值。2008 年惠普實(shí)驗(yàn)室成功開發(fā)出憶阻器的實(shí)物,掀起了研究者們探索憶阻器的熱潮[2～4]。憶阻器具有非線性的特性,將其引入電路后更容易產(chǎn)生混沌現(xiàn)象進(jìn)而形成混沌系統(tǒng)。混沌系統(tǒng)在安全通信[5～7]、圖片加密[8～11]等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,因此,構(gòu)建具有多樣性的混沌系統(tǒng),使其在應(yīng)用到保密領(lǐng)域后更難以被破解具有極大的研究意義,而憶阻器的引入為混沌系統(tǒng)的構(gòu)建提供了新的思路。所以,人們采用各種方法構(gòu)建憶阻混沌系統(tǒng),并對(duì)其進(jìn)行了深入的研究。Yang 等[12]提出了一種分?jǐn)?shù)階廣義憶阻器,并用這種憶阻器替代傳統(tǒng)的蔡氏二極管,得到了一種基于分?jǐn)?shù)階憶阻器的混沌電路。Bao 等[13]用憶阻器替代一個(gè)三維混沌電路的耦合電阻,形成了一種具有無限多隱藏吸引子的超混沌系統(tǒng)。Wang 等[14]利用三個(gè)憶阻器設(shè)計(jì)了一個(gè)六階混沌電路,觀察到了不同的吸引子相圖,并研究了各憶阻器能量信號(hào)之間產(chǎn)生吸引子的情況。
同步現(xiàn)象廣泛存在于物理、化學(xué)、生物等各個(gè)領(lǐng)域[15～18]?；煦缦到y(tǒng)之間的同步現(xiàn)象更是人們研究的熱點(diǎn)。從完全同步[19]、廣義同步[20]到組合同步[21]、準(zhǔn)投影同步[22],人們?cè)诨煦缤椒较蛉〉昧素S碩的成果[23～27]。但是,以前研究者主要關(guān)心系統(tǒng)之間是否能實(shí)現(xiàn)同步,而很少關(guān)注同步的速度是否可以更快,抗干擾的能力是否可以更強(qiáng)。
基于以上問題,本文將反映憶阻器性質(zhì)的項(xiàng)及其他非線性項(xiàng)引入Yang 系統(tǒng)[28],提出了一個(gè)具有豐富多樣性的混沌系統(tǒng)。改變系統(tǒng)的參數(shù)和狀態(tài)變量的初始值可以得到單渦卷、雙渦卷和三渦卷的混沌吸引子。然后以三渦卷時(shí)的系統(tǒng)為例,通過系統(tǒng)對(duì)初始值的敏感性、時(shí)域譜、功率譜、Poincare 截面、Lyapunov 指數(shù)和維數(shù)分析了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,證實(shí)了該系統(tǒng)的混沌特性。接下來研究了憶阻混沌系統(tǒng)與加入了干擾信號(hào)的Chen 系統(tǒng)[29]的同步,利用滑?？刂品椒▌?dòng)態(tài)響應(yīng)快、對(duì)外界干擾和模型的不確定性敏感度低的特點(diǎn),設(shè)計(jì)了滑?？刂破骷皡?shù)自適應(yīng)律。應(yīng)用Lyapunov 穩(wěn)定性理論得出了實(shí)現(xiàn)同步的充分條件。最后將該同步方法與沒有使用滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行比較,結(jié)果顯示該方法具有更快的同步速度和更強(qiáng)的抗干擾能力。
2 憶阻混沌系統(tǒng)模型
Yang 系統(tǒng)[28]可以描述為
式中x=(x1,x2,x3)T∈R3為狀態(tài)向量,當(dāng)α=35、β=3、γ=35 并且x1、x2、x3的初始值分別取1.15、3.5、3.3 時(shí)該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。然后,在描述Yang 系統(tǒng)的三個(gè)微分方程中各增加一項(xiàng),得到憶阻混沌系統(tǒng)
式中x=(x1,x2,x3)T∈R3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,a、b、c、d、g、h、m 為系統(tǒng)的參數(shù), f(·)為系統(tǒng)中反映憶阻性質(zhì)的函數(shù),此處選用Bao 等[30]提出的光滑憶阻器模型,此模型具有三次單調(diào)上升的非線性特性曲線,其電荷與磁通的關(guān)系可以描述為
式中α′>0、β′>0 為憶阻器系統(tǒng)的參數(shù),則它的憶導(dǎo)為
當(dāng)α′= β′= 1 時(shí),(3)式描述的是一個(gè)歸一化磁控憶阻器。令系統(tǒng)(2)中的f(·)滿足(3)式的形式,并令α′=β′=1,得
式中x3表示向憶阻器中輸入的磁通, f(x3)表示憶阻器積累的電荷。將(5)式代入系統(tǒng)(2)中,選取系統(tǒng)(2)的參數(shù)為a = 16.5、b = 5、c = 15、d = 4、g = 10、h = 7、m = 6,且選取初始值為x1(0) = 1.74、x2(0) = 2.88、x3(0) = 0.8,利用四階龍格庫塔算法,仿真時(shí)間設(shè)置為300 s,可得到如Fig.1(a)的單渦卷吸引子。此外,選取系統(tǒng)(2)的參數(shù)為a = 17、b = 9、c = 15、d = 7、g = 10、h = 7、m = 0,初始值為x1(0)=1.7、x2(0)=1.9、x3(0)=1.5 時(shí)可得到雙渦卷混沌吸引子,如Fig.1(b)所示。當(dāng)系統(tǒng)(2)的參數(shù)為a=17、 b= 9、c=15、d = 7、g=10、h=7、m=6 且初始值為x1(0)=1.7、x2(0)=1.9、x3(0)=1.5時(shí)可得到三渦卷混沌吸引子,如Fig.1(c)所示。下面以三渦卷吸引子時(shí)的系統(tǒng)為例,討論憶阻混沌系統(tǒng)的性質(zhì)。
Fig.1 (a)Single-scroll attractor;(b)Double-scroll attractor;(c)Triple-scroll attractor
3 憶阻混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析
3.1 系統(tǒng)的初值敏感性及時(shí)域圖分析
對(duì)初始值的高度敏感性是混沌系統(tǒng)的重要特征。對(duì)于同一個(gè)混沌系統(tǒng)，從兩個(gè)極其相近的初始值出發(fā)進(jìn)行演化，兩組狀態(tài)變量的值在短時(shí)間內(nèi)相差不大,但是隨著時(shí)間的推移必然呈現(xiàn)出顯著的差異。Fig.2(a)反映了初始值相差10?8時(shí)憶阻系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨著系統(tǒng)的演化而呈現(xiàn)出的差異,其中實(shí)線的初始值取值為(1.7,1.9,1.5),虛線的初始值取值為(1.7,1.9,1.5+10?8)。由圖可見,開始時(shí)兩個(gè)變量的波形重合,但隨著系統(tǒng)的演化,兩個(gè)波形的差異越來越大,最后成為完全不同的波形。說明該憶阻系統(tǒng)對(duì)初值有高度敏感性,符合混沌系統(tǒng)的特征。
Fig.2 (a)Initial value sensitivity verification;(b)Time domain waveform
系統(tǒng)(2)的x1時(shí)域波形如Fig.2(b)所示,系統(tǒng)呈現(xiàn)出一種類似隨機(jī)的狀態(tài),而該系統(tǒng)方程的參數(shù)都是已確定的,不存在隨機(jī)因素,由此可以判斷系統(tǒng)確實(shí)存在混沌行為。
3.2 系統(tǒng)的功率譜及Poincare 截面分析
功率譜方法的基本思想是將動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)展成傅氏級(jí)數(shù)或傅氏積分,利用展開式的系數(shù)給出各頻率成分的相對(duì)強(qiáng)度,分析頻譜的相對(duì)強(qiáng)度的分布可以確定運(yùn)動(dòng)的特征[31]。系統(tǒng)(2)的功率譜如Fig.3(a)所示,該系統(tǒng)的功率譜是呈現(xiàn)噪聲背景的寬峰連續(xù)譜,這是由于混沌運(yùn)動(dòng)具有內(nèi)在的隨機(jī)性特征。并且由于倍周期分叉,功率譜中還出現(xiàn)了許多峰值譜線。這些現(xiàn)象符合混沌系統(tǒng)功率譜的特征,說明系統(tǒng)(2)是一個(gè)混沌系統(tǒng)。
Poincare 截面又稱Poincare 映射,其原理是從三維或高維連續(xù)系統(tǒng)到Poincare 截面上離散系統(tǒng)的映射,通過該方法,可以將動(dòng)力系統(tǒng)的軌道轉(zhuǎn)換成軌道與一個(gè)截面的交點(diǎn)來進(jìn)行研究,從而可以在Poincare截面上觀察系統(tǒng)形態(tài)隨著時(shí)間的演化情況。當(dāng)Poincare 截面上的圖形是一段連續(xù)曲線或是具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)時(shí),可判定系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。系統(tǒng)(2)中,x2=0 時(shí)的Poincare 截面如Fig.3(b)所示,符合混沌系統(tǒng)的特征,可判定系統(tǒng)(2)是一個(gè)混沌系統(tǒng)。
3.3 系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)和維數(shù)
Lyapunov 指數(shù)是判斷非線性系統(tǒng)是否存在混沌現(xiàn)象的重要依據(jù)。憶阻系統(tǒng)(2)的Lyapunov 指數(shù)譜如Fig.3(c)所示。三個(gè)Lyapunov 指數(shù)為L1=2.19、L2=0.014、L3=?16.75,并且L1+L2+L3<0。其中L1> 0 表示在該方向上相鄰軌道迅速分離,系統(tǒng)的初始條件對(duì)系統(tǒng)長時(shí)間的演化有影響,即系統(tǒng)是初始值敏感的,運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)混沌狀態(tài);L2趨于0,對(duì)應(yīng)穩(wěn)定狀態(tài),初始誤差不放大也不縮小;L3< 0 表示系統(tǒng)在該方向上相體積收縮,在整體上是穩(wěn)定的。憶阻系統(tǒng)的Lyapunov 維數(shù)為2.13,出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)維,具有復(fù)雜的分形結(jié)構(gòu),符合混沌系統(tǒng)的特征,說明系統(tǒng)(2)是一個(gè)混沌系統(tǒng)。
4 混沌系統(tǒng)的廣義同步
4.1 憶阻混沌系統(tǒng)與Chen 系統(tǒng)的滑?？刂茝V義同步
選取憶阻系統(tǒng)(2)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),將(5)式代入(2)式,并將(2)式的右端展開整理,令其參數(shù)的下標(biāo)為1,可以得到
為便于說明,令q1=d1+1。
將加入了外界擾動(dòng)和控制器的Chen 系統(tǒng)[29]作為響應(yīng)系統(tǒng),參數(shù)的下標(biāo)為2,則
式中u1、u2、u3為廣義同步的控制器,r1(t)、r2(t)、r3(t)為外界擾動(dòng),是不受狀態(tài)變量約束的自由項(xiàng),但為有界量,即|ri(t)|≤ηi, i=1,2,3,ηi>0 為常數(shù)。
定義廣義同步的誤差為
式中e=(e1,e2,e3)T, x=(x1,x2,x3)T, y=(y1,y2,y3)T,Φ(x)為廣義同步映射函數(shù),對(duì)(8)式求導(dǎo)可得
式中D 為雅各比矩陣算子,即DΦ(x)為Φ(x)的雅各比矩陣,二者選取如下
則其雅各比矩陣為
將(6)、(7)、(11)式代入(9)式得
選取滑?？刂频幕Ｃ鏋?/p>
式中s=(s1,s2,s3)T, λ=diag(λ1,λ2,λ3),且λ1,λ2,λ3均為大于0 的常數(shù)。廣義同步的控制器為
將(14)式代入(12)式得參數(shù)自適應(yīng)律為
選(13)式為滑?？刂频幕Ｃ?(14)式為控制器,(16)、(17)式為參數(shù)自適應(yīng)律,則有如下定理成立。
定理:對(duì)于誤差系統(tǒng)(15),如果滿足k > ηi(i = 1,2,3),則廣義同步誤差e 沿著滑模面s 漸近趨于0,即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義同步。證明: 選取Lyapunov 函數(shù)為
當(dāng)ηi?k<0,即k>ηi, i=1,2,3 時(shí)V˙ ≤0。根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性定理,誤差系統(tǒng)e 的零解是漸近穩(wěn)定的,即‖e(t)‖=0,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)與響應(yīng)系統(tǒng)(7)實(shí)現(xiàn)廣義同步。
數(shù)值仿真中選擇滑?？刂频幕Ｃ鏋閟=(4.5e1,1.5e2,5.5e3)T,即λ1=4.5,λ2=1.5,λ3=5.5。外部干擾信號(hào)是獨(dú)立于狀態(tài)變量的有界信號(hào),不妨選擇三角函數(shù)信號(hào),即
驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)選用三渦卷混沌吸引子系統(tǒng)的參數(shù)和初值, 即a1= 17、b1= 9、c1= 15、q1= 8 (d1=7)、g1= 10、h1= 7、m1= 6, 這些參數(shù)為待估計(jì)的“未知”參數(shù), 系統(tǒng)狀態(tài)變量的初值(x1,x2,x3) =(1.7,1.9,1.5)。響應(yīng)系統(tǒng)為Chen 系統(tǒng),參數(shù)為a2=35、b2=3、c2=28,且狀態(tài)變量的初值為(y1,y2,y3)=(1,?2,2), 其中a2、b2、c2也是“未知”參數(shù)。待估計(jì)的“未知”參數(shù)的初始值為:(0) = 14、(0) = 7、(0) = 16、?q1(0) = 7、(0) = 10、(0) = 9、(0) = 8、(0) = 38、(0) = 4、(0) = 24 且k=2.3>η1=η2=η3=0.5,滿足定理中的條件。則可以得到廣義同步誤差隨時(shí)間的演化曲線如Fig.4(a)所示,“未知”參數(shù)的估計(jì)值隨時(shí)間的演化如Fig.4(b)～(d)所示?？梢钥闯稣`差系統(tǒng)迅速趨于0,參數(shù)的估計(jì)值趨于其真實(shí)值。由于q1=d1+1,所以d1的估計(jì)值是7。
Fig.4 (a)Evolution of e with time. Estimation of(b)a1,b1,c1,(c)q1,g1,h1,m1 and(d)a2,b2,c2
4.2 同步的速度及抗干擾能力
同步控制器是實(shí)現(xiàn)混沌同步的重要因素。其設(shè)計(jì)的優(yōu)劣直接影響混沌同步能否實(shí)現(xiàn)以及同步質(zhì)量的好壞。同步的質(zhì)量包含著對(duì)同步的各種要求,例如達(dá)到同步狀態(tài)的速度以及同步的狀態(tài)對(duì)外界干擾信號(hào)的抵抗能力。達(dá)到同步狀態(tài)的速度可以通過同步誤差e 趨于0 的時(shí)間長短來衡量,而同步的抗干擾能力可以通過觀察同步誤差e 趨于0 后加入干擾信號(hào)是否產(chǎn)生振蕩來衡量。在本部分中,將加入了滑模控制方法的控制器與沒有加入滑?？刂频目刂破鬟M(jìn)行比較,研究了當(dāng)不加入干擾信號(hào)和加入由三角函數(shù)定義的干擾信號(hào)這兩種情況下兩個(gè)控制器對(duì)同步質(zhì)量的影響。
前面已經(jīng)介紹了滑模控制廣義同步的控制器,下面給出當(dāng)不采用滑?？刂茣r(shí)憶阻混沌系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)之間實(shí)現(xiàn)廣義同步的各種必要參數(shù)以方便比較。
廣義同步的誤差為
參數(shù)自適應(yīng)律為
當(dāng)不加入外界干擾信號(hào),即(r1(t),r2(t),r3(t))T=(0,0,0)T時(shí),若同步所需要的參數(shù)與上文中加入了滑模控制方法的對(duì)應(yīng)參數(shù)選擇相同的值,則此時(shí)未加入滑?？刂品椒ǖ膹V義同步誤差e′隨時(shí)間的演化如Fig.5(a)所示。去除干擾信號(hào)后帶有滑?？刂频耐秸`差e 如Fig.5(b)所示。在Fig.5(a)中, e′大約13 s 時(shí)結(jié)束大幅度的振蕩而趨于0,但在20 s 附近仍有小幅度的振蕩。Fig.5(b)中,誤差e 在5 s 時(shí)就結(jié)束大幅度振蕩,并且沒有再出現(xiàn)振蕩,說明在兩個(gè)控制器下憶阻系統(tǒng)與Chen 系統(tǒng)均能達(dá)到廣義同步的狀態(tài),且滑?？刂品椒梢钥s短誤差趨于0 的時(shí)間,即提高了同步的速度。
Fig.5 (a)Synchronization error e′ without sliding mode control;(b)Synchronization error e with sliding mode control
當(dāng)加入(22)式定義的三角函數(shù)干擾信號(hào)時(shí),對(duì)應(yīng)的參數(shù)值仍選擇上述的參數(shù)值,則沒有加入滑?？刂品椒ǖ膃′隨時(shí)間的演化如Fig.6 所示,加入了滑?？刂品椒ǖ膃 隨時(shí)間的演化已經(jīng)在Fig.4(a)中給出。對(duì)比兩圖可知,沒有加入滑?？刂频那闆r下e′已經(jīng)出現(xiàn)了振蕩而無法趨于0,即兩個(gè)系統(tǒng)在外界的干擾信號(hào)作用下無法維持同步狀態(tài),而加入滑?？刂品椒ê髢蓚€(gè)系統(tǒng)仍能達(dá)到同步,說明滑?？刂品椒梢栽鰪?qiáng)同步的抗干擾能力。
Fig.6 Synchronization error e′ without sliding mode control under the disturbance of trigonometric function signal
5 結(jié) 論
通過在Yang 系統(tǒng)中添加反映憶阻器性質(zhì)的項(xiàng)和其他的非線性項(xiàng),提出了一個(gè)憶阻混沌系統(tǒng)。改變系統(tǒng)參數(shù)的取值以及狀態(tài)變量的初始值,得到了單渦卷、雙渦卷和三渦卷的混沌吸引子。通過分析呈現(xiàn)三渦卷吸引子時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征,驗(yàn)證了其混沌的特性。基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論,應(yīng)用滑?？刂品椒?設(shè)計(jì)了同步的控制器和參數(shù)自適應(yīng)律,實(shí)現(xiàn)了所提出的混沌系統(tǒng)與加入了外界擾動(dòng)的Chen 系統(tǒng)的廣義同步。最后將應(yīng)用與未應(yīng)用滑模控制方法得到的同步誤差進(jìn)行了比較。仿真結(jié)果表明兩個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了同步,參數(shù)得到了準(zhǔn)確估計(jì),滑?？刂品椒ㄊ雇剿俣雀烨铱垢蓴_能力更強(qiáng)。
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