韓文娟, 強(qiáng)睿, 彭定燕

(六盤水師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院, 貴州 六盤水 553004)

1 引 言

近年來,無序體系所具有的很多力學(xué)、磁學(xué)特性是理論模擬和實(shí)驗(yàn)研究的熱點(diǎn)內(nèi)容,關(guān)于其實(shí)驗(yàn)結(jié)果的理論方法很好地解釋了一些合金的熱力學(xué)性質(zhì)以及臨界行為[1];朗道理論在定性分析物質(zhì)的相結(jié)構(gòu)時(shí)具有很大價(jià)值[2]。量子多體關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中,量子相變[3]是一種非常重要而奇特的現(xiàn)象,它是由于系統(tǒng)參數(shù)改變(如一個(gè)外加磁場(chǎng)或耦合常數(shù)的改變)而引起的量子漲落,量子相變反映系統(tǒng)基態(tài)結(jié)構(gòu)的變化,與系統(tǒng)基態(tài)及系統(tǒng)本征態(tài)密切相關(guān)的量子特征可用來偵測(cè)量子相變的發(fā)生。

由于氧化物高溫超導(dǎo)材料的發(fā)現(xiàn),量子海森堡模型備受關(guān)注,物理學(xué)家嘗試用很多數(shù)值方法來研究它,如密度矩陣重整化群方法[4]、量子蒙特卡洛方法[5]等。海森堡自旋鏈[6,7]作為一種能夠在固態(tài)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)的理論模型,其研究方法和結(jié)果可為其他量子多體系統(tǒng)的研究提供依據(jù),吸引了大量的關(guān)注并取得了很多進(jìn)展,如利用量子無序(Quantum discord,QD)研究一維具有次近鄰相互作用的自旋1/2 海森堡鏈的量子相變,利用自旋系統(tǒng)進(jìn)行量子信息的傳輸[8]等。又因海森堡XXZ 自旋鏈模型能夠很好地用來描述固體體系中比特之間的相互作用,經(jīng)常用作量子糾纏及固體中各種量子相變機(jī)制的研究,如一維自旋1 鍵交替XXZ 鏈中的量子糾纏和臨界指數(shù)研究[9]等。

以往研究中較多為海森堡模型的開鏈情況,本文對(duì)一維海森堡自旋開、閉鏈半填滿(每個(gè)格點(diǎn)都填且只填一個(gè)電子)時(shí)不同位型[N,k](N 代表總格點(diǎn)數(shù),k 代表格點(diǎn)中填放自旋方向朝上的電子數(shù)目,則剩余格點(diǎn)中填放自旋方向朝下的電子數(shù)目為N ?k,k ≤N/2,以下同)的基態(tài)、激發(fā)態(tài)能量及磁矩情況進(jìn)行研究,分析討論了該系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)特性及量子相變情況,為深入了解海森堡模型量子關(guān)聯(lián)特性提供參考信息。

2 理論模型及相關(guān)定義

2.1 一維海森堡自旋開、閉鏈模型概貌

Table 1 為一維海森堡自旋開、閉鏈模型的概貌,表中圓圈代表格點(diǎn),↓、↓代表自旋向上或向下。格點(diǎn)是被對(duì)稱單占據(jù)Halffilling(即半填滿,自旋鏈每格點(diǎn)都填且只填一個(gè)電子,以下同)情況。

?

2.2 一維XXZ 海森堡自旋鏈模型的哈密頓量

一維XXZ 海森堡自旋鏈模型的哈密頓量為[10]

一維XXZ 海森堡自旋鏈模型的哈密頓量由XXX 和ZZ 模型的哈密頓量組合而成,開鏈時(shí)中i 值從1 取到N ?1 即可。閉鏈時(shí),需附加周期性邊界條件,第i 與第i+N 格點(diǎn)位置的自旋與分別相等。

2.3 能量矩陣的構(gòu)建及能量的獲取方法

2.3.1 置換群產(chǎn)生完備基矢[11]

1)構(gòu)建最原始基矢

2)求出置換群中的陪集

利用置換群算符描寫一維海森堡體系的哈密頓量形式為

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4)完備基矢排序

把(w1, w2)中的(w1)部分看作是n 維矢量。如果(w1?)中最后一個(gè)非零分量小于0,就把(w1, w2)排在(,)之前,這時(shí)候,在排好序的基矢下相應(yīng)的能量矩陣的矩陣元為w| ?H/J|w〉, (w)是正規(guī)序列,(w)=(w1, w2)。

2.3.2 算符作用于完備基矢形成能量矩陣

2.3.3 獲取能量

獲取不同位型[N, k]、不同參數(shù)時(shí)一維XXZ 海森堡自旋鏈模型能量矩陣的本征值并排序,得到基態(tài)及不同激發(fā)態(tài)能量。

3 磁化強(qiáng)度

自旋鏈各格點(diǎn)中自旋用σ 表示,σ=±1,自旋向上為+1,自旋向下為?1, M =(∑σi)/N, M 為體系的平均磁化強(qiáng)度。

4 計(jì)算結(jié)果

Table 2 為一維XXZ 海森堡自旋開、閉鏈模型在參數(shù)x = 0.2,位型[5, 2]、······、[9, 4]時(shí)的基態(tài)能量(E);Table 3 為一維XXZ 海森堡自旋開、閉鏈模型位型[8,3]在參數(shù)x 從0.1 到1.0 時(shí)的基態(tài)能量(E);Table 4 為一維XXZ 海森堡自旋開、閉鏈模型在參數(shù)x=0.2,位型[6, 1]、······、[7,3]的第一、第二激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能差(ΔE);Table 5 為一維XXZ 海森堡自旋閉鏈模型位型[5,2]在參數(shù)x 從0.1 到1.0時(shí)的第一、第二激發(fā)態(tài)的能差(ΔE);Table 6 為一維XXZ 海森堡自旋閉鏈模型位型[3, 1]、······、[8,3]時(shí)的平均磁化強(qiáng)度(M)。

限于篇幅,此處只羅列了部分?jǐn)?shù)據(jù)結(jié)果的圖表。

Table 2 Ground-state energy E of [5, 2],······,[9, 4]of XXZ Heisenberg model of the open and closed spin chain in one-dimension when x is 0.2

Table 3 Ground-state energy E of[8,3]of XXZ Heisenberg model of the open and closed spin chain in one-dimension when x ranges from 0.1 to 1.0

Table 4 Energy difference ΔE between the first,second excited state and ground state of[6, 1], ······ , [7, 3]of XXZ Heisenberg model of the open and closed spin chain in one-dimension when x is 0.2

Table 5 Energy difference ΔE between the first,second excited state and the ground state of[5,2],[6,2]of XXZ Heisenberg model of the open and closed spin chain in one-dimension when x ranges from 0.1 to 1.0

Table 6 Mean magnetization of[3,1],······,[8,3]of XXZ Heisenberg model of the open and closed spin chain in one-dimension

5 計(jì)算結(jié)果分析

5.1 能量分析

1)基態(tài)能量情況分析

Table 2 中參數(shù)x = 0.2 時(shí), 位型[5,2]、[6,2]、[7,2] 開鏈相應(yīng)的基態(tài)能量分別是?1.12、?0.889、?0.605,閉鏈相應(yīng)的基態(tài)能量分別是?1.141、?0.959、?0.508,位型[7,2]、[7,3]開鏈時(shí)相應(yīng)的基態(tài)能量分別是?0.605、?1.60,閉鏈時(shí)相應(yīng)的基態(tài)能量分別是?0.508、?1.616。由此得出開、閉鏈情況下在x 和k 相同時(shí),位型[N,k]的基態(tài)能量隨N 增加而增加,而x 和N 相同時(shí),位型[N,k]的基態(tài)能量隨k 的增加而減小。系統(tǒng)的基態(tài)能量大,說明系統(tǒng)的基態(tài)結(jié)構(gòu)不易改變,內(nèi)在關(guān)聯(lián)大;反之系統(tǒng)的基態(tài)能量小,系統(tǒng)的基態(tài)結(jié)構(gòu)易改變,內(nèi)在關(guān)聯(lián)小。本模型中系統(tǒng)的基態(tài)能量情況很好地反映了系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)程度和系統(tǒng)改變的難易程度。Table 3 中,當(dāng)x 從0.1 到0.9 時(shí),位型[8,3]開鏈時(shí)相應(yīng)的基態(tài)能量是?1.54、······、?1.08,閉鏈時(shí)相應(yīng)的基態(tài)能量是?1.61、······、?0.99。當(dāng)參數(shù)x = 1.0 時(shí),開鏈時(shí)相應(yīng)的基態(tài)能量從?1.08 降低到?1.25,閉鏈時(shí)相應(yīng)的基態(tài)能量從?0.99 降低到?1.5,由此得出在開、閉鏈情況下,同位型[N,k]的基態(tài)能量隨x(0 < x < 1.0)的增加而增加,在x = 1.0 處突然減小出現(xiàn)拐點(diǎn),有突變。Fig.1、Fig.2 中可直觀看出當(dāng)x 從0.1 到1.0 時(shí),開、閉鏈位型[4,2]、[6,3]、[8,4]的基態(tài)能量變化趨勢(shì)先增加后減小,趨近x=1.0 時(shí)基態(tài)能量突然減小。量子多體體系中,多體系統(tǒng)的基態(tài)結(jié)構(gòu)隨著某些參量變化使系統(tǒng)發(fā)生突變的行為稱為量子相變,量子相變是自發(fā)對(duì)稱破缺的典型體現(xiàn)。在朗道理論中,當(dāng)系統(tǒng)基態(tài)擁有的對(duì)稱性變化時(shí)系統(tǒng)就發(fā)生了自發(fā)對(duì)稱破缺,按臨界點(diǎn)對(duì)稱性思想,在相變臨界區(qū)中可能存在新的對(duì)稱性,本模型中系統(tǒng)的基態(tài)能量在x=1.0 的突變行為說明此處對(duì)稱性發(fā)生了變化, x=1.0 是體系的相變點(diǎn),此處體系發(fā)生相變。

Fig.1 E of[4,2],[6,3],[8,4]of the open spin chain versus x

Fig.2 E of[4,2],[6,3],[8,4]of the closed spin chain versus x

Fig.3 ΔE between the excited states and ground state of[6,2]of open spin chain versus x

Fig.4 ΔE between the excited states and ground state of[6,2]of closed spin chain versus x

2)激發(fā)態(tài)能量情況分析

Table 4 中,當(dāng)x = 0.2 時(shí):①開鏈位型[6,1]、[6,2]、[6,3]相應(yīng)的第一激發(fā)態(tài)與各自基態(tài)能差ΔE 分別是0.544、0.829、0.912,閉鏈位型[6,1]、[6,2]、[6,3]相應(yīng)的第一激發(fā)態(tài)與各自基態(tài)能差ΔE 分別是0.586、0.908、0.962;開鏈時(shí)相應(yīng)的第二激發(fā)態(tài)與各自基態(tài)能差ΔE 分別是1.288、1.408、1.666,閉鏈時(shí)相應(yīng)的第二激發(fā)態(tài)與各自基態(tài)能差ΔE 分別是1.386、1.459、1.547。②位型[6,1]、[7,1]開鏈時(shí)相應(yīng)第一激發(fā)態(tài)與各自的基態(tài)能差ΔE 分別是0.544、0.416,閉鏈時(shí)相應(yīng)第一激發(fā)態(tài)與各自的基態(tài)能差ΔE 分別是0.586、0.444;開鏈時(shí)相應(yīng)第二激發(fā)態(tài)與各自的基態(tài)能差ΔE 分別是1.288、1.019,閉鏈時(shí)相應(yīng)第二激發(fā)態(tài)與各自的基態(tài)能差ΔE 分別是1.386、1.086。由此得出在開、閉鏈情況下,當(dāng)x、N 相同而k 增加時(shí),位型[N,k]的第一、二激發(fā)態(tài)與各自基態(tài)能差ΔE 越來越大,說明系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)度增強(qiáng),難以激發(fā);而當(dāng)x、k 相同而N 增加時(shí),系統(tǒng)第一、二激發(fā)態(tài)與基態(tài)能差值ΔE 減小,說明系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)度變?nèi)?較易激發(fā)。x、N、k 變化時(shí)的能量變化行為反映了系統(tǒng)改變難易程度、激發(fā)難易程度,很好地體現(xiàn)了系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)度。

Table 5 中,當(dāng)x 從0.1 到1.0 時(shí),開、閉鏈位型[5,2]相應(yīng)的的第一激發(fā)態(tài)與各自基態(tài)能差ΔE 分別是1.12、1.02、······、0.5 和1.287、1.15、······、0,開、閉鏈位型[5,2]相應(yīng)的第二激發(fā)態(tài)與各自基態(tài)能差ΔE 分別是1.95、1.75、······、0.5 和1.88、1.72、······、0。由此得出在開、閉鏈時(shí)隨著參數(shù)x(0< x <1.0)增加,[N,k]的第一、第二激發(fā)態(tài)與基態(tài)能差ΔE 都呈減小趨勢(shì),參數(shù)x = 1.0 時(shí)有能級(jí)簡(jiǎn)并;從Fig.3、Fig.4 又可直觀看出參數(shù)x 從0.1 到1.0 時(shí),開、閉鏈時(shí)位型[5,2]、[6,2]的第一、第二激發(fā)態(tài)與各自基態(tài)能差ΔE 隨x 增加而減小,參數(shù)x=1.0 時(shí),降至最低并出現(xiàn)能級(jí)簡(jiǎn)并。量子力學(xué)中,能級(jí)簡(jiǎn)并是指一個(gè)能量值對(duì)應(yīng)多個(gè)本征態(tài),它是動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性哈密頓量的一種集體表現(xiàn),哈密頓量是表征體系特征的,體系的簡(jiǎn)并度與哈密頓量的某種對(duì)稱性有關(guān),簡(jiǎn)并度越大,對(duì)稱性越高。一般來說,一個(gè)對(duì)稱性往往對(duì)應(yīng)一系列特定的能級(jí)簡(jiǎn)并,可通過尋找能級(jí)簡(jiǎn)并系列的方法來考察潛在的對(duì)稱性,能級(jí)簡(jiǎn)并表明在臨界區(qū)中存在著潛在的臨界區(qū)對(duì)稱性。Table 5 中參數(shù)x=1.0 時(shí)能級(jí)有簡(jiǎn)并,出現(xiàn)了臨界區(qū)的對(duì)稱性,按臨界點(diǎn)對(duì)稱性思想,在相變臨界區(qū)中存在新的對(duì)稱性,說明此處體系發(fā)生相變,x=1.0 是體系的相變點(diǎn)。

綜上分析得出,開、閉鏈情況下, x、N、k 變化時(shí)能量的變化行為能很好地體現(xiàn)系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)度及相變情況。

5.2 磁化強(qiáng)度分析

磁化強(qiáng)度是單位體積內(nèi)磁矩的矢量和,是在無外力場(chǎng)作用下,溫度低于某一溫度時(shí),其內(nèi)部原子磁矩自發(fā)有序排列的現(xiàn)象。自發(fā)磁化強(qiáng)度M 能描述系統(tǒng)的有序程度,可視作序參量。系統(tǒng)自旋取向的對(duì)稱性被破壞時(shí)出現(xiàn)自發(fā)對(duì)稱性破缺。磁矩取向較雜亂時(shí)M 較小,系統(tǒng)的對(duì)稱性較高而有序度較低,若磁矩間交換相互作用使磁矩排列趨于平行,出現(xiàn)某一方向上的M,系統(tǒng)的有序度升高而空間對(duì)稱性突然降低。相變是一種內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)的有序和無序之間斗爭(zhēng)的宏觀外在表現(xiàn),材料體系內(nèi)部分子和原子之間的相互作用導(dǎo)致有序,熱運(yùn)動(dòng)會(huì)引起無序和混亂。系統(tǒng)的無序會(huì)隨著溫度降低而降低,當(dāng)一種相互作用的能量和熱運(yùn)動(dòng)相比擬時(shí),物質(zhì)的狀態(tài)會(huì)發(fā)生突變。當(dāng)熱運(yùn)動(dòng)的能量不足以破壞系統(tǒng)內(nèi)部由于相互作用造成的有序,就發(fā)生相變現(xiàn)象。海森堡模型中對(duì)于磁性有貢獻(xiàn)的電子被局域在原子范圍內(nèi)形成一個(gè)固有磁矩的模型,電子與電子之間的交換作用導(dǎo)致了自發(fā)磁化的產(chǎn)生。

Table 6 中,海森堡開、閉自旋鏈模型中位型[3,1]、[4,1]、[5,1]相應(yīng)的M 值分別為1、2、3,位型[4,1]、[4,2]相應(yīng)的M 值分別為2、0,可看出開、閉鏈時(shí),k 相同,位型[N,k]的M 值隨N 增加而增大,磁矩有序性增強(qiáng),系統(tǒng)的對(duì)稱性降低而有序度變高,磁矩間交換相互作用,使磁矩排列趨于平行,使得宏觀總磁矩表現(xiàn)不為零,關(guān)聯(lián)度增大;N 相同,位型[N,k]的M 值隨k 的增加而減小,M 減小,磁矩取向趨向于雜亂,系統(tǒng)的對(duì)稱性變高而有序度變低,關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度變小,自發(fā)磁化用自旋波理論解釋能反映有限晶格系統(tǒng)自旋能隙的存在。位型[N,k]中M 值隨N、k 的變化規(guī)律為M = N ?2k, [N,N/2]的M 值為0,對(duì)稱性最好,有序性最低,本模型中M 很好地體現(xiàn)了海森堡開、閉自旋鏈的自旋排列、系統(tǒng)的對(duì)稱性和有序度情況。利用海森堡模型自旋鏈模型, M 作為序參量來描述磁性物質(zhì)的有序程度,為揭示鐵磁性自發(fā)磁化的本質(zhì)提供參考。

6 結(jié) 論

使用一維XXZ 海森堡自旋開、閉鏈模型在半填滿、不同參數(shù)、不同位型[N,k](k ≤N/2)時(shí)的基態(tài)、激發(fā)態(tài)能量及平均磁化強(qiáng)度分析了系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)度及相變情況。當(dāng)參數(shù)x、自旋鏈總格點(diǎn)數(shù)N、格點(diǎn)自旋方向朝上的電子數(shù)k 變化時(shí)的能量變化行為很好地體現(xiàn)了系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)度情況,由基態(tài)能量隨x 變化時(shí)出現(xiàn)的拐點(diǎn)、激發(fā)態(tài)與基態(tài)能差ΔE 隨x 變化時(shí)出現(xiàn)的簡(jiǎn)并情況找出體系的相變點(diǎn)。利用磁化強(qiáng)度M 作為序參量來描述磁性物質(zhì)的有序程度, M 的計(jì)算結(jié)果很好地說明了物質(zhì)的相結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)的序程度。開、閉鏈所做計(jì)算結(jié)果大體相同,閉鏈相比開鏈模型的計(jì)算效果要更直觀、明顯。總的來說,使用一維XXZ 海森堡自旋開、閉鏈模型的能量和平均磁化強(qiáng)度計(jì)算情況很好地反映了該體系的關(guān)聯(lián)度及相變情況,為深入了解海森堡模型量子關(guān)聯(lián)特性提供了一定參考。