迪麗達爾·海依提江, 阿拉帕提·阿不力米提, 白慧婷, 阿依尼沙·牙生,艾則孜古麗·阿不都克熱木, 艾合買提·阿不力孜

(新疆師范大學物理與電子工程學院, 新疆 烏魯木齊 830054)

1 引 言

在實際的物理環(huán)境中量子通訊成為了研究熱點,其中量子糾纏扮演著重要角色,其在量子隱形傳態(tài)中展現出的神奇特性以及潛在的應用價值激起了人們的極大興趣[1,2]。然而在實際的物理環(huán)境中,不存在真正意義上的封閉系統(tǒng),任何量子系統(tǒng)都將與無法控制的環(huán)境相互作用,這些受環(huán)境或其它自由度影響的系統(tǒng)的關聯特性降低,其動力學過程可區(qū)分為馬爾科夫過程和非馬爾科夫過程[3,4]。從系統(tǒng)中流向環(huán)境的能量和信息不再流回到系統(tǒng),即此過程為系統(tǒng)對歷史沒有記憶的馬爾科夫過程。然而,實際環(huán)境和系統(tǒng)強耦合或者環(huán)境是人為構造的情況[5]普遍存在,流入到環(huán)境的能量和信息流回到系統(tǒng)中去,該過程必然改變系統(tǒng)的狀態(tài)和性質,因此必須考慮非馬爾科夫效應。在某種程度上,雖然馬爾科夫過程能夠較為準確地描述開放量子系統(tǒng)的某些動力學演化特性,但是由于其表示形式太過簡單,可能會導致理論計算與實際的物理情況不相符,甚至有可能會漏掉一些比較重要的動力學性質[6～8]。因此,研究有記憶效應的非馬爾科夫過程的動力學演化特性非常重要。

Laine 等[9]發(fā)現,用糾纏光子極化態(tài)進行量子隱形傳輸時,即使是在混合光子極化態(tài)情況下,由兩個光子的局域環(huán)境間存在的初始關聯記憶效應能夠使得完美量子隱形傳態(tài)成為可能。到目前為止,量子隱形傳態(tài)已在很多不同體系中實現,如具有易集成性和可擴展性特點的固態(tài)體系[10,11]。然而,固態(tài)體系因與周圍環(huán)境耦合自由度多,退相干效應也比較強。如何克服固態(tài)體系中的退相干效應是一個極具實際意義的課題,固態(tài)體系與其環(huán)境耦合強的特點帶來的非馬爾科夫性已被用來在一定程度上解決該問題。比如,Diosi 等[12,13]提出量子態(tài)擴散方法,可以用來探索開放量子系統(tǒng)的非馬爾科夫動力學。文獻[14～16]利用量子態(tài)擴散方法(Quantum state diffusion,QSD)研究了兩個二能級原子與一個共同玻色庫強耦合的模型,結果證實兩個非相互作用的量子位的糾纏完全是由環(huán)境記憶產生的。調研發(fā)現,利用此方法研究開放量子系統(tǒng)的動力學問題僅局限于量子糾纏,因此可利用此方法研究開放量子系統(tǒng)的量子通訊特性。

本文第2 節(jié)引入一對耦合的量子比特模型,并介紹了QSD 理論方法[14,17]。第3 節(jié)介紹量子隱形傳態(tài)基礎理論。第4 節(jié)重點利用QSD 方法探究海森堡自旋鏈被用來當量子隱形傳態(tài)信道時,零溫玻色庫環(huán)境的非馬爾科夫性對隱形傳態(tài)保真度的作用。此外,根據海森堡自旋鏈實際應用情況,理論分析了在非馬爾科夫環(huán)境下外加磁場及DM 相互作用對隱形傳態(tài)的作用,前者可以用來實現各種量子邏輯門操作,而后者作為一種自旋-軌道耦合相互作用已被用于操控自旋鏈體系中的量子糾纏。

2 模型與量子態(tài)擴散方法

考慮兩比特海森堡XXZ 模型(等效于一對耦合的二能級原子)與零溫玻色庫相互作用,總哈密頓量表示為(設?=1)

式中L=kAσ1?+kBσ2?是系統(tǒng)與環(huán)境耦合的Lindblad 算符,kA、kB是常量,描述兩個自旋鏈與各自環(huán)境的不同耦合強度;Hsys選為含z 方向的DM 相互作用和外加磁場的海森堡自旋鏈哈密頓量,可寫為

式中J 為x、y、z 方向上的耦合常數,此處取Jx= Jy= Jxy;σ±= (σx±iσy)/2 為二能級原子的產生(湮滅)算符;ωA和ωB為兩個原子的能級躍遷頻率;Bz為z 方向均勻外加磁場;Dz代表z 方向DM 相互作用,它源于自旋與軌道之間的耦合。

基于海森堡模型所產生的糾纏在量子信息傳輸等領域中扮演著重要角色,尤其是包含Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用的海森堡自旋鏈的糾纏特性備受關注[18,19]。根據QSD 理論,相互作用自旋系統(tǒng)的非馬爾科夫隨機擴散方程(NMQSD)可寫為[20]

其中M[·] 表示經典噪聲zt的系宗平均值。將噪聲選為Ornstein-Uhlenbeck 噪聲時, 其關聯函數為α(t,s) = (γe?γ|t?s|)/2,其中的參數γ 反映庫的記憶效應,以γ 的取值就可以區(qū)別馬爾科夫和非馬爾科夫過程。當γ 趨近于無窮時,關聯函數是一個Dirac delta 函數,此時系統(tǒng)完全處于馬爾科夫環(huán)境中,反之處于非馬爾科夫環(huán)境[17]。

通?？梢岳?3)式推導出精確的非馬爾科夫近似主方程[17]來求解系統(tǒng)約化密度矩陣ρt,即

值得一提的是主方程(6)可以很好地替代精確的非馬爾科夫主方程(5)[12]。文獻[13]發(fā)現在實驗數據計算時非馬爾科夫過程中一階近似和零階近似結果相似,尤其在零階近似中數學計算過程被簡化。因此,將通過零階近似情況下的主方程來求解系統(tǒng)的約化密度矩陣。

3 標準量子隱形傳態(tài)協議下傳遞單比特量子態(tài)的平均保真度

在標準量子隱形傳態(tài)協議下[21],以最大糾纏態(tài)作為量子信道,如四個Bell 態(tài)

中的一個,則作為被傳輸的信息,任意未知的單粒子純態(tài)可寫為

式中0 ≤θ ≤π,0 ≤φ ≤2π。隱形傳態(tài)后總輸出態(tài)可以表示為[22]

然而,量子隱形傳態(tài)的輸入態(tài)是未知的,這更有利于計算量子隱形傳態(tài)中所有可能被輸出態(tài)的平均保真度。平均保真度的公式為[24]

4 數值結果與討論

基于平均保真度(10)式,利用非馬爾科夫近似主方程(6)式進行數值計算,并研究以最大糾纏態(tài)為量子信道傳輸未知量子態(tài)時,受環(huán)境非馬爾科夫性系數γ、耦合常數Jxy、Jz影響的量子通信過程。Fig.1給出了在最大糾纏態(tài)量子信道傳輸過程中,γ 取不同值時平均保真度隨時間的演化圖像。對于參數的取值,只考慮一個簡單的情況,參數都對稱的兩個qubits,即ωA=ωB=0.5ω,kA=kB=1。當量子信道由最大糾纏態(tài)構成時,隨著γ 的減小,即非馬爾科夫記憶效應增強,F 增大。這是因為原來系統(tǒng)中耗散到環(huán)境中的信息和能量部分返回到系統(tǒng),表明非馬爾科夫環(huán)境的記憶效應有助于保持和提高隱形傳態(tài)平均保真度。

Fig.1 Average fidelity for different memory times of the noise. The other parameters are Jxy =1,Jz =0,ωA =ωB =0.5ω,kA =kB =1

Fig.2 Time evolution of average fidelity for different anisotropic coupling parameters in non-Markovian environment. The other parameters are|ψ〉=1/(|01〉+|10〉),ωA =ωB =0.5ω,kA =kB =1. (a) Jz =0;(b) Jxy =1

為進一步弄清非馬爾科夫環(huán)境中自旋耦合常數對保真度的作用, Fig. 2 給出量子信道由|ψ〉 =1/(|01〉+|10〉)構成時,在非馬爾科夫機制下(γ =0.1)耦合常數Jxy、Jz對F 的影響。Fig.2(a)描述了當Jz=0,即該模型退化為海森堡XX 自旋鏈模型,Jxy分別取不同值時F 隨時間的變化關系。由Fig.2(a)可見Jxy= Jz=0 時,這兩個非相互作用的量子位的保真度完全受環(huán)境記憶的作用,然而隨Jxy增大而增大,表明Jxy在隱形傳態(tài)過程中起著積極的作用。Fig.2(b)顯示,在非馬爾科夫機制下且取Jxy= 1 時, Jz取值越小越大。也就是說在實際模型中可以選擇XX 自旋鏈模型實現較為理想的隱形傳態(tài)。

還發(fā)現不同的自旋-自旋耦合常數對隱形傳態(tài)保真度的影響并非總是不變的。如Fig.3,當選取不同

Fig.3 Time evolution of average fidelity for different anisotropic coupling parameters in non-Markovian environment.The other parameters are|ψ〉=1/(|00〉+|11〉),ωA =ωB =0.5ω,kA =kB =1.(a)Jz =0;(b)Jxy =1

Fig.4 Time evolution of average fidelity for different DM interaction and external magnetic field in non-Markovian environment.The other parameters are|ψ〉=1/(|01〉+|10〉),Jxy =1, Jz =0,γ=0.1,ωA =ωB =0.5ω,kA =kB =1.(a)Dz =0;(b)Bz =0;(c)Dz =1;(d)Bz =1

的量子信道時, Jxy與Jz對的影響與Fig.2 正好相反。從圖中還可以看出,保真度隨時間的震蕩幅度及頻率也與自旋耦合常數有關?？傊?Fig.2 和Fig.3 表明,量子信道的選取影響隨時間的演化特性。因此,選擇合適的糾纏態(tài)作為量子信道尤為關鍵,環(huán)境噪聲關聯系數γ 和兩比特間耦合常數Jxy、Jz可以有效地控制平均保真度。接下來討論非馬爾科夫環(huán)境下,均勻外加磁場Bz和DM 相互作用Dz對的影響。Fig.4 給出了當量子信道由糾纏態(tài)|ψ〉 = 1/(|01〉+|10〉)構成時, Bz和Dz的引入對量子隱形傳態(tài)的影響。Fig.4(a)顯示,無DM 相互作用時,外加磁場對平均保真度有明顯的積極作用。從Fig.4(b)中可以看出沒有外加磁場只有Dz時,Dz越大,的頻率和振幅同時增大,峰值可達最大值1。為了弄清磁場和DM 相互作用同時存在時隨時間的演化特性,給出了Fig.4(c)。發(fā)現兩者都取相同值時保真度的質量不如一個取值比另一個小的情況。而且兩者取值差別越大保真度越好。

5 結 論

利用非馬爾科夫QSD 方法研究了在海森堡XXZ 自旋鏈模型中量子隱形傳態(tài)的理論實現。詳細討論了環(huán)境非馬爾科夫性系數、不同的量子信道、兩比特間不同的耦合常數、z 方向的DM 相互作用以及均勻外加磁場對平均保真度的影響。研究結果表明: 量子隱形傳態(tài)的平均保真度隨環(huán)境的記憶效應的增大,即環(huán)境關聯系數γ 的減小而增大,說明環(huán)境記憶效應對量子隱形傳態(tài)起到積極作用。另外,不同的量子信道下,不同的自旋耦合常數對量子隱形傳態(tài)平均保真度的影響不盡相同。最后,如果想得到最大保真度,外加磁場和DM 相互作用不能同時存在。在實際情況下,如兩種因素同時存在,通過增大兩者取值間差距也可以得到較為理想的保真度。