苑光明, 尹田田, 董明慧, 陳長偉, 唐順磊, 陳力

(1 齊魯理工學院基礎部, 山東 濟南 250200;2 安慶師范大學物理與電氣工程學院, 安徽 安慶 246113)

1 引 言

作為量子信息的一類重要的物理資源,量子糾纏在諸多領域有著重要的應用,例如描述多體量子比特系統(tǒng)的糾纏結構、單向量子計算、超密編碼等。不同于經(jīng)典關聯(lián)中信息可以自由共享,量子糾纏在其共享過程中受到限制,量子糾纏共享中受限制的情況稱為糾纏單配性關系[1～4]。換句話說,在量子力學中一個系統(tǒng)與另一個系統(tǒng)的糾纏大小將限制此系統(tǒng)與其他系統(tǒng)的糾纏大小。2000 年,Coffman、Kundu 和Wootters[5]在研究三量子比特系統(tǒng)時創(chuàng)新性地引入了單配性概念,并使用此概念證明了基于并發(fā)度糾纏平方的單配性關系。2006 年,Osborne 和Verstraete[6]將基于并發(fā)度糾纏平方的單配性關系推廣到了多體量子比特系統(tǒng)。隨后對基于并發(fā)度平方的單配性關系進行研究,發(fā)現(xiàn)其無法描述所有多體量子比特系統(tǒng)的糾纏分布情況,體現(xiàn)出了一定的局限性。為解決這一問題,科學家嘗試將這一單配性關系的概念應用于其它的糾纏度量,例如高斯糾纏、形成糾纏等[7～21]。

非廣延熵糾纏是一種基于形成糾纏的推廣量子糾纏度量,參數(shù)q 趨向于1 時,其收斂于形成糾纏。之前Kim 等[20]研究了基于非廣延熵糾纏的單配性關系,發(fā)現(xiàn)無法滿足所有的參數(shù)范圍。同樣地,之前對于形成糾纏的單配性關系已經(jīng)有了一定的基礎。Bai 等[10]創(chuàng)新性地構建了形成糾纏平方的單配性關系;基于Bai 等的論證思路,Song 等[11,12]改寫了任意熵糾纏及非廣延熵糾纏的函數(shù)解析式,分別給出了任意熵糾纏平方的單配性關系和非廣延熵糾纏平方的單配性關系。

本文提出了一種新型的基于非廣延熵糾纏的單配性關系,并論證了該單配性關系較文獻[1]與文獻[12]所得單配性關系之優(yōu)點。

2 基于并發(fā)度的新型單配性關系

對于兩體量子比特純態(tài)|ψ〉AB,并發(fā)度的定義為[5]

式中ρA=trB|ψ〉AB〈ψ|為子系A 的約化密度矩陣。對于兩體量子比特混合態(tài)ρAB,并發(fā)度的定義為凸脊擴展形式

2000 年,Coffman、Kundu 和Wootters[4]三人首次提出了單配性關系,并將這一基于并發(fā)度平方的單配性關系推廣到了多體量子比特系統(tǒng)

之后對于并發(fā)度單配性的研究推廣了更加嚴格的形式[22]

式中μ≥2。其后對于并發(fā)度單配性的研究進一步推廣:對于任意多比特混合態(tài)ρ ∈HA?HB1?···?HBN?1,如 果CABi≥CA|Bi+1···BN-1, 其 中i = 1,2,··· ,m, 且CABj≥CA|Bj+1···BN?1, 其 中j = m + 1,··· ,N ?2, 存 在1 ≤m ≤N ?3,N ≥4,并發(fā)度服從單配性關系式[21]

式中μ≥2。下面介紹幾個相關概念[22]。

引理1 假設k 為實數(shù),且0

證明: 首先討論公式f (m,x) = (1+x)m?xm, 其中x ≥1/k, m ≥1。對公式求一階導數(shù)f′(m,x) =m[(1+x)m?1?xm?1],結果顯而易見為非負,即函數(shù)為增函數(shù)。所以

令x=1/t,可得(6)式;同理,若0 ≤n ≤1,公式f (m,x)=(1+x)n?xn一階導數(shù)為非正,即函數(shù)為減函數(shù)。綜上,不等式證明完畢。

下面利用引理1 知識,給出并發(fā)度的新型單配性關系。

定理1假設k 為實數(shù),且0< k ≤1。對于任意2 ?2 ?2n?2混合態(tài)ρ ∈HA?HB?HC,如果CAB≥CAC,當α ≥2,可得

證明:對于任意2 ?2 ?2n?2混合態(tài)ρABC∈HA?HB?HC,如果CAB≥CAC,則

式中第一個不等式利用并發(fā)度的單配性不等式;第二個不等式利用引理1。接下來將定理1 擴展至多體量子比特系統(tǒng)中。

定理2假設k 為實數(shù),且0 < k ≤1。對于任意多比特混合態(tài)ρ ∈HA?HB1?···?HBN-1,如果kBi≥|Bi+1···BN?1,其中i = 1,2,··· ,m,且Bj≤k|Bj+1···BN?1,其中j = m+1,··· , N ?2,存在1 ≤m ≤N ?3,N ≥4,并發(fā)度滿足關系式

式中α ≥2。

證明:由定理1,可得

結合以上兩式,證明完畢。

考慮將該單配性關系應用于一個三比特態(tài)|ψ〉,則

假設k = 0.5,顯而易見,可以判斷該單配性關系優(yōu)于以前給出的單配性關系,即(13)式結果優(yōu)于(3)～(5)式的結果。

3 基于非廣延熵糾纏平方的嚴格單配性關系

兩體量子比特純態(tài)|ψ〉AB非廣延熵糾纏的定義為[11]

?劉緒貽、李存訓:《富蘭克林·D．羅斯福時代，1929 ～1945》(劉緒貽、楊生茂總主編:《美國通史》第五卷)，人民出版社2002年版，第71頁。

式中q>0 且q ≠1。ρA=trB(|ψ〉AB〈ψ|)為子系統(tǒng)A 的約化密度矩陣。非廣延熵糾纏參數(shù)q 趨向于1 時,收斂于形成糾纏

其中最小值取遍所有可能的純態(tài)分解ρAB=Pi|ψi〉AB〈ψi|。

對于非廣延熵糾纏單配性研究,Kim[20]構建了非廣延熵糾纏與并發(fā)度的解析表達式

式中參數(shù)1 ≤q ≤4。通過研究發(fā)現(xiàn)當且僅當參數(shù)q ∈[2,3]時,非廣延熵糾纏服從單配性關系。

類似地,在文獻[11]中,非廣延熵糾纏與并發(fā)度平方的函數(shù)解析式表示為

式中

之前文獻[1] 給出一個新型的單配性關系: 對于任意多比特混合態(tài)ρ ∈HA?HB1?···?HBN-1, 如果CABi≥CA|Bi+1···BN?1,其中i=1,2,··· ,m,且CABj≤CA|Bj+1···BN?1,其中j=m+1,··· ,N ?2,存在1 ≤m ≤N ?3,N ≥4,非廣延熵糾纏滿足關系式

下面利用并發(fā)度的新型單配性關系,討論基于非廣延熵糾纏的新型單配性。

其中第二個不等式利用了并發(fā)度平方的單配性關系,第三個不等式利用了文中引理1。

對應的單配性關系為

假設公式中k=0.5。較之前單配性關系(22)式和(23)式,本結論(24)式更加嚴格。

通過以上論證可以發(fā)現(xiàn),所提出的基于多體量子比特系統(tǒng)的單配性關系較文獻[1]和文獻[12]結果更加嚴格。

4 結 論

量子糾纏的分布特性不同于經(jīng)典關聯(lián),量子糾纏不能在多體之間任意分享,糾纏單配性不僅是多體量子比特系統(tǒng)中一類重要的物理性質,同時有助于了解多體量子比特系統(tǒng)的糾纏結構。提出了基于非廣延熵糾纏服從的新型糾纏單配性不等式,此結論優(yōu)于文獻[1]和文獻[12]的結果,有助于推動量子糾纏的描述和量化,但仍需進行進一步研究,特別是還需進一步解決對于量子動力學中單配性的證明。