雷練武, 于錢米， 李金釗, 曹玉鵬, 牛吉強(qiáng), 陳歲芳

(1.寧波華東核工業(yè)工程勘察院,浙江 寧波 315040;2.山東科技大學(xué) 交通學(xué)院,山東 青島 266590;3.濰坊學(xué)院 建筑工程學(xué)院,山東 濰坊 261061)

分形理論可以透過無序混亂現(xiàn)象和不規(guī)則形態(tài)，揭示隱藏在復(fù)雜現(xiàn)象背后的規(guī)律、局部和整體之間的本質(zhì)聯(lián)系，該理論已經(jīng)廣泛用于解決地質(zhì)和巖土工程中復(fù)雜問題(謝焱石等, 2008；胡青華等, 2011；錢琨等, 2017；王艷艷等, 2019；張曉峰等，2016)。關(guān)于不同初始級(jí)配粗粒土顆粒破碎極限分形維數(shù)的研究很多(徐永福, 2017；張季如等, 2015, 2016)。其中部分研究是對(duì)側(cè)限條件下的粗集料施加靜壓力或沖擊荷載，分析有限作用次數(shù)下的顆粒破碎結(jié)果直接得到有限荷載條件下的分形維數(shù)，另一部分研究是利用有限荷載條件下顆粒破碎過程中相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，預(yù)測(cè)出極限情況下的分形維數(shù)。這些方法耗費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)，其破碎結(jié)果準(zhǔn)確度受實(shí)驗(yàn)條件影響非常大。從另一個(gè)角度分析，粗集料堆積穩(wěn)定之后，如果內(nèi)部顆粒面與面接觸，單向受力作用很難使粗集料內(nèi)部顆粒破碎。顆粒間存在的孔隙為顆粒發(fā)生破碎和破碎過程中顆?？臻g移動(dòng)這兩種行為提供了更多可能性，實(shí)際粗集料中顆粒形狀不規(guī)則、不均勻，堆積穩(wěn)定后顆粒間存在孔隙是必然的。顆粒破碎過程可被理解為破碎產(chǎn)生的新顆粒向多余孔隙移動(dòng)的過程，該過程與粗集料初始堆積狀態(tài)直接相關(guān)，因此從初始堆積狀態(tài)的角度研究測(cè)量顆粒破碎極限分形維數(shù)的方法可節(jié)省時(shí)間和提高準(zhǔn)確度。

還有研究利用對(duì)固定形狀顆粒排列組合或分析顆粒破碎過程中顆粒尺寸變化規(guī)律等幾何學(xué)方法計(jì)算顆粒破碎極限分形維數(shù)(趙中巖等, 1992；St?ger et al., 2018；Yu et al., 2019)。趙中巖等(1992)研究了碎裂巖的極限分形模型，模型中各子塊尺寸取決于初始正方體邊長(zhǎng)，而且相鄰子塊間無縫隙，此限制使碎裂巖的極限級(jí)配具有了間斷性。Yu等(2019)使用增長(zhǎng)路徑(GP)方法生成的粗集料破碎的二維極限分形模型保持了極限級(jí)配的連續(xù)性，因?yàn)榈趎條路徑(PAn)不表示正方體的邊長(zhǎng)，而是代表第n個(gè)顆粒粒組的尺寸，它含粒徑介于篩孔徑dn和dn+1之間的所有顆粒。GP方法生成的極限Sierpinski墊片(Ettestad et al., 2018)的總面積取決于初始增長(zhǎng)路徑(GP0)或初始路徑(PA0)的起始點(diǎn)d0(最大篩徑)的數(shù)值大小。使用GP方法分析二維極限分形模型是一種理想的方式，給定任意一個(gè)d0(d0>0)，都可以使用GP方法得到與d0相對(duì)應(yīng)且極限分形維數(shù)約等于2.585的結(jié)果。實(shí)際通過室內(nèi)篩分試驗(yàn)得到某個(gè)粒組，只是因?yàn)楹Y分試驗(yàn)后該粒組處于孔徑為dn和dn+1的兩個(gè)篩子之間，并沒有測(cè)量該粒組內(nèi)所有顆粒粒徑的實(shí)際分布情況。

綜上所述，有必要研究新的、簡(jiǎn)單的室內(nèi)實(shí)驗(yàn)方法。該方法能夠快速測(cè)量初始狀態(tài)基本參數(shù)，高效計(jì)算單一初始粒組粗集料的極限分形維數(shù)；基于新方法的測(cè)量結(jié)果，進(jìn)一步深入研究初始粒組中粒徑間斷性對(duì)粗集料顆粒破碎極限結(jié)果的影響，這對(duì)深入分析和預(yù)測(cè)顆粒破碎規(guī)律具有指導(dǎo)意義。

1 極限分形維數(shù)新實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法

1.1 計(jì)算原理

極限分形維數(shù)是由顆粒破碎極限百分比計(jì)算得到的。顆粒破碎極限百分比的實(shí)驗(yàn)測(cè)量原理如圖1所示。圖1顯示的單一顆粒粒徑粗集料初始堆積狀態(tài)具有最大孔隙比(emax)。單向破碎模式1是指單一顆粒粒徑粗集料中部分顆粒破碎后與沒有破碎的顆粒一起重新排列而消除孔隙的過程。單向破碎模式1的破碎結(jié)果(y%)需要根據(jù)初始堆積狀態(tài)的emax測(cè)量值進(jìn)行計(jì)算。單向破碎模式2是指單一顆粒粒徑粗集料中所有顆粒都發(fā)生破碎后重新排列消除孔隙的過程。單向破碎模式2的破碎結(jié)果(100%)是理論最大破碎值。實(shí)際破碎模式介于這兩種單向破碎模式之間。

1.2 實(shí)驗(yàn)方法

本研究使用兩種粗顆粒實(shí)驗(yàn)材料：石英砂和粗粒土，分別取自砂廠和共玉高速路基基床填料。石英砂(QS-1)包含4個(gè)粒組，顆粒粒徑d分別為1.18～2.36 mm、0.425～1.180 mm、0.250～0.425 mm、0.075～0.250 mm，密度都是2.66 g/cm3。粗粒土(CS-2)包含4個(gè)粒組，顆粒粒徑d分別為1～2 mm、0.5～1.0 mm、0.25～0.50 mm、0.075～0.250 mm，密度分別為2.61 g/cm3、2.70 g/cm3、2.64 g/cm3、2.63 g/cm3。粒組用PSF表示。

將6份不同體積的單一粒組石英砂通過漏斗慢速倒入6個(gè)同型號(hào)量筒內(nèi)，用工具輕輕抹平量筒內(nèi)粗集料表面，記錄6個(gè)量筒內(nèi)的體積(Vi,單位cm3，i=1～6)，測(cè)量過程中禁止震動(dòng)，防止孔隙縮小，影響測(cè)量結(jié)果。使用電子秤測(cè)量并計(jì)算出與石英砂Vi對(duì)應(yīng)的質(zhì)量(Mi,單位g)。每一個(gè)關(guān)于Vi和Mi的數(shù)據(jù)都需要測(cè)量3次，最終結(jié)果取3次測(cè)量結(jié)果的平均值。

石英砂孔隙體積(Vi,void)計(jì)算公式為：

Vi,void=Vi-Mi/2.66

(1)

對(duì)于粗粒土而言，式(1)中Mi/2.66中的分母將隨PSF的變化而變化。將石英砂破碎顆粒的最少質(zhì)量設(shè)為Mx, 則：

(2)

石英砂最小破碎百分比(yi,單位%)計(jì)算公式如下：

(3)

石英砂極限平均破碎百分比(Pu,單位%)計(jì)算公式如下：

(4)

基于Vi和Mi的測(cè)量結(jié)果，石英砂和粗粒土不同粒組的yi(i=1～6)和Pu計(jì)算結(jié)果分別見表1和表2，其中PSFij中i=1時(shí)表示材料是石英砂，i=2時(shí)表示材料是粗粒土，j表示第j個(gè)粒組。

表1 石英砂的Pu測(cè)量結(jié)果

表2 粗粒土的Pu測(cè)量結(jié)果

當(dāng)初始孔隙比固定，新生成的顆粒會(huì)向初始顆粒間的孔隙內(nèi)移動(dòng)，即新生成顆粒所占空間大小取決于初始顆粒之間的空間大小，據(jù)此原理可計(jì)算出極限平均破碎百分比(Pu)，某個(gè)粒組PSFi的極限平均破碎百分比用Pu,PSFi表示。Pu,PSFi是指極限破碎狀態(tài)條件下小于粒組PSFi的所有新生成粒組的質(zhì)量百分比，也是極限破碎狀態(tài)條件下小于粒徑di的所有新生成顆粒的質(zhì)量百分比。因此小于等于某粒徑的質(zhì)量百分比(P≤di,i=1, 2, …, 5)的計(jì)算公式見式(5)～(9)。石英砂和粗粒土的P≤di計(jì)算結(jié)果如表3所示。

P≤d1= 100 (%)

(5)

P≤d2=Pu, PSF1×P≤d1(%)

(6)

P≤d3=Pu,PSF2×P≤d2(%)

(7)

表3 兩種材料的P≤di計(jì)算結(jié)果

P≤d4=Pu,PSF3×P≤d3(%)

(8)

P≤d5=Pu,PSF4×P≤d4(%)

(9)

式中，d表示QS-1的粒徑時(shí)分別為：d1=2.36 mm、d2=1.18 mm、d3=0.425 mm、d4=0.25 mm、d5=0.07 mm；d表示CS-2的粒徑時(shí)分別為：d1=2 mm、d2=1 mm、d3=0.5 mm、d4=0.25 mm、d5=0.075 mm。

1.3 結(jié)果分析

表4顯示了通過雙對(duì)數(shù)圖擬合計(jì)算分形維數(shù)(Ds)的參數(shù)值(圖2的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)數(shù)值)，基于表4的數(shù)據(jù)，圖2分別給出石英砂和粗粒土的顆粒破碎極限D(zhuǎn)s的計(jì)算步驟，極限D(zhuǎn)s結(jié)果都約等于2.6，這與已有研究結(jié)果(徐永福, 2017；Yu et al.,2019)一致。如果要使極限D(zhuǎn)s約等于2.6，極限D(zhuǎn)s的變化范圍應(yīng)是2.55

表4 用于計(jì)算分形維數(shù)的參數(shù)值

2 初始粒組不完整尺寸對(duì)分形維數(shù)的影響

上述實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，兩種顆粒材料的極限D(zhuǎn)s都約等于2.6，如果極限D(zhuǎn)s數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)不止保留1位，該數(shù)據(jù)是介于2.55和2.65之間。在研究分析了粗集料顆粒堆積初始孔隙率對(duì)極限破碎結(jié)果影響的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析初始粒組不完整尺寸對(duì)極限破碎結(jié)果的影響。

2.1 符號(hào)解釋

(1)d0是最大篩徑，d0=2 mm；d1是二級(jí)篩徑，d1=d0/2；d2是三級(jí)篩徑，d2=d1/2；d3是四級(jí)篩徑，d3=d2/2；d4是五級(jí)篩徑，d4=d3/2；d5是六級(jí)篩徑，d5=d4/2；di是粒組中的顆粒粒徑。

(2)PSF0是初始粒組，尺寸是d0～d0/2；PSFn是第n個(gè)粒組(n=1,2,3,4,5)，尺寸是dn～dn/2。

(3)粒組尺寸大小的比較是通過粒組中粒徑平均值的比較來體現(xiàn)，粒徑平均值是粒組中最大粒徑和最小粒徑的平均值；本研究中假設(shè)粒組中粒徑變化規(guī)律為線性平均分布。

(4)dL是初始粒組尺寸的下界值，即粒組中粒徑的最小值，dU是初始粒組尺寸的上界值，即粒組中粒徑的最大值。

2.2 實(shí)際PSF0的粒徑變化范圍是[dL,d0]

該情況指實(shí)際PSF0尺寸大于理論P(yáng)SF0尺寸，即實(shí)際PSF0的平均粒徑大于理論P(yáng)SF0的平均粒徑，d0/2

2.3 實(shí)際PSF0的粒徑變化范圍是[d0/2,dU]

該情況是指實(shí)際PSF0尺寸小于理論P(yáng)SF0尺寸，即實(shí)際PSF0的平均粒徑小于理論P(yáng)SF0的平均粒徑，d0/2≤dU

圖4為把粒徑介于dU和dU/2的PSF當(dāng)作PSF0條件下dU=1.9、1.5和1.1的三個(gè)Ds=2.585的線性擬合圖。三個(gè)線性擬合公式分別是式(10)、(11)和(12)：

y=0.415x+0.009 25

(10)

y=0.415x+0.051 85

(11)

y=0.415x+0.107 76

(12)

式中，y=lg[P(d

當(dāng)x=-0.301 03 (di=1 mm時(shí))，通過式(10)、(11)和(12)可以求得dU=1.9、1.5和1.1條件下的三個(gè)y值分別是-0.115 69、-0.073 09和-0.017 18，與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)P(d<1 mm)分別為76.61%、84.51%和96.12%。同理，其它P(d

當(dāng)在實(shí)際篩分試驗(yàn)之后把dU和d0/2之間的PSF當(dāng)作d0和d0/2之間的PSF進(jìn)行處理求Ds時(shí)，把表5中的P(d

表5 6個(gè)dU條件下的P(d

3 結(jié)論

(1)研究出一種新實(shí)驗(yàn)方法，快速測(cè)量了粗集料顆粒堆積初始孔隙率，高效計(jì)算了單一初始粒組粗集料的極限分形維數(shù)約等于2.6。

(2)當(dāng)實(shí)際初始粒組平均尺寸大于理論初始粒組平均尺寸時(shí)，顆粒破碎之后，會(huì)自動(dòng)補(bǔ)充生成實(shí)際初始粒組缺少的尺寸顆粒。這種初始粒組尺寸缺陷對(duì)極限分形維數(shù)的計(jì)算不會(huì)造成誤差。

(3)當(dāng)實(shí)際初始粒組平均尺寸小于理論初始粒組平均尺寸時(shí)，顆粒破碎之后，不會(huì)自動(dòng)補(bǔ)充生成實(shí)際初始粒組缺少的尺寸的顆粒。該初始粒組尺寸缺陷對(duì)極限分形維數(shù)的計(jì)算會(huì)造成誤差。存在誤差的極限分形維數(shù)與初始粒組的最大尺寸成對(duì)數(shù)關(guān)系。實(shí)際計(jì)算結(jié)果只保留小數(shù)點(diǎn)后1位，存在誤差的極限分形維數(shù)都約等于2.6，該情況可忽略較小誤差的存在。