秦任甲

(桂林醫(yī)學院數(shù)理教研室,廣西 桂林 541001)

學醫(yī)行醫(yī)常涉及的人體物理問題多有尚未解決或未完全解決,因此筆者退休后堅持對呼吸系統(tǒng)、聽覺器官和血液流變學、血流動力學、超聲多普勒血流頻譜學以及臨床醫(yī)學物理教改等范圍的問題開展研究,發(fā)表論文數(shù)十篇[1-15]。期盼相關(guān)學者更多參與,共同為創(chuàng)建相關(guān)學科理論作貢獻。

所謂泊肅葉流動是法國醫(yī)生泊肅葉于1864年研究并獲得泊肅葉定律(公式)而得名，其實質(zhì)是指水平均勻圓直管內(nèi)液體能使泊肅葉定律(公式)成立的流動。泊肅葉流動必定是定常流,即流場內(nèi)所有空間點的流速(大小和方向)都不隨時間改變。對于水平均勻圓直管,泊肅葉流動與定常流是同義詞。處于定常流時管內(nèi)液體必定成如下流態(tài)模型:從管軸到管壁可看成是一系列與管同軸的流層。設(shè)流層厚度為Δr,半徑為r，長度為L(管長),流速為υ,流層的流速υ與流層半徑r成拋物線關(guān)系即

(1)

(2)

式(1)(2)中r0、η、Δp分別為管內(nèi)半徑、管中牛頓流體黏度為常量[16]、管兩端壓強差。Q為管內(nèi)液體流量。式(2)稱為泊肅葉定律。表示式(1)的流速曲線稱為拋物線[17],其實質(zhì)是某一時刻排列在任一直徑上的液體元經(jīng)過單位時間分別流到之點所連結(jié)成的曲線。立體看,管內(nèi)流層的流速與流層半徑成拋物面關(guān)系,式(1)的流速曲線就是過管軸的縱截面與流速拋物面的相交線。

泊肅葉定律是流體力學、血流動力學、血液流變學、生理學的基礎(chǔ),在醫(yī)學中廣泛應(yīng)用。從多所院校圖書館所能查閱到的文獻中式(1)(2)都是用數(shù)理方法推導出來的[18-19],至今尚未見有文獻具體而全面揭示式(1)的形成機制。錢學森曾說:“科學知識的特點是，不僅能回答是什么,還能回答為什么。但人類從實踐中還獲得了大量的感性知識和經(jīng)驗知識，這部分知識的特點只知道是什么，還不能回答為什么，所以進入不了現(xiàn)代科學技術(shù)體系之中。我們把這部分知識稱為前科學。……從前科學到科學再到哲學這三個層次的知識，就構(gòu)成了人類的整個知識體系?！盵20]照錢學森的這一層次說(注: 筆者所稱)，不僅必須知道泊肅葉流動的第一層次知識即其流速曲線是拋物線，還必須知道其第二層次知識即流速曲線為什么能成拋物線,前者回答是什么亦即知其然,而后者回答為什么亦即知其所以然,否則對其理解是不夠深刻的，其理論是不完備的。對教學涉及的問題尤其應(yīng)該如此[9-10],不然授課底氣不足，學生問及難以回答,學生學不到完備理論。

研究本課題的目的在于構(gòu)建闡明泊肅葉流動流速與流層半徑何以成拋物線的理論，彌補其理論空白，為豐富流體力學和相關(guān)醫(yī)學學科理論添磚加瓦，為教學提供參考，使教與學都能從機制的深度把握泊肅葉流動的流速與流層半徑的關(guān)系，同時還展現(xiàn)出不懈深究科學真理的精神。

無論觀察流速拋物線還是觀察平緩流動的溝渠江河從岸壁到中軸各流層的流速變化都可發(fā)現(xiàn)這些流動均存在兩個基本特征: 其一，任一流層都是內(nèi)側(cè)面(近管軸側(cè)面)比外側(cè)面(近管壁側(cè)面)流速快。其二，越近管壁的流層內(nèi)外兩側(cè)面的流速差越大，反之越小。下面將通過揭示兩個基本特征的形成機制來闡明:一，式(1)中Δp/(4ηL)因數(shù)不變，流速拋物線隨流層半徑變化的成因;二，流速拋物線形狀隨著Δp/L變化而改變的成因。從而揭示泊肅葉流動流速與流層半徑成拋物線關(guān)系的完整形成機制。

1 流層內(nèi)側(cè)面比外側(cè)面流速快的原由

泊肅葉流動中流速與流層半徑成拋物線關(guān)系是一種理想流態(tài)。從現(xiàn)實平緩流動的溝渠江河中所看到的從岸壁到中軸各流層的流速由0逐漸增至最大,這還不能說是泊肅葉(拋物線流速)流動,充其量為近似泊肅葉流動。但從此觀察中已經(jīng)可以獲得形象、直觀、生動的層流認識，并可推想到流速與流層半徑成拋物線理想流態(tài)的存在。無論從理想流速拋物線還是從現(xiàn)實平緩流動的溝渠江河中都可看得岀任一流層都是內(nèi)側(cè)面流速快于外側(cè)面流速,其原由何在呢？

流層內(nèi)外兩側(cè)面存在流速差是因為流層兩側(cè)面所受內(nèi)摩擦力方向不同所造成。內(nèi)摩擦力f為

(3)

(4)

f是作用于面積為S的兩接觸流層面上的內(nèi)摩擦力,作用于此流層面的內(nèi)摩擦力與作用于彼流層面的內(nèi)摩擦力互為作用力與反作用力,大小均為f,但方向相反。式(3)稱為黏性定律,也稱為牛頓黏滯定律[22-23]。 dυ/dr稱為速度梯度。兩接觸流層面間存在流速梯度,可理解為兩接觸流層面間存在一定的流速差。式(3)(4)給岀作用于流層面的內(nèi)摩擦力與各相關(guān)因素的關(guān)系。

附著于管壁的流體層通常稱為附壁層。人們假定附壁層相對管壁面無滑流,即υ=0。兩百多年來，雖然未獲得理論或?qū)嶒炞C明,但按此無滑流條件所得出的結(jié)論,除稀薄氣體外從來沒有出過問題[24]。因此本文也承認無滑流條件。因為附壁層不流動，才有可能從附壁層面起各流層面都受到由式(3)(4)表達的內(nèi)摩擦力作用,使泊肅葉流動或溝渠江河從岸壁到中軸流速逐漸增大的流動得以形成,否則是不可能的。

以i表示流層的序號,i取值為0、1、2、3……n。i為0的流層為附壁層,i為n的流層位于管軸,可認為是與管同軸的很小半徑圓柱形流層。i流層的外側(cè)面比i-1流層的內(nèi)側(cè)面流速快，所受i-1流層內(nèi)側(cè)面施加的內(nèi)摩擦力與其流速反向,導致i流層的外側(cè)面減速。i流層的內(nèi)側(cè)面比i+1流層的外側(cè)面流速慢，所受i+1流層外側(cè)面施加的內(nèi)摩擦力與其流速同向，導致i流層的內(nèi)側(cè)面加速?？梢娫趦?nèi)摩擦力作用下任一流層的內(nèi)側(cè)面流速都比外側(cè)面的快。不管劃分的流層厚度如何小,這一論斷都成立。就任一個流層而言,都是外側(cè)面流速最慢,從外側(cè)面到內(nèi)側(cè)面流速逐漸增大,內(nèi)側(cè)面流速最快,致使i流層的流速曲線段近管軸端向前而近管壁端滯后,成傾斜狀,其傾斜程度可用流速曲線段與管軸或管壁之間的小夾角——流速曲線段傾斜角表示。流速曲線段兩端沿流速方向之距離差稱為流程差。顯然流速曲線段越傾斜,其傾斜角越大,兩端流程差越小。若流層兩側(cè)面所受內(nèi)摩擦力越大,那其內(nèi)側(cè)面流速越快而外側(cè)面流速越慢,其流速曲線段傾斜角越小,傾斜程度越小,兩端流程差越大。值得強調(diào)的是,這里只揭示各流層的流速曲線段成傾斜狀及其傾斜大致方向的緣由,尚未闡明各流層的流速曲線段更精細傾斜方向的成因。故而假設(shè)在泊肅葉流動中i取值0、1、2、3……n劃分流層,又按上面述及的各流層所受內(nèi)摩擦力作用而確定各流層的流速曲線段取向,并與泊肅葉流動中各相對應(yīng)流層的流速拋物線段取向?qū)Ρ葧写笃?。將各流層的流速曲線段順勢連接成曲線,并與流速拋物線對比也會有大偏差,但與流速拋物線會有一定程度的相似性。這一定程度的相似性表明第1部分的論證有其成效,至少可以說揭示了泊肅葉流動流速拋物線的粗略成因——作用于流層內(nèi)外側(cè)面的內(nèi)摩擦力方向相反,使內(nèi)側(cè)面流速加快外側(cè)面流速減慢,這成為泊肅葉流動不可或缺的基本成因,為揭示各流層的流速拋物線段更精細傾斜方向,為圓滿闡明流速拋物線的形成機制奠定了基礎(chǔ)。

2 越近管壁流層兩側(cè)面流速差越大的成因

無論觀察溝渠江河平緩流動還是觀察流速拋物線,都可發(fā)現(xiàn)越近管壁的流層其內(nèi)側(cè)面比外側(cè)面流速之差越大,反之亦然,其成因何在呢?為敘述更具條理性,下面將從兩個角度進行論證。

其一，假設(shè)流層內(nèi)外側(cè)面所受內(nèi)摩檫力大小相等。將式(4)和S=2πrL代入式(3)可得作用于半徑為r的流層面(實指內(nèi)側(cè)面)的內(nèi)摩擦力為

f=πΔpr2，

(5)

為便于凸顯內(nèi)摩擦力對流層兩側(cè)面流速的影響，暫時假設(shè)作用于任一流層兩側(cè)面的內(nèi)摩擦力之差忽略不計,那流層兩側(cè)面所受內(nèi)摩擦力大小相等，都由式(5)決定，都隨流層半徑r增大而按r2增大。這意味著越近管壁的流層內(nèi)側(cè)面被加速的程度越大,外側(cè)面被減速的程度越大,致使內(nèi)側(cè)面流速比外側(cè)面流速相差越大,反之亦然。

其二，實際作用于任一流層外側(cè)面的內(nèi)摩擦力比內(nèi)側(cè)面的大Δf。任一流層i的內(nèi)外側(cè)面半徑分別為r、r+Δr，Δr為流層厚度,將此分別代入式(5),以外側(cè)面的f外減去內(nèi)側(cè)面的f內(nèi),并略去二階小量(Δr)2，可得外側(cè)面對內(nèi)側(cè)面的內(nèi)摩擦力之差Δf為

Δf=2πΔrΔpr,

(6)

流層越近管壁即r越大,由式(6)可知施于流層外內(nèi)兩側(cè)面的內(nèi)摩擦力之差Δf越大,這意味著流層外側(cè)面減速的程度與內(nèi)側(cè)面加速的程度相比,二者相差越大,以致越近管壁的流層其內(nèi)外兩側(cè)面流速差Δυ越大,流層的流速曲線段兩端流程差越大，流速曲線段傾斜角越小,傾斜程度越小,反之亦然。如i為1的流層Δυ最大,其流速曲線段兩端流程差最大,流速曲線段傾斜角最小,傾斜程度最小。隨著i增大,r、Δf、Δυ減小，流層的流速曲線段兩端流程差減小,流速曲線段傾斜角增大,傾斜程度增大。i為n的流層Δυ為0,流速曲線段兩端流程差為0,傾斜程度最大,流速曲線段傾斜角為90°,即流速曲線段與管軸(管壁)垂直，反之亦然。將考慮到如此精確取向的各流層的流速曲線段順勢連接成的曲線可以說是泊肅葉流動的流速拋物線了,這就圓滿揭示泊肅葉流動流速與流層半徑成拋物線關(guān)系的形成機制。顯然,論證過程中式(5)(6)起到?jīng)Q定性的關(guān)鍵作用,導不出這兩式,就完不成本研究。

3 壓強梯度越大流速拋物線越銳的成因

Δp是直管段兩端壓強差,Δp/L為直管段單位長度(兩端間)的平均壓強差,稱為壓強梯度。假定管內(nèi)為某種牛頓流體亦即η不變,那依據(jù)泊肅葉流動的公式(1)可知，對每個Δp/L直管內(nèi)必定有一條對應(yīng)的流速拋物線。無疑Δp/L越大,管軸流速越大,即流速拋物線越長、越銳,陡峭程度越大。反之Δp/L越小,管軸流速越小，即流速拋物線越短、越鈍,陡峭程度越小。泊肅葉流動流速拋物線隨Δp/L成如此變化規(guī)律的成因是什么呢? 成因有二:

第一,各流層兩側(cè)面所受內(nèi)摩擦力及其內(nèi)摩擦力之差均與Δp成正比,是造成流速拋物線隨Δp/L成如此變化規(guī)律的基本成因。對確定的直管段Δp隨Δp/L正比例增大,Δp/L越大Δp也隨之越大,由式(5)(6)可知作用于各流層面的內(nèi)摩擦力,各流層兩側(cè)面間內(nèi)摩擦力之差越大,致使各流層外側(cè)面流速越慢,內(nèi)側(cè)面流速越快,兩側(cè)面間流速差Δυ越大,流速曲線段兩端流程差越大,流速曲線段傾斜角越小、傾斜程度越小,將如此取向的各流速曲線段順勢連接成曲線,那這條流速曲線將隨Δp越大而管軸流速越大，即流速曲線越長、越銳,陡峭程度越大,反之亦然。這就揭示泊肅葉流動流速拋物線隨Δp/L成如此變化規(guī)律的基本成因。

第二,第2部分運用式(5)(6)闡明的各流層流速曲線段取向隨流層半徑越大而傾斜程度越小的規(guī)律同樣左右著第一中各流層流速曲線段的取向。

將第一、二兩個因素結(jié)合起來可知,隨Δp(Δp/L) 越大,各流層的流速曲線段傾斜程度越小,隨Δp(Δp/L) 越大,越近管壁的流層流速曲線段傾斜程度越小,那將這樣取向的各流層流速曲線段順勢連接成的曲線,必定是隨直管段Δp越大而管軸流速越大，亦即流速曲線越長、越銳,陡峭程度越大,反之亦然。至此就圓滿揭示泊肅葉流動流速拋物線隨Δp/L變化規(guī)律的成因。此一成因的揭示所依據(jù)的完全是第2部分所構(gòu)建起來的理論,這就證明第2部分所構(gòu)建起的理論是正確的。

4 結(jié)論

結(jié)論1:無滑流條件和筆者推導出的式(5)(6)是揭示泊肅葉流動形成機制的兩個核心因素。正是這兩個核心因素使第1、2、3部分能分別揭示流速拋物線的粗略成因、精細成因和隨Δp變化規(guī)律的成因。在第1部分的基礎(chǔ)上第2、3部分揭示泊肅葉流動流速與流層半徑成拋物線關(guān)系的完整形成機制,從而構(gòu)建起闡明流速拋物線形成機制的理論,填補其理論空白。論證合情合理,不僅理論論證揭示流速拋物線的粗略成因、精細成因和隨Δp變化規(guī)律成因的說服力強,而且用本文構(gòu)建起的理論破釋式(1),各種文獻中文字描述、圖形表達的流速拋物線,以及平緩流動著的溝渠江河中所呈現(xiàn)的流層流態(tài)都與之吻合得很好,這表明本文的論證,論點既實在又明確,論據(jù)既充分又科學,論證既得法、淺顯又有說服力,結(jié)論正確符合科學情理。

結(jié)論2:在管道中流動的液體其基本趨向是泊肅葉流動。只要入口流量不變,無論以何種流態(tài)流入內(nèi)徑恒定、內(nèi)壁平整、足夠長的均勻圓直管道,因其中各液體元非平行管軸的動能都將被內(nèi)摩擦力耗盡,終將只剩平行管軸的動能,并在式(5)(6)表達的內(nèi)摩擦力作用下變成和維持泊肅葉流動的理想流態(tài)。若入口流量隨時間改變,那終將只能成為流速隨入口流量改變而變化的層流,而非泊肅葉流動。如在體直動脈段血液作流速隨心搏動而改變的層流就是其實例。