楊澤川，羅汝斌，廖 俊，蔣 祎，袁俊杰，王 寧，李 珺

(1. 中南大學(xué)航空航天學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引 言

高空氣球是一種可在臨近空間高度范圍工作、搭載多種任務(wù)載荷系統(tǒng)的多用途浮空平臺(tái)，具有駐空時(shí)間長(zhǎng)、效費(fèi)比高、安全性好等優(yōu)點(diǎn)，在預(yù)警探測(cè)、偵察監(jiān)視、導(dǎo)航通信等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。

高空氣球作為一種無(wú)動(dòng)力浮空器，其動(dòng)力學(xué)特性對(duì)于高空浮空器的快速部署至關(guān)重要。因此，很多學(xué)者針對(duì)高空氣球上升段動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[3]建立了氣球上升過(guò)程的運(yùn)動(dòng)模型和熱模型，計(jì)算了氣球上升的軌跡，并與飛行數(shù)據(jù)相比較，有較好的吻合。文獻(xiàn)[4]通過(guò)建立氣球上升過(guò)程中溫度微分方程和運(yùn)動(dòng)微分方程，運(yùn)用兩節(jié)點(diǎn)模型計(jì)算了標(biāo)準(zhǔn)大氣模型下高空氣球的上升軌跡、上下表面及球內(nèi)溫度變化等情況。文獻(xiàn)[5]采用大渦模擬的方法研究了不同球體間距對(duì)“球形囊體型”浮空器氣動(dòng)特性的影響。文獻(xiàn)[6-7]精確模擬了高空超壓氣球的運(yùn)動(dòng)特性和熱力學(xué)特性，并分析了蒙皮膜的輻射特性和云對(duì)氣球熱力學(xué)的影響，研究不同大氣模型對(duì)高空氣球升空過(guò)程中的高度、氦氣溫度的變化曲線(xiàn)，分析了不同大氣模型對(duì)氣球熱動(dòng)力學(xué)性能的影響。上述研究表明，在上升過(guò)程中，高空氣球的體積、速度等特性受到多因素的影響，進(jìn)而影響浮空器的部署時(shí)間，因此，有必要針對(duì)浮空器上升過(guò)程中的體積以及速度等進(jìn)行詳細(xì)研究。

文獻(xiàn)[8]對(duì)高空氣球上升階段與駐空過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了仿真，上升速度曲線(xiàn)由于氦氣“超冷”現(xiàn)象呈現(xiàn)雙“V”形變化。文獻(xiàn)[9]仿真了零壓氣球的飛行軌跡，通過(guò)真實(shí)飛行數(shù)據(jù)驗(yàn)證了仿真的正確，研究了影響氣球在漂浮區(qū)域高度穩(wěn)定性的有效參數(shù)，對(duì)充氣量進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)，使氣球在不需要壓艙物的情況下保持爬升的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[10]建立了一種新的描述氣球熱力學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性的動(dòng)態(tài)模型，分析了初始放飛條件對(duì)氣球飛行性能的影響，其中氣球的充氣量是影響上升速率最主要的因素。文獻(xiàn)[11]通過(guò)采用零壓氣球受力平衡方程分析了平流層高空氣球在升空過(guò)程中體積變化情況，并通過(guò)有限元方法驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性，研究結(jié)果表明體積和充氦量是高空氣球的重要設(shè)計(jì)指標(biāo)，其直接決定著高空氣球的升空高度與載荷攜帶能力。

研究高空氣球升空過(guò)程中的體積變化情況，對(duì)于高空氣球的總體設(shè)計(jì)具有重要的實(shí)用價(jià)值。氣球在上升過(guò)程中體積的增大會(huì)造成蒙皮應(yīng)力的增大，不合理的氣球體積以及充氦量設(shè)計(jì)可能會(huì)導(dǎo)致氣球在上升階段就由于蒙皮的應(yīng)力過(guò)大而撕裂[12]。針對(duì)自然形高空氣球，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者進(jìn)行了氣球的形狀預(yù)測(cè)以及蒙皮應(yīng)力情況的研究。明尼蘇達(dá)大學(xué)的研究者將氣球的形狀建模成一個(gè)非線(xiàn)性微分方程系統(tǒng)，這個(gè)非線(xiàn)性方程系統(tǒng)的解被稱(chēng)為Σ形狀。文獻(xiàn)[12]使用該模型做了大量的數(shù)值計(jì)算，這些方程的邊界條件是基于有效載荷、氣球膜重量、體積和漂浮高度等。文獻(xiàn)[13]使用“平行打靶法”求解上升階段中對(duì)稱(chēng)的自然形氣球非線(xiàn)性幾何方程，該方法假設(shè)氣球由圓錐體和一個(gè)固定角組合而成，并且氣球蒙皮上沒(méi)有周向應(yīng)力，證明了“平行打靶法”可以很好地求解Σ形狀等式。文獻(xiàn)[14]構(gòu)造了“切向增量法”，將氣球的加強(qiáng)頭部層考慮進(jìn)模型，忽略蒙皮的彈性形變和褶皺，成功地預(yù)測(cè)了不對(duì)稱(chēng)氣球在漂浮階段的形狀，與“平行打靶法”的結(jié)果很好地吻合。

對(duì)于氣球形狀的研究，F(xiàn)rank baginski提出氣球系統(tǒng)的能量最小并且滿(mǎn)足材料的約束，通過(guò)這種方法得到的氣球形狀叫做EM形狀(Energy Minimizing Shape)[15]。文獻(xiàn)[15-16]根據(jù)氣球系統(tǒng)的能量最小化原理，將氣球?qū)嶋H觀(guān)察中的特征(如褶皺等)考慮進(jìn)模型，對(duì)上升階段高空氣球的軸對(duì)稱(chēng)形狀、非對(duì)稱(chēng)形狀進(jìn)行建模，模型的計(jì)算結(jié)果能夠很好地反映氣球形狀，并且還利用“差分原理”計(jì)算氣球形狀，發(fā)現(xiàn)該方法計(jì)算的對(duì)稱(chēng)EM形狀與求解標(biāo)準(zhǔn)Σ形狀能很好地吻合；而對(duì)于不對(duì)稱(chēng)形狀氣球，該方法計(jì)算出的氣球形狀與實(shí)際觀(guān)察中出現(xiàn)的氣球形狀特征很接近。文獻(xiàn)[17]基于殼體有限元法對(duì)科學(xué)氣球進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，分析了科學(xué)氣球不同飛行高度下外形和蒙皮應(yīng)力分布情況。

國(guó)內(nèi)方面，文獻(xiàn)[18]通過(guò)推導(dǎo)考慮多種因素的一般球形理論得到了地面不同充氣體積下球體的二維形狀，對(duì)不同因素在球形設(shè)計(jì)過(guò)程中的影響進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并設(shè)計(jì)了地面試驗(yàn)驗(yàn)證氣球形變和應(yīng)力分析數(shù)值結(jié)果。文獻(xiàn)[19]采用有限元方法，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)膯卧惴?、接觸算法和流固耦合參數(shù)，初步給出了半充氣自然形球體形狀。文獻(xiàn)[20]通過(guò)考慮大氣環(huán)境因素和浮升氣體溫度的影響，簡(jiǎn)單預(yù)測(cè)了氣球在地面和漂浮高度的幾何外形和蒙皮張力。文獻(xiàn)[21]利用肥皂泡理論分析氣球膨脹的全過(guò)程，通過(guò)最小能量理論進(jìn)行應(yīng)力分析和剪裁設(shè)計(jì)，對(duì)氣球不斷上升過(guò)程中體積擴(kuò)大、增加內(nèi)壓過(guò)程進(jìn)行研究，分析其形狀變化和膜應(yīng)力變化特征。

自然形高空氣球在上升過(guò)程中體積隨上升高度的增加而變化，這是由于外界大氣溫度、密度和壓力隨上升高度的增加而變化，氣球受到的熱輻射影響氣球內(nèi)浮升氣體的溫度，導(dǎo)致氣球內(nèi)浮升氣體壓力的變化和氣球膜內(nèi)外壓差的變化，氣球的幾何外形隨壓差的變化而改變。實(shí)際上，氣球的蒙皮應(yīng)力由氣球的曲率半徑?jīng)Q定，因此需要準(zhǔn)確且可靠的理論方法來(lái)預(yù)測(cè)氣球上升過(guò)程的蒙皮應(yīng)力，本文考慮氣球在上升過(guò)程中的熱輻射，利用最小勢(shì)能法通過(guò)數(shù)值迭代計(jì)算了自然形氣球在上升過(guò)程中的形狀和應(yīng)力情況，研究了浮升氣體充氣量、氣球內(nèi)外溫差對(duì)氣球形狀和應(yīng)力分布的影響。該方法簡(jiǎn)潔方便，且可獲得較為精確的預(yù)測(cè)結(jié)果，為高空氣球的工程應(yīng)用及概念設(shè)計(jì)等問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。

1 理論模型

1.1 氣球熱力學(xué)模型

根據(jù)熱力學(xué)方程，氣球內(nèi)部浮升氣體的體積及壓力都受到氣體溫度的影響。為了研究高空氣球形狀以及蒙皮應(yīng)力狀況，有必要針對(duì)高空氣球的熱特性進(jìn)行分析。高空氣球在升空過(guò)程中，外部受氣體對(duì)流、太陽(yáng)輻照、地面紅外輻射等多種環(huán)境熱流因素的影響，內(nèi)部受蒙皮內(nèi)表面間的輻射換熱、表面自然對(duì)流換熱等因素影響[22]，內(nèi)、外熱環(huán)境通過(guò)蒙皮進(jìn)行耦合換熱，引起氣球溫度場(chǎng)的瞬態(tài)非均勻變化。本文在分析平流層熱環(huán)境的基礎(chǔ)上，考慮高空氣球內(nèi)部浮升氣體溫度受多種輻射熱源以及表面對(duì)流等復(fù)雜因素影響[23]，建立了高空氣球的熱力學(xué)模型，研究了浮升氣體的熱性能。

圖1 高空氣球熱環(huán)境因素Fig.1 Thermal environment of the high altitude balloon

高空氣球的各個(gè)部分受到不均勻的太陽(yáng)輻射，將氣球蒙皮劃分成小網(wǎng)格，由N個(gè)灰體表面組成封閉系統(tǒng)，則蒙皮單元的穩(wěn)態(tài)平衡方程為：

qout,ab-qout,em+qin,ab-qin,em+qcv,ex+qcv,in=0

(1)

式中：qout,ab為蒙皮單元外表面吸收的輻射熱流，qout,em為蒙皮單元外表面發(fā)射的輻射熱流，qin,ab為蒙皮單元內(nèi)表面吸收的輻射熱流，qin,em為蒙皮單元內(nèi)表面發(fā)射的輻射熱流，qcv,ex為蒙皮單元外部對(duì)流，qcv,in為蒙皮單元內(nèi)部對(duì)流。

蒙皮單元外表面吸收的輻射熱流qout,ab=qs+qAlb+qAms+qIR,e。其中，太陽(yáng)直接輻射熱流qs為：

qs=αsτsEscosβ

(2)

式中：αs為蒙皮外表面對(duì)太陽(yáng)光的吸收率，τs為大氣對(duì)太陽(yáng)輻射的透射率，Es為太陽(yáng)常數(shù)，取值1358 W/m2[8]，β為蒙皮單元外法線(xiàn)與太陽(yáng)光線(xiàn)的夾角[24]。

大氣對(duì)太陽(yáng)輻射的透射率τs為：

τs=(e-0.65ν+e-0.95ν)/2

(3)

式中：ν為空氣質(zhì)量比。

反照輻射熱流qAlb為：

qAlb=σfρeIAlbsinθ

(4)

式中：σf為指示因子，白天取值為1，夜晚取值為0，ρe是地球反照率，IAlb為地面反射輻射強(qiáng)度，具體計(jì)算見(jiàn)文獻(xiàn)[25]，θ為光線(xiàn)與地平線(xiàn)的夾角。

大氣散射輻射熱流qAms為：

(5)

式中：α為太陽(yáng)高度角，φ為蒙皮面單元法向量與重力方向的夾角[25]。

地球紅外輻射熱流qIR,e為：

qIR,e=αexτairqeFw,e

(6)

式中：αex為蒙皮外表面紅外輻射吸收率，與蒙皮外表面的發(fā)射率相等，τair為空氣紅外透射率，qe為地球紅外輻射熱流，取值為220 W/m2[24]，F(xiàn)w,e為蒙皮表面對(duì)地球的角系數(shù)。

蒙皮單元外表面發(fā)射的輻射熱流qout,em為：

(7)

式中：εex為蒙皮外表面發(fā)射率，σ為波爾茨曼常數(shù)[25]，Tair為外界大氣溫度，εsky為天空發(fā)射率，具體計(jì)算見(jiàn)文獻(xiàn)[22]。

對(duì)于蒙皮內(nèi)表面單元i，其發(fā)射的輻射熱流qin,em為：

(8)

式中：εin為蒙皮內(nèi)表面發(fā)射率，Xi,j為微元面i對(duì)微元面j的角系數(shù)，見(jiàn)參考文獻(xiàn)[26]，qin-j,em為蒙皮內(nèi)表面單元j發(fā)射的輻射熱流。

蒙皮單元內(nèi)表面吸收的輻射熱流qin,ab為：

(9)

蒙皮單元外部對(duì)流qcv,ex為：

qcv,ex=hex(Tair-Tfilm)

(10)

蒙皮單元內(nèi)部對(duì)流qcv,in為：

qcv,in=hin(Tgas-Tfilm)

(11)

式中：hex為該蒙皮單元外表面與氣流的對(duì)流換熱系數(shù)，hin為該蒙皮單元內(nèi)表面與高空氣球內(nèi)部浮升氣體的自然對(duì)流換熱系數(shù)，Tgas為高空氣球內(nèi)部浮升氣體溫度。

蒙皮單元外表面與氣流的對(duì)流換熱系數(shù)hex為[24]：

(12)

式中：Re為雷諾數(shù)，Prair為空氣普朗特?cái)?shù)，λair為空氣導(dǎo)熱系數(shù)，L為高空氣球特征長(zhǎng)度。

蒙皮單元內(nèi)表面與高空氣球內(nèi)部浮升氣體的自然對(duì)流換熱系數(shù)hin為[25]:

hin=C(Gr·Prgas)nλgas/L

(13)

式中：C，n為常數(shù)[25]，Gr為格拉曉夫數(shù)，Prgas為浮升氣體普朗特?cái)?shù)，λgas為浮升氣體導(dǎo)熱系數(shù)。

(14)

式中：ρgas為浮升氣體密度，g為重力加速度，μgas為浮升氣體動(dòng)力黏度，R0為氣球半徑。

高空氣球內(nèi)部浮升氣體平均溫度Tgas的控制方程為：

(15)

式中：cgas是浮升氣體的比熱容，Mgas是浮升氣體的質(zhì)量，S為氣球整個(gè)表面，dA是高空氣球蒙皮單元面積。

1.2 氣球幾何外形

由于氣球囊體材料具有非線(xiàn)性、黏彈性、各向異性和不能抗壓等特點(diǎn)[27]，當(dāng)氣球部分填充浮升氣體時(shí)，氣球的底部形成復(fù)雜的非軸對(duì)稱(chēng)的褶皺部分，而對(duì)于氣球上部分，基本呈軸對(duì)稱(chēng)形式[14]。在之前的氣球研究中，自然形氣球研究普遍采用的優(yōu)化方案是基于以下假設(shè)[18]：(1)關(guān)于中心軸軸對(duì)稱(chēng)；(2)圓周應(yīng)力為零；(3)蒙皮材料不能伸長(zhǎng)。本文對(duì)于自然形氣球采取上述假設(shè)(1)和(3)，對(duì)于在沒(méi)有攜帶載荷情況下的軸對(duì)稱(chēng)氣球，它的幾何形狀可以看成一個(gè)半徑為R0，球心為C0的球體；而當(dāng)氣球在攜帶載荷的情況下，氣球趨于一個(gè)球-圓錐體，由球體與圓錐體相切組成[20]，如圖2所示。

圖2 氣球坐標(biāo)示意圖[23]Fig.2 Balloon coordinate diagram

可以將氣球的剖面曲線(xiàn)寫(xiě)為：

(16)

因此，在經(jīng)向方向材料約束方程寫(xiě)為：

(17)

(18)

同時(shí)還有幾何關(guān)系：

(19)

將氣球剖面曲線(xiàn)代入到材料的約束方程(17)、(18)，就能得出切點(diǎn)A的位置yA，xA，氣球質(zhì)心的位置xC，氣球的豎直方向的總長(zhǎng)度H，以及上半部分球的半徑a，從而得到氣球的體積為：

(20)

1.3 最小勢(shì)能法

最小勢(shì)能原理是指在所有可能的變形中，其實(shí)際存在的變形使得物體的總勢(shì)能取最小值[28]。氣球系統(tǒng)的總勢(shì)能由兩部分組成，一部分是氣球系統(tǒng)的重力勢(shì)能，另一部分是浮升氣體的壓力勢(shì)能。

通過(guò)簡(jiǎn)化模型，氣球系統(tǒng)的重力勢(shì)能由浮升氣體的質(zhì)量，氣球蒙皮的質(zhì)量以及攜帶載荷的質(zhì)量產(chǎn)生，表達(dá)式為：

E=-(Mgas+m0)gxC-mGgH

(21)

式中：m0為氣球蒙皮的質(zhì)量，mG為氣球攜帶載荷的質(zhì)量；xC為氣球系統(tǒng)的質(zhì)心的坐標(biāo)。

根據(jù)氣球系統(tǒng)的受力平衡，就能得到浮升氣體的質(zhì)量：

Mgas=Vρ-(m0+mG)

(22)

式中：ρ為外界大氣的密度。

浮升氣體的壓力勢(shì)能表達(dá)式為：

W=Δp·V·lnV

(23)

其中，Δp為球內(nèi)外的壓差，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，可以得到Δp為

(24)

式中：Rmix為浮升氣體常數(shù)，p2為氣球外部大氣壓強(qiáng)。

氣球系統(tǒng)的總勢(shì)能為：

Π=W+E=Δp·V·lnV-

((Mgas+m0)gxC+mGgH)

(25)

將氣球的幾何外形方程求得的參數(shù)代入到總勢(shì)能方程中，這樣式(25)就是關(guān)于參數(shù)c的表達(dá)式，通過(guò)求得總勢(shì)能的最小值，就能解得參數(shù)c，求得相應(yīng)的氣球剖面曲線(xiàn)，就能得到不同高度的氣球形狀。

1.4 蒙皮應(yīng)力

通過(guò)簡(jiǎn)化模型，不考慮氣球在上升過(guò)程中出現(xiàn)的褶皺、多余材料等造成氣球水平剖面半徑變化，氣球需要滿(mǎn)足材料在圓周方向的約束。應(yīng)力分布情況如圖3所示。

圖3 氣球應(yīng)力示意圖Fig.3 Balloon stress schematic

因此，經(jīng)向應(yīng)力N1的平衡方程為：

2πr3N1sinφ=Δpπy2+G

(26)

2πr3是氣球在沒(méi)有承受載荷時(shí)水平剖面周長(zhǎng)，G為氣球豎直方向的重力。簡(jiǎn)化方程(26)，得到：

(27)

同理，分析氣球豎直剖面，氣球的緯向應(yīng)力N2為：

(28)

故經(jīng)向應(yīng)力N1、緯向應(yīng)力N2為關(guān)于y，r3和φ的表達(dá)式，y和r3的關(guān)系由材料的經(jīng)向約束方程(17)、(18)得到，因此，只要求得氣球的形狀就能得到氣球的經(jīng)向應(yīng)力和緯向應(yīng)力。

2 算例結(jié)果與分析

2.1 計(jì)算實(shí)例

由上述所建立的模型，編寫(xiě)高空氣球上升過(guò)程的數(shù)值仿真程序，整個(gè)仿真程序的結(jié)構(gòu)如圖4所示。本文所用的高空氣球規(guī)格參數(shù)，基本參數(shù)見(jiàn)表1[20]。

圖4 仿真程序結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Simulation program structure

表1 氣球系統(tǒng)參數(shù)[20]
Table 1 Balloon system parameters

參數(shù)值氣球初始半徑R0/m17.5氦氣氣體常數(shù)Rmix/(J·kg-1·K-1)1511.4載荷重量G/N10520氣球蒙皮重量m0g/N4618 氣球蒙皮厚度/mm0.12 蒙皮面密度/(g·m-2)120

2.2 仿真結(jié)果

2.2.1模型校驗(yàn)

為了校驗(yàn)以上提出的高空氣球熱力學(xué)模型，將仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[25]中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，采用文獻(xiàn)[25]中的超壓氣球物性參數(shù)，分析氣球在抵達(dá)31.5 km左右高度時(shí)的內(nèi)部浮升氣體溫度變化，可以得到圖5。上午6時(shí)之前氦氣溫度維持在240 K左右，隨后開(kāi)始上升，中午12時(shí)達(dá)到最大，隨即下降，該模型計(jì)算結(jié)果與對(duì)比值最大相差0.5 %，與文獻(xiàn)[25]中結(jié)果吻合較好。

圖5 不同時(shí)刻氦氣平均溫度Fig.5 Average temperature of the helium at different times

選用Wen等[14]所設(shè)計(jì)的氣球的參數(shù)，利用最小勢(shì)能法和文獻(xiàn)中所計(jì)算的應(yīng)力情況進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證簡(jiǎn)化幾何模型下的最小勢(shì)能法結(jié)果的準(zhǔn)確性。

表2 氣球參數(shù)[14]Table 2 Balloon parameters

圖6展示了利用表2氣球參數(shù)經(jīng)過(guò)最小勢(shì)能法計(jì)算氣球的應(yīng)力情況與文獻(xiàn)[14]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，文獻(xiàn)[14]選取浮力系數(shù)為0.06，利用最小勢(shì)能法得到的氣球經(jīng)向應(yīng)力N1可以吻合文獻(xiàn)[14]的計(jì)算結(jié)果。

圖6 蒙皮應(yīng)力對(duì)比圖Fig.6 Comparison of film stress

2.2.2上升過(guò)程氣球形狀及應(yīng)力

將氣球參數(shù)代入到氣球熱力學(xué)模型中，可得到氣球在上升過(guò)程中不同高度的內(nèi)部氦氣溫度Tgas，再將氣球系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)代入到氣球總勢(shì)能表達(dá)式(25)中，通過(guò)求氣球總勢(shì)能的最小值，得到氣球上升過(guò)程中不同的c值，確定氣球上升過(guò)程中的形狀及應(yīng)力。圖7是氣球在上升過(guò)程中的形狀，隨著高度的增加，c值逐漸增大，氣球下部分的圓錐體的母線(xiàn)越來(lái)越平緩，氣球由開(kāi)始的水滴形逐漸變化成球形。

圖7 不同高度氣球形狀圖Fig.7 The balloon shape at different height

圖8是上升過(guò)程中蒙皮的經(jīng)向應(yīng)力N1的變化曲線(xiàn)。圖9是上升過(guò)程中蒙皮的緯向應(yīng)力N2的變化曲線(xiàn)。經(jīng)向應(yīng)力N1比緯向應(yīng)力N2的數(shù)量級(jí)大，因此，很多自然形氣球的應(yīng)力分析時(shí)忽略緯向應(yīng)力。經(jīng)向應(yīng)力N1呈現(xiàn)“馬鞍”形，氣球的頂部和氣球的底部經(jīng)向應(yīng)力與氣球中間部分的經(jīng)向應(yīng)力相差很大，在現(xiàn)在的氣球設(shè)計(jì)過(guò)程中，氣球頂部和氣球底部都加多層蒙皮材料來(lái)承受氣球的經(jīng)向應(yīng)力；氣球的緯向應(yīng)力N2與經(jīng)向應(yīng)力N1分布不同，氣球的緯向應(yīng)力N2的極值在氣球的半徑最大處，并且數(shù)值很小，在上升過(guò)程中隨高度的增加，緯向應(yīng)力N2逐漸減小。

圖8 上升過(guò)程氣球經(jīng)向應(yīng)力圖Fig.8 Balloon meridional direction stress curves duringthe ascent

圖9 上升過(guò)程氣球緯向應(yīng)力圖Fig.9 Balloon circumferential direction stress curvesduring the ascent

2.2.3不同充氣量的氣球形狀及應(yīng)力分布

選取氣球在03:00時(shí)的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)計(jì)算氣球在不同充氣量下氣球形狀和經(jīng)向應(yīng)力N1的分布情況，氣球的充氣量由氣球所攜帶的載荷決定，本文選取相差200 kg的5個(gè)載荷量，為252～1052 kg之間，分析在20 km漂浮下氣球的形狀及經(jīng)向應(yīng)力N1分布情況，如圖10、圖11所示。

圖10是氣球在不同充氣量下20 km氣球的形狀，隨著氣球攜帶載荷量的增加，氣球上半部分圓球體的半徑a變大，而氣球整個(gè)豎直長(zhǎng)度H變小，而出現(xiàn)變化的位置位于圓球體與圓錐體相切點(diǎn)，攜帶載荷量大的氣球下部分的圓錐母線(xiàn)斜率較小，導(dǎo)致氣球豎直長(zhǎng)度H變小，攜帶載荷量小的氣球下部分的圓錐母線(xiàn)斜率較大，導(dǎo)致氣球豎直長(zhǎng)度H變大。

圖11是氣球在不同充氣量下20 km的經(jīng)向應(yīng)力N1分布情況，在不同的充氣量下，經(jīng)向應(yīng)力N1服從“馬鞍”形分布，在氣球的頂部和氣球的底部較大，氣球中間部分?jǐn)?shù)值較小，在本文選取的充氣量中，氣球的頂部部分應(yīng)力大小基本相同，而區(qū)別出現(xiàn)在氣球的底部，氣球的經(jīng)向應(yīng)力N1急劇上升到最大，且底部的最大值與氣球攜帶的載荷量的大小有關(guān)，載荷越大，氣球底部的應(yīng)力值越大，氣球膨脹得越厲害，氣球容易破裂。

圖10 不同載荷量下氣球形狀圖(20 km)Fig.10 Balloon shape under different load (20 km)

圖11 不同載荷量下氣球經(jīng)向應(yīng)力圖(20 km)Fig.11 Balloon meridional direction stress curves underdifferent load (20 km)

2.2.4不同時(shí)刻的氣球形狀及應(yīng)力分布

選取氣球攜載1052 kg在不同的時(shí)刻下計(jì)算氣球在20 km的形狀及應(yīng)力分布，在不同的時(shí)刻下根據(jù)熱力學(xué)模型計(jì)算得到球內(nèi)外溫差，球內(nèi)外溫差的不同導(dǎo)致球內(nèi)外壓差的不同，壓差使得氣球的形狀及應(yīng)力分布規(guī)律不同。

圖12是不同時(shí)刻下20 km氣球形狀圖，在20 km高度時(shí)，氣球內(nèi)外溫差受太陽(yáng)輻射影響隨時(shí)刻變化，氣球形狀也隨溫差發(fā)生變化，溫差越小，氣球越圓，呈球形；圖13是不同時(shí)刻下20 km氣球經(jīng)向應(yīng)力N1分布情況，在20 km不同時(shí)刻下，氣球頂部和中部經(jīng)向應(yīng)力N1大致重合，在氣球的底部經(jīng)向應(yīng)力N1出現(xiàn)不同。

圖12 不同時(shí)刻下氣球形狀圖(20 km)Fig.12 Balloon shape at different times(20 km)

圖13 不同時(shí)刻下氣球經(jīng)向應(yīng)力圖(20 km)Fig.13 Balloon meridional direction stress curves atdifferent times(20 km)

3 結(jié) 論

本文建立了自然形高空氣球的熱力學(xué)模型和幾何模型，采用最小勢(shì)能法對(duì)自然形高空氣球上升過(guò)程的形狀和應(yīng)力進(jìn)行仿真研究，還比較了不同充氣量、不同時(shí)刻下氣球形狀及應(yīng)力分布情況，得出相關(guān)結(jié)論，為氣球設(shè)計(jì)及工程應(yīng)用中初步判斷氣球的形狀及應(yīng)力情況提供了一種較為有效的計(jì)算方法。

1)自然形高空氣球在上升過(guò)程中由于外界環(huán)境的變化導(dǎo)致氣球內(nèi)外壓差的變化，氣球的體積不斷變大，氣球的豎直長(zhǎng)度逐漸減小，氣球的形狀也逐漸變成“圓球”形；氣球的經(jīng)向應(yīng)力不斷增大，緯向應(yīng)力逐漸減小。

2)自然形氣球的經(jīng)向應(yīng)力分布呈“馬鞍”形，極值分布在氣球頂部和氣球底部，并且數(shù)量級(jí)較大；而緯向應(yīng)力極值分布在氣球半徑最大處，數(shù)值較小，因此緯向應(yīng)力對(duì)自然形高空氣球的影響較小，可以忽略。 3)不同充氣量下，在氣球的頂部和氣球的底部較大，氣球中間部分?jǐn)?shù)值較小，而區(qū)別出現(xiàn)在氣球的底部，載荷越大，氣球底部的極值越大，氣球容易破裂；而不同時(shí)刻工況下，氣球在20 km處形狀及應(yīng)力受不同時(shí)刻的影響較小。