滕旭

[摘? 要] 四面體體積計(jì)算是研究四面體的基本問(wèn)題，文章基于分割法推導(dǎo)出了四面體的一個(gè)新的體積公式，并由推出的體積公式推導(dǎo)出了傳統(tǒng)體積公式及三面角的特征值.

[關(guān)鍵詞] 四面體;分割法;體積公式

■四面體中的元素及其表示

四面體為空間圖形（如圖1所示），因此其元素的形式比三角形的元素復(fù)雜得多，研究四面體的體積須明確其元素及表示.

1. 角

四面體中的角包括空間角和平面角，空間角包括三面角、二面角及棱面角三種，平面角指的是每個(gè)面（三角形）的內(nèi)角，只有一種.

（1）三面角

四面體中的一個(gè)頂點(diǎn)及由該頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱構(gòu)成其一個(gè)三面角，四面體中共四個(gè)三面角，記作：A-BCD，B-ACD等.

（2）二面角

四面體中的一條棱及由該棱出發(fā)的兩個(gè)面構(gòu)成其一個(gè)二面角，四面體中共四個(gè)二面角，記作：A-BC-D，B-AC-D等.

（3）棱面角

四面體中的一條棱及與該棱相交的面構(gòu)成棱面角，四面體中共八個(gè)棱面角，記作：AB-ACD，AB-BCD等.

（4）平面角

四面體中的面（三角形）的內(nèi)角稱為四面體的平面角，四面體共十二個(gè)平面角，記作：∠ABC，∠ACD等.

2. 棱

四面體中共十二條棱記作：AB，AC等.

3. 面

四面體中四個(gè)面記作：△ABC，△ABD等.

■分割法

1. 分割法求四面體體積的一般方法[1-5]

文獻(xiàn)[1-5]在推導(dǎo)四面體的體積時(shí)均采用將四面體從平行六面體中分割出來(lái)進(jìn)行計(jì)算，而計(jì)算平行六面體的體積則采用向量的混合積.

2. 分割法求四面體體積的新的方法

（1）已知二面角棱長(zhǎng)及兩個(gè)面的面積求體積

在四面體ABCD中，已知二面角A-BC-D，棱BC及兩個(gè)面△ABC，△BCD的面積d，a. △ABC在BC邊上的高為■為定值，所以A點(diǎn)在過(guò)A點(diǎn)BC的平行線上，同理D點(diǎn)在過(guò)D點(diǎn)BC的平行線上，現(xiàn)以三條平行線為側(cè)棱，BC為高構(gòu)造直三棱柱，如圖2所示.

三棱柱的體積為：V=S·h=■·■·■sinA-BC-D·BC=2■sinA-BC-D，

所以四面體的體積為V■=■V=■·■sinA-BC-D.

■其他計(jì)算四面體體積的公式

1. 已知三面角及三條棱棱長(zhǎng)求體積

在四面體ABCD中，已知三面角A-BCD，棱AC，AB，AD.

由2.2.1知：四面體的體積為V■=■·■sinC-AB-D，其中c=S△ABD=■·AB·AD·sin∠BAD，d=S△ABC=■·AB·AC·sin∠BAC，所以V■=■·■·■sinC-AB-D=■AB·AC·AD·sin∠BADsin∠BAC·sinC-AB-D;

同理：V■=■AB·AC·AD·sin∠BAC·sin∠CADsinB-AC-D=■AB·AC·AD·sin∠BADsin∠CADsinB-AD-C.

根據(jù)上述三個(gè)體積公式可知，對(duì)三面角A-BCD總有：

T■（A-BCD）=sin∠BACsin∠CAD·sinB-AC-D=sin∠BADsin∠CADsinB-AD-C？搖=sin∠BACsin∠BADsinC-AB-D？圯T■（A-BCD）=sin∠BACsinB-AC-DsinC-AB-D=sin∠BADsinB-AD-CsinC-AB-D=sin∠CADsinB-AD-CsinB-AC-D

分別稱T■（A-BCD），T■（A-BCD）為三面角A-BCD的特征值1和特征值2[6-7].

2. 已知棱面角及三條棱棱長(zhǎng)求體積

在四面體ABCD中，已知棱面角AB-ACD，棱AC，AB，AD.

設(shè)四面體在面ACD上的高為H，則H=AB·sinAB-BCD，

所以，四面體的體積為V■=■·S△ACD·H=■·■·AC·AD·sin∠CAD·（AB·sinAB-ACD）？搖=■AC·AD·AB·sin∠CADsinAB-ACD

同理：

V■=■AC·AD·ABsin∠BAC·sinAD-ABC？搖=■AC·AD·ABsin∠BAD·sinAC-ABD

根據(jù)上述三個(gè)體積公式可知，對(duì)三面角A-BCD總有：

T■（A-BCD）=sin∠BACsinAD-ABC=sin∠BADsinAC-ABD？搖=sin∠CADsinAB-ACD

3. 已知六條棱棱長(zhǎng)求體積

除了上述已知角和棱長(zhǎng)求四面體的體積，還可以通過(guò)六條棱長(zhǎng)l■，l■，l■，l■，l■，l■求體積■.

若l■，l■，l■為同一面上的三條棱且其對(duì)棱分別是l■，l■，l■，則四面體體積為：

V■=■■

其中：

M■=l■l■（l■+l■+l■+l■-l■-l■）

M■=l■l■（l■+l■+l■+l■-l■-l■）

M■=l■l■（l■+l■+l■+l■-l■-l■）

M=l■l■l■+l■l■l■+l■l■l■+l■l■l■

■總結(jié)

四面體體積公式多采用向量的混合積的幾何意義進(jìn)行推導(dǎo)，運(yùn)算比較復(fù)雜，本文通過(guò)三棱柱分割法簡(jiǎn)化了四面體體積公式的推導(dǎo)，并對(duì)四面體體積計(jì)算的方法進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié).

參考文獻(xiàn)：

[1]? 楊世國(guó).向量在幾何中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006，36（9）.

[2]? 陶興模. 四面體的一個(gè)體積公式及應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊：中學(xué)生版高三卷， 2000（1）.

[3]? 蔡樹(shù)松. 四面體的一個(gè)體積公式及其應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2002（6）.

[4]? 胡仕華.四面體的一個(gè)體積公式[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2004（3）.

[5]? 四面體的一個(gè)體積定理的證明和應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)通訊，1996（3）.

[6]? 王永洪. 四面體的正余弦公式及體積公式[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2010（1）.

[7]? 劉毅. 四面體的另一種空間角的正弦定理[J]. 數(shù)學(xué)通訊，1997（7）.

[8]? 戴翔天. 已知四面體的條棱長(zhǎng)求體積公式[J]. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），1992（11）.