林徐勱 黃興豐

摘要：比較中英數(shù)學(xué)解題教學(xué)的特點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，中國(guó)注重變式教學(xué)，英國(guó)注重“多學(xué)少教”。實(shí)踐表明，變式教學(xué)有助于學(xué)生掌握解題方法，“多學(xué)少教”能夠提升學(xué)生解題的靈活性、創(chuàng)造性。因此，以中國(guó)的變式教學(xué)為“腳手架”，融合英國(guó)的“多學(xué)少教”方法，可以得到一種很好的數(shù)學(xué)解題教學(xué)模式。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題教學(xué)中英比較多學(xué)少教變式教學(xué)

一、英國(guó)的一則課例

筆者在隨同上海數(shù)學(xué)教師團(tuán)隊(duì)赴英國(guó)訪問(wèn)期間，在倫敦一所女子中學(xué)相當(dāng)于國(guó)內(nèi)初二年級(jí)的一個(gè)學(xué)生水平較高的班級(jí)（英國(guó)中學(xué)實(shí)施的是分層走班教學(xué)），聽了一堂統(tǒng)計(jì)圖表課。課始，教師出示了這樣一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題：

學(xué)校開設(shè)3門復(fù)習(xí)課，分別為法語(yǔ)、數(shù)學(xué)和自然。每位學(xué)生報(bào)1門復(fù)習(xí)課。第一周，學(xué)生的上課分布情況如圖1。第二周，在原來(lái)基礎(chǔ)上，又來(lái)了2位學(xué)生，都去了法語(yǔ)復(fù)習(xí)課，所有學(xué)生的上課分布情況如圖2。共有多少位學(xué)生參加了數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課？

布置了這個(gè)問(wèn)題之后，教師就開始了統(tǒng)計(jì)圖表的教學(xué)，完全不管這個(gè)問(wèn)題。直到課堂的最后幾分鐘，教師才回到這個(gè)問(wèn)題，詢問(wèn)有沒有學(xué)生想到解決的方法了。一位學(xué)生展示了自己用比例的方法解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程：原來(lái)的人數(shù)比是法語(yǔ)∶自然∶數(shù)學(xué)=60∶140∶160=3∶7∶8，現(xiàn)在的人數(shù)比是法語(yǔ)∶自然∶數(shù)學(xué)=90∶126∶144=5∶7∶8，故8位學(xué)生參加了數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課。

筆者沒想到學(xué)生能想到如此新穎巧妙的解題方法，進(jìn)而對(duì)教師拋出問(wèn)題后讓學(xué)生自主探究而不加任何引導(dǎo)的教學(xué)方式產(chǎn)生了極大的好奇。課后，筆者詢問(wèn)上課教師這樣教學(xué)的意圖是什么。

對(duì)方告訴我們：班級(jí)內(nèi)有些學(xué)生具有濃厚的數(shù)學(xué)興趣以及較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力，對(duì)于這節(jié)課的內(nèi)容，可能不需要多少時(shí)間就可以掌握，因此，她在課始提出上述問(wèn)題，希望這些學(xué)生在掌握了本節(jié)課基本的學(xué)習(xí)內(nèi)容之余能夠展開思考探究;至于不加任何引導(dǎo)，只是在課尾讓學(xué)生展示解題過(guò)程，則是英國(guó)課堂解題教學(xué)常見的方式，背后的理念是希望學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考和合作交流，自己找到解決問(wèn)題的方法，從而充分體驗(yàn)“問(wèn)題解決”的過(guò)程，學(xué)會(huì)“像數(shù)學(xué)家一樣（無(wú)人指導(dǎo)地）思考”。

二、中國(guó)式“再設(shè)計(jì)”

對(duì)于上述問(wèn)題的教學(xué)，中國(guó)的數(shù)學(xué)教師大多會(huì)這樣設(shè)計(jì)：

考慮到上述問(wèn)題主要涉及扇形圓心角與統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的關(guān)系等知識(shí)，難點(diǎn)在找到總?cè)藬?shù)或參加某門課的人數(shù)，要突破這個(gè)難點(diǎn)，需要找到等量關(guān)系列方程或算式，其方法比較多，教師可先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)扇形統(tǒng)計(jì)圖相關(guān)的知識(shí)，再給出上述問(wèn)題作為例題，然后通過(guò)師生問(wèn)答的互動(dòng)形式，引導(dǎo)學(xué)生分析題目，得到不同的解法。

此后，教師可基于上述問(wèn)題（稱為“原題”），改變數(shù)據(jù)（由“法語(yǔ)課+2”變?yōu)椤皵?shù)學(xué)課-6”），在不增加難度的情況下得到變式1;再增加變量（由“法語(yǔ)課+2”變?yōu)椤胺ㄕZ(yǔ)課+1”“數(shù)學(xué)課+1”），在增加難度的情況下得到變式2。

變式1學(xué)校開設(shè)3門復(fù)習(xí)課，分別為法語(yǔ)、數(shù)學(xué)和自然。每位學(xué)生報(bào)1門復(fù)習(xí)課。第一周，學(xué)生的上課分布情況如圖1。第二周，在原來(lái)基礎(chǔ)上，6位上數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的學(xué)生因?yàn)槌煽?jī)進(jìn)步不上了，所有學(xué)生的上課分布情況如圖3。共有多少位學(xué)生參加了法語(yǔ)復(fù)習(xí)課？

變式2學(xué)校開設(shè)3門復(fù)習(xí)課，分別為法語(yǔ)、數(shù)學(xué)和自然。每位學(xué)生報(bào)1門復(fù)習(xí)課。第一周，學(xué)生的上課分布情況如圖1。第二周，在原來(lái)基礎(chǔ)上，又來(lái)了2位學(xué)生，一個(gè)去了法語(yǔ)復(fù)習(xí)課，另一個(gè)去了數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，所有學(xué)生的上課分布情況如圖4。共有多少位學(xué)生參加了自然復(fù)習(xí)課？

教學(xué)中，教師可先給出變式1作為練習(xí)，要求學(xué)生嘗試解決，等到較多的學(xué)生得到正確答案后，組織學(xué)生講解，酌情補(bǔ)充;再給出變式2作為練習(xí)，要求學(xué)生嘗試解決，等到大多數(shù)學(xué)生得到正確答案后，組織學(xué)生分享。

三、中英兩種教學(xué)方法的比較與融合

對(duì)于數(shù)學(xué)解題教學(xué)，英國(guó)教師在課堂上常常在課始拋給學(xué)生一道具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，讓學(xué)生獨(dú)立思考或合作交流來(lái)解決，不給學(xué)生任何啟發(fā)和引導(dǎo)，而在課尾讓得到答案的學(xué)生展示講解自己的解題過(guò)程，不做任何評(píng)價(jià)。

與此形成鮮明對(duì)比的是，中國(guó)教師在課堂上常常（尤其在學(xué)生遇到困難時(shí)）給學(xué)生很多啟發(fā)和引導(dǎo)，幫助學(xué)生順利解決問(wèn)題，然后設(shè)計(jì)相關(guān)變式問(wèn)題，促使學(xué)生遷移運(yùn)用、反饋評(píng)價(jià)，幫助學(xué)生鞏固提高（熟而生巧）。

比較兩種教學(xué)方法，不難發(fā)現(xiàn)：

英國(guó)的教法突出了學(xué)生的主體地位，可能有益于發(fā)展學(xué)生的自主探究能力，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣——J.S.Joseph指出，教師適當(dāng)減少引導(dǎo)對(duì)學(xué)生的問(wèn)題解決能力有正面的影響;又有一部分研究指出，教師應(yīng)該讓學(xué)生獨(dú)立找到問(wèn)題解決的方法并學(xué)會(huì)自己判斷對(duì)錯(cuò)。但是，我們以為，這樣的教學(xué)方法可能更適合“學(xué)優(yōu)生”，而不利于“中等生”和“學(xué)困生”掌握解題方法，因而課堂效率相對(duì)較低——有時(shí)甚至花了整整一節(jié)課時(shí)間，還是沒有學(xué)生真正解決問(wèn)題。

而中國(guó)的教法通常突出了教師的主導(dǎo)作用，關(guān)注了全體學(xué)生，能夠讓大部分學(xué)生掌握解題方法，從而保證了學(xué)生的平均水平以及課堂的整體效率。同時(shí)，發(fā)揮了變式的作用，給學(xué)生提供了更多的學(xué)習(xí)空間——顧泠沅等人認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動(dòng)中的過(guò)程性變式訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生構(gòu)建問(wèn)題解決的方法，積累問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn)，并從中總結(jié)出方法（經(jīng)驗(yàn)）的多樣性;變異理論甚至認(rèn)為，學(xué)習(xí)源于變異。但是，這樣的教學(xué)方法可能會(huì)使學(xué)生缺少自主探究的時(shí)間，缺乏個(gè)性化學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，從而在主動(dòng)性和創(chuàng)造性的發(fā)揮上有所欠缺。

由此，我們產(chǎn)生思考：能否將兩種教學(xué)方法融合起來(lái)，發(fā)揮各自的優(yōu)點(diǎn)，克服各自的缺點(diǎn)呢？于是，我們嘗試將英國(guó)的“學(xué)生多學(xué)，教師少教”融入中國(guó)的變式教學(xué)，得到新的教學(xué)方法。

還是對(duì)于上述問(wèn)題的教學(xué)，采用融合的教學(xué)方法，可以這樣設(shè)計(jì)：

首先，教師直接給出原題，讓學(xué)生獨(dú)立思考或合作交流來(lái)解決，一段時(shí)間后讓得到答案的學(xué)生展示講解不同的解題方法。

其次，教師給出變式1，讓學(xué)生獨(dú)立思考或合作交流來(lái)解決，一段時(shí)間（應(yīng)短些）后讓得到答案的學(xué)生展示講解不同的解題方法。

最后，教師給出變式2，考慮到課堂時(shí)間限制和學(xué)生學(xué)習(xí)情況，可讓學(xué)生獨(dú)立思考，一段時(shí)間（應(yīng)更短些）后讓得到答案的學(xué)生展示不同的解題方法。

四、教學(xué)效果的檢驗(yàn)及啟示

得到了三種教學(xué)方法后，我們嘗試通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，檢驗(yàn)它們的教學(xué)效果。

考慮到英國(guó)教法已經(jīng)在一定程度上做了課堂教學(xué)實(shí)踐，我們?cè)谏虾Ｒ凰踔衅吣昙?jí)的兩個(gè)平行班級(jí)，依據(jù)上述教學(xué)設(shè)計(jì)，分別對(duì)中國(guó)教法和融合教法進(jìn)行課堂教學(xué)實(shí)踐，得到學(xué)生解題的正確率、時(shí)間和方法數(shù)，數(shù)據(jù)如表1所示。

教法原題46.42%17.14%51534變式182.14%57.14%51024變式289.29%77.14%2514其中，采用中國(guó)教法的課堂上，學(xué)生解題的方法由以下的方法1、方法2、方法3三種最終統(tǒng)一為方法3一種;而采用融合教法的課堂上，學(xué)生解題的方法始終保持為以下四種。

方法1設(shè)第一周共有x位學(xué)生，則有方程x+24-x6=2，解得x=18，所以參加數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有160360×18=8（人）?；蛟O(shè)第二周共有x位學(xué)生，則有方程x4-x-26=2，解得x=20，所以參加數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有144360×20=8（人）。

方法2設(shè)參加數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有x位學(xué)生，則有方程360144x-360160x=2，解得x=8。

方法3原來(lái)，法語(yǔ)∶自然∶數(shù)學(xué)=60∶140∶160=3∶7∶8，故設(shè)原來(lái)參加法語(yǔ)、自然、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的分別有3x、7x、8x位學(xué)生，則根據(jù)現(xiàn)在的比例，有方程3x+23x+2+7x+8x=90360，解得x=1，所以參加數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有8人。

方法4原來(lái)，法語(yǔ)∶自然∶數(shù)學(xué)=60∶140∶160=3∶7∶8，現(xiàn)在，法語(yǔ)∶自然∶數(shù)學(xué)=90∶126∶144=5∶7∶8。5-3=2，故參加數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有8人。

這里，方法1是間接設(shè)元列方程，方程很簡(jiǎn)單，很容易想到，最容易理解;方法2是直接設(shè)元列方程，方程稍復(fù)雜，很容易想到，較容易理解;而方法3是利用連比設(shè)元列方程，較難想到，也較難圖5

理解;方法4是利用連比直接看出答案，含有方程思想，就是英國(guó)課堂上學(xué)生想到的方法，最難想到，也最難理解。

于是，比較上述教學(xué)效果，可以得到如下教學(xué)啟示：

第一，變式教學(xué)有助于學(xué)生掌握解題方法。采用融合教法和中國(guó)教法的課堂上，隨著變式教學(xué)的展開，學(xué)生解題的正確率都在增加，最終都超過(guò)了四分之三;時(shí)間都在減少，最終都比較熟練。反觀采用英國(guó)教法的課堂，由于缺少變式教學(xué)，即使是讓學(xué)生合作交流，學(xué)生解題的正確率也不會(huì)很高，時(shí)間也不會(huì)很短?？梢?，學(xué)生可以在有經(jīng)驗(yàn)的問(wèn)題上表現(xiàn)得比之前更好，變式練習(xí)構(gòu)建了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“腳手架”，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)特定問(wèn)題的理解與解決能力。此外，有關(guān)數(shù)據(jù)還表明，隨著變式教學(xué)的展開，對(duì)于解題方法的掌握，“少學(xué)多教”只是短期效果較好，而“多學(xué)少教”的長(zhǎng)期效果并不差。

第二，“多學(xué)少教”能夠提升學(xué)生解題的靈活性、創(chuàng)造性。采用融合教法的課堂上，學(xué)生解題的方法一直較多;而采用英國(guó)教法的課堂上，即使只讓學(xué)生獨(dú)立思考，學(xué)生也想到了最難想到的方法。反觀采用中國(guó)教法的課堂，由于實(shí)施“少學(xué)多教”，學(xué)生解題的方法則趨向單一、常規(guī)?？梢?，“多學(xué)少教”鼓勵(lì)了學(xué)生的創(chuàng)新，促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)散。此外，有關(guān)數(shù)據(jù)還表明，實(shí)施“多學(xué)少教”時(shí)，對(duì)于解題的靈活性、創(chuàng)造性，變式與不變式的差異不大。

綜上，以中國(guó)的變式教學(xué)為“腳手架”，融合英國(guó)的“多學(xué)少教”方法，可以得到一種很好的數(shù)學(xué)解題教學(xué)模式。這一教學(xué)模式可以用如圖5所示的流程圖來(lái)概括。

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