楊博文，馬王杰慧，劉彥磊，劉玉芳

(河南師范大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

1 引 言

雙向反射分布函數(shù)(Bidirectional Reflectance Distribution Function，BRDF)是表征目標(biāo)表面空間光學(xué)反射特性的物理量，能夠有效描述目標(biāo)表面的光學(xué)反射特性[1-2]。BRDF在目標(biāo)光散射計算、雜光分析、計算機圖像處理、地物遙感、目標(biāo)識別和材料的光學(xué)性能研究等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[3-7]。因此，近幾十年來關(guān)于BRDF的研究工作從未間斷過，這些工作主要集中在BRDF測量裝置的研制[6,8-12]、材料BRDF的測量、BRDF模型的建立和BRDF的應(yīng)用等方面[13-15]。準(zhǔn)確描述目標(biāo)表面的視覺特性是BRDF的重要應(yīng)用之一。眾所周知，目標(biāo)的顏色與光在介質(zhì)中的吸收和散射特性有關(guān)，光澤則與光的反射方向和強度有關(guān)[16]，光譜BRDF能夠很好地描述目標(biāo)的視覺特性，對工藝品視覺效果方面的設(shè)計具有重要意義。

紫銅是一種常見的金屬材料，由于其具有良好的導(dǎo)電性能被廣泛應(yīng)用于電氣工業(yè)。紫銅具有暗紅的金屬光澤，不僅能夠呈現(xiàn)出現(xiàn)代感，還能體現(xiàn)出沉穩(wěn)、高貴的品質(zhì)，是銅飾中應(yīng)用最廣泛的材料。測量紫銅表面的光譜BRDF能夠提供紫銅的光學(xué)反射特性，為紫銅工藝品加工設(shè)計提供準(zhǔn)確的視覺特性，有助于降低加工成本和優(yōu)化設(shè)計效果。

關(guān)于銅表面BRDF的測量研究很少見到報道，戴景民等[17]測量了25～500 ℃的溫度范圍內(nèi)銅表面的BRDF，分析了溫度對測量結(jié)果的影響。結(jié)果表明：溫度對銅表面BRDF的測量結(jié)果有明顯的影響。然而，他們測量中采用632.8 nm的He-Ne激光器作為光源，主要研究單波長下溫度對測量結(jié)果的影響，不能夠體現(xiàn)銅表面的光譜反射特性。

本文的主要工作是基于自行研制的BRDF測量裝置測量了可見光波段紫銅表面的面內(nèi)光譜BRDF，并對影響測量結(jié)果的因素做了分析。論文的結(jié)構(gòu)如下：第二部分主要介紹本文所采用的BRDF測量方法與測量裝置，第三部分介紹樣品加工、測試和實驗過程；第四部分給出測量結(jié)果與討論；第五部分給出基于Gauss和Lorentz分布的擬合結(jié)果與分析；最后對全文工作進行了總結(jié)。

2 測量原理與裝置

2.1 BRDF測量原理

BRDF的定義最早由Nicodemus給出[1]，其將雙向反射分布函數(shù)fr定義為光輻射的反射輻亮度dLr與入射輻照度dEi的比值，即：

fr(θi,φi,θr,φr,λ)=

(1)

式中，θ和φ分別表示天頂角和方位角，下標(biāo)i和r分別表示入射和反射，λ為波長。BRDF的物理含義是：來自入射方向的表面輻照度的微增量與其所引起的反射方向上反射輻射亮度增量之間的比值。BRDF定義的幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 雙向反射分布函數(shù)幾何關(guān)系圖 Fig.1 Geometric relationship diagram of incident and reflected beams for BRDF

BRDF的測量方法有絕對測量和相對測量兩種。相對測量方法可以減小系統(tǒng)誤差，對雜散光也能起到較好的抑制作用。與絕對測量相比，相對測量對設(shè)備精度的要求較低，能夠節(jié)約測量成本。但是，相對測量方法的缺點也比較明顯，即必須依賴標(biāo)準(zhǔn)參考試樣。首先，目前尚未見到在所有波長和所有環(huán)境中均適用的標(biāo)準(zhǔn)參考試樣。其次，并不是所有研究單位都具備精密測量標(biāo)準(zhǔn)參考試樣的條件，而計量部門提供的往往只是典型的入射和接收幾何條件下的數(shù)據(jù)，與實際測量中的幾何條件不一定一致。因此，本文采用絕對測量方法測量紫銅表面的BRDF。

本文采用的BRDF絕對測量方法在文獻(xiàn)[18]中有詳細(xì)介紹，這里僅給出測量表達(dá)式：

fr(θi,φi,θr,φr,λ)=

(2)

對于均勻性、穩(wěn)定性和準(zhǔn)直性較好的光源，Lo(0,0,0,0,λ)是與波長有關(guān)的函數(shù)，完全由光源決定，可以在安放樣品前對光源進行測量得到。對于固定的測量裝置，探測立體角Ωr是常數(shù)，可以根據(jù)探測器的探測孔徑和探測距離計算得到；角度因子cosθi由入射天頂角得到。根據(jù)測量原理知，只需測量反射輻亮度Lr(θi,φi,θr,φr,λ)即可得到待測目標(biāo)的BRDF。

2.2 測量裝置

本文的測量所用裝置為一套自主設(shè)計的典型傳統(tǒng)BRDF測量裝置，其通過樣品、探測器和光源的配合轉(zhuǎn)動實現(xiàn)不同入射和反射角度下BRDF的測量。測量裝置采用氙燈(GLORIA-X500A)作為光源，能夠提供入射光的波長范圍為300～2 500 nm；采用光柵光譜儀作為探測系統(tǒng)，可探測波長范圍為250～2 500nm，光譜分辨率為0.4 nm。轉(zhuǎn)角裝置主要包括兩個轉(zhuǎn)臺和兩個轉(zhuǎn)臂，通過它們之間的配合轉(zhuǎn)動可實現(xiàn)不同角度下BRDF的測量。測量裝置的設(shè)計圖如圖2所示，轉(zhuǎn)臺和轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)動范圍見表1。

表1 轉(zhuǎn)臂和轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)動范圍

本文實驗系統(tǒng)的入射光路和測量光路如圖3(彩圖見期刊電子版)所示，分別用藍(lán)色和紅色箭頭表示。光路中M0～ M6是同一型號的保護銀膜平面反射鏡。虛線框中所示是本文所設(shè)計的探測聚焦附件，主要包括3個高透過會聚透鏡和一個通光孔徑為2 mm的光闌，這樣設(shè)計的主要目的是為了減小探測系統(tǒng)在樣品表面的有效探測面積。理論上講，安裝附件后，探測器只能夠探測到來自于透鏡L2焦點位置的反射光，能夠有效消除反射天頂角對有效探測面積的影響，這是絕對測量方法得以實現(xiàn)的基礎(chǔ)。

3 樣品制備與測量

本文準(zhǔn)備了4個半徑為25 mm、厚度為2 mm的圓片狀紫銅樣品。采用金相磨拋機對樣品進行加工以得到不同的表面粗糙度。分別采用400目、600目、800目和1000目的碳化硅砂紙對樣品進行打磨，依次標(biāo)記為1#、2#、3#和4#樣品。分別采用丙酮和無水乙醇對砂紙打磨后的樣品進行清洗，之后，將樣品放入超聲波清洗機進行進一步的清洗，以確保樣品表面無污垢殘留。使用粗糙度儀TR220(時代公司)對處理完成后的樣品表面的粗糙度進行測量，測量結(jié)果如表2所示。其中Ra、Rq和Rz分別為算術(shù)平均粗糙度、均方根粗糙度、輪廓最大高度。

表2 4個樣品表面的粗糙度

本文所采用的測量裝置是典型的傳統(tǒng)BRDF測量裝置，需要依靠轉(zhuǎn)角裝置實現(xiàn)不同角度下BRDF的測量。這導(dǎo)致測量過程十分耗時，很難實現(xiàn)所有角度下目標(biāo)表面光譜BRDF的測量。本文的測量中，入射天頂角分別設(shè)置為30°、45°和60°，入射和反射方位角分別設(shè)定為0°和180°，反射天頂角的范圍為-80°～80°，測量間隔在鏡面反射方向附近設(shè)定為1°，遠(yuǎn)離鏡面反射方向的區(qū)域設(shè)定為2°；波長范圍設(shè)置為380～780 nm，間隔為5 nm。如前文所述，本文采用絕對測量方法實現(xiàn)BRDF的測量，測量過程主要包括光源光譜亮度的測量和樣品表面反射亮度的測量。首先，取下樣品臺，將入射天頂角、反射天頂角、入射方位角、反射方位角分別設(shè)置為90°、90°、0°、180°，測量氙燈的光譜亮度。然后，安裝樣品臺并放置樣品，按照設(shè)定的目標(biāo)依次測量4個樣品表面的面內(nèi)光譜BRDF。在分析測量結(jié)果之前需要指出的是：對于粗糙的表面而言，BRDF在一般情況下不可能等于零，然而在本文的測量中出現(xiàn)了等于零的情況，這主要歸因于探測器的靈敏度有限。在本文的結(jié)果分析中，不再顯示BRDF等于零的部分。

4 測量結(jié)果與討論

為了研究紫銅表面的BRDF隨波長和粗糙度的變化情況，本文測量了入射天頂角為30°時的面內(nèi)光譜BRDF，1#～4#樣品的測量結(jié)果在圖4(彩圖見期刊電子版)中給出。從圖4能夠看出，在入射波長的情況下，BRDF隨著反射天頂角的增加，先增大后減小，在鏡面反射方向達(dá)到最大值，這一變化趨勢幾乎不受波長變化的影響。另外，從圖中能夠看出，紫銅在380～550 nm波段存在較強的吸收，波長大于550 nm時，隨著波長的增加吸收迅速減弱，并且這一變化趨勢不受反射天頂角，即觀察方向的影響，這與紫銅表面所呈現(xiàn)出的顏色是一致的。在可見光波段，目標(biāo)的光譜吸收和反射特性很大程度上取決于目標(biāo)表面顏色，紫銅的顏色是色素色不隨觀察方向的改變而發(fā)生變化。測量結(jié)果與紫銅所呈現(xiàn)出的視覺特性是一致的。對比圖4中的4幅子圖能夠發(fā)現(xiàn)，不同粗糙度下紫銅表面的BRDF隨波長和反射天頂角的變化趨勢比較相似。在給定波長的情況下，鏡面反射方向的BRDF隨著粗糙度的減小而逐漸增大，這是因為隨著表面粗糙度的減小，樣品表面越來越接近于光學(xué)光滑表面，導(dǎo)致鏡面反射方向的反射增強。根據(jù)圖4的測量結(jié)果能夠得到如下規(guī)律：紫銅表面的BRDF隨反射天頂角的變化不受波長的影響，隨波長的變化趨勢不受反射天頂角的影響。如果這個規(guī)律正確，那么可以將紫銅的空間光譜反射特性分為光譜反射特性和空間反射特性，即在單波長下研究紫銅表面的空間反射特性，在單個反射方向下研究其光譜反射特性。這樣可以大幅度減小BRDF的測量時間和測量成本。

圖4 θi =30°時，樣品的面內(nèi)光譜BRDF，(a)～(d)依次為1#～4#樣品的測量結(jié)果 Fig.4 In-plane spectral BRDFs of samples at θi=30°:(a)1# sample, (b)2# sample, (c)3# sample and (d)4# sample

為了驗證上文所述規(guī)律的正確性，文中測量了入射天頂角為45°和60°時紫銅表面的光譜BRDF，測量結(jié)果分別在圖5(彩圖見期刊電子版)和圖6(彩圖見期刊電子版)中給出。從圖中可以看出，BRDF隨反射天頂角的變化趨勢不受波長影響，隨波長的變化趨勢不受反射天頂角的影響。這很好地驗證了上述結(jié)規(guī)律的正確性，也說明將紫銅表面的空間光譜反射特性分為單入射波長下的空間反射特性和單反射方向下的光譜反射特性是可行的。

圖5 θi =45°時，樣品的面內(nèi)光譜BRDF，(a)～(d)依次為1#～4#樣品的測量結(jié)果 Fig.5 In-plane spectral BRDFs of samples at θi =45°: (a) 1# sample, (b) 2# sample , (c) 3# sample and (d) 4# sample

圖6 θi=60°時，樣品的面內(nèi)光譜BRDF，(a)～(d)依次為1#～4#樣品的測量結(jié)果 Fig.6 In-plane spectral BRDFs of samples at θi=60°:(a)1# sample, (b)2# sample , (c)3# sample and (d)4# sample

圖7 650 nm下，BRDF隨反射天頂角的變化曲線，(a)～(d)依次為1#～4#樣品的測量結(jié)果 Fig.7 Curves of BRDF varying with reflectance zenith at 650 nm：(a) 1# sample, (b) 2# sample , (c) 3# sample and (d) 4# sample

為了更清晰地展示紫銅表面BRDF隨反射天頂角的變化，本文提取了650 nm下，入射天頂角為30°、45°和60°時4個樣品的測量結(jié)果，分別在圖7(a)、7(b)、7(c)和7(d)中給出。從圖7(a)中能夠看出， BRDF隨著反射天頂角的增加呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，在鏡面反射反向附近達(dá)到最大值。θi=45°和θi=60°時BRDF隨反射天頂角的變化趨勢與θi=30°時的相同，這說明入射天頂角對BRDF隨反射天頂角的變化趨勢沒有明顯的影響。另外，從圖7(a)中能夠看出，隨著反射天頂角的增加，BRDF在鏡面反射方向附近的值逐漸增加。從圖7(b)、7(c)和7(d)中能夠看出，2#～4#樣品的BRDF隨反射天頂角的變化趨勢與1#樣品相同，這說明表面粗糙度對BRDF隨反射天頂角的變化趨勢沒有明顯的影響。

為了更清楚地展示粗糙度對測量結(jié)果的影響，圖8給出了θi=45°時，4個樣品在λ=650 nm時的測量結(jié)果。

圖8 650 nm下，θi=45°時BRDF隨反射天頂角的變化曲線 Fig.8 Curves of BRDF varying with refletance zenith at 650 nm， θi=45°

很明顯，樣品的表面粗糙度對BRDF隨反射天頂角變化的趨勢沒有明顯的影響，4個樣品的BRDF隨反射天頂角的變化曲線均呈“鐘形”，曲線的最大值在鏡面反射方向。從圖8能夠看出，粗糙度對BRDF的大小有很大的影響，尤其在鏡面反射方向附近。以鏡面反射方向為例，隨著Ra由0.219 μm減小為0.072 μm，BRDF值由1.81 sr-1增大為16.80 sr-1。另外，隨著粗糙度的減小，BRDF隨θr變化的曲線變得越來越“高”、越來越“瘦”。這說明，隨著粗糙度的減小，樣品表面在鏡面反射方向附近的反射逐漸增強，偏離鏡面反射方向的強度逐漸減小。

從圖7的測量結(jié)果能夠看出，4個樣品的BRDF尤其是在鏡面反射方向的值隨入射天頂角的增大而增大。產(chǎn)生這種影響的原因可以歸結(jié)為兩個方面：(1)隨著θi的增大，樣品在鏡面反射方向的反射增強；(2)角度因子的影響，測量原理式中有cosθi項，隨著θi的增大，角度因子逐漸減小，從而導(dǎo)致BRDF增大，在θi較大時更加明顯。測量原理中的探測立體角Ωr由探測器的入光孔徑和探測器到樣品之間的距離決定，測量裝置設(shè)計完成后，探測立體角為常數(shù)。分析測量原理能夠發(fā)現(xiàn)，fr· cosθi能夠很好地描述目標(biāo)表面的反射強度。為了進一步分析反射強度和角度因子對BRDF的影響，本文給出了不同入射天頂角下鏡面反射方向的BRDF與fr· cosθi隨角度的變化曲線，如圖9所示。測量波長為650 nm，θi的設(shè)置范圍為20°≤θi≤70°，測量間隔為5°。

圖9 650 nm時，樣品在鏡面反射方向的BRDF(a)和fr·cosθi(b) Fig.9 BRDF(a) and fr·cosθi(b) at specular direction for the samples at 650 nm

由圖9(a)可以看出，在給定天頂角的情況下，BRDF隨著粗糙度的增加而減小。對于每一個樣品，當(dāng)θi≤45°時，BRDF隨著θi的增大而緩慢增加；當(dāng)θi>45°時，BRDF隨著θi的增大而快速增加。為了消除角度因子cosθi對測量結(jié)果的影響，圖9(b)給出了不同入射天頂角下鏡面反射方向的fr·cosθi。從圖中可以看出，fr·cosθi隨θi的變化趨勢與BRDF的變化趨勢相同。圖9的測量結(jié)果說明，隨著入射天頂角的增大，鏡面反射方向的反射強度與角度因子對BRDF均有積極作用。

5 實驗數(shù)據(jù)擬合

這部分的主要工作是對測量結(jié)果進行擬合，以比較不同分布函數(shù)對測量值的擬合結(jié)果?，F(xiàn)階段常用的BRDF模型，如Phong模型、Cook-Torrance模型和Ward模型等均采用Gauss分布函數(shù)作為基礎(chǔ)函數(shù)。這是因為大多數(shù)BRDF模型將空間反射特性近似看做理想朗伯體與鏡面反射的疊加，而Gauss分布比較適用于這種近似。然而，目標(biāo)表面在遠(yuǎn)離鏡面反射的方向一般都不滿足理想朗伯體近似，即使是在BRDF相對測量方法中作為參照的的白板也不是理想朗伯體。尋找更合適的基礎(chǔ)函數(shù)對BRDF經(jīng)驗或者半經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷慕⒂兄匾饬x。文中選取多種不同的分布函數(shù)對測量結(jié)果進行擬合，發(fā)現(xiàn)采用Lorentz分布得到的擬合結(jié)果與測量值最接近，文中給出了入射天頂角為45°時，采用Lorentz分布的擬合結(jié)果與采用Gauss分布的擬合結(jié)果進行了對比，如圖10所示。

圖10 θi=45°，λ=650 nm 4個樣品的測量與擬合結(jié)果 Fig.10 Measuring and fitting results of the four samples at θi =45° for λ=650 nm

從圖10能夠看出，采用Lorentz分布的擬合結(jié)果比采用Gauss分布得到的結(jié)果更好。對比這兩種擬合結(jié)果能夠看出，在鏡面反射方向附近，Lorentz和Gauss分布的擬合結(jié)果與測量值符合的較好。在遠(yuǎn)離鏡面反射方向的角度，采用Lorentz分布的擬合結(jié)果優(yōu)于Gauss分布的擬合結(jié)果。這說明采用Lorentz分布作為基礎(chǔ)函數(shù)建立BRDF經(jīng)驗或者半經(jīng)驗?zāi)Ｐ?，可能得到更好的結(jié)果。

6 結(jié) 論

本文通過自主設(shè)計的BRDF測量裝置測量了紫銅表面的BRDF，詳細(xì)分析了入射波長，入射天頂角，表面粗糙度對測量結(jié)果的影響。結(jié)果表明：(1)BRDF隨波長的變化趨勢不受入射和反射角度的影響；(2)鏡面反射方向附近的BRDF值隨著入射天頂角的增大而逐漸增大，同時受角度因子和樣品表面反射強度的影響；(3)測量結(jié)果容易受樣品表面粗糙度的影響，隨著表面粗糙度的增加，BRDF隨反射天頂角的變化曲線呈現(xiàn)出越來越“矮”，越來越“胖”的趨勢。另外，本文采用不同的分布函數(shù)對測量結(jié)果進行了擬合，并將得到的最優(yōu)擬合結(jié)果與采用Guass分布的擬合結(jié)果進行了比較，結(jié)果表明：采用Lorentz擬合能夠得到更好的結(jié)果。