劉瓏龍，崔 靜，馬明姣

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

0 引言

近年來，眾多學(xué)者都潛心致力于離散變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的趨近律方法的研究。離散變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中的趨近律方法不僅在理論領(lǐng)域備受關(guān)注，而且在實(shí)踐應(yīng)用中也具有著舉足輕重的影響。由于滑模變結(jié)構(gòu)控制的算法簡(jiǎn)單、響應(yīng)速度較快、魯棒性較好等特點(diǎn)，滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的理論研究和實(shí)踐應(yīng)用受到了控制界及工程技術(shù)領(lǐng)域工作者的廣泛關(guān)注[14-19]。

上述學(xué)者們的貢獻(xiàn)僅僅是對(duì)于一階的趨近律方法的研究，然而對(duì)于高階趨近律方法的研究較少。文獻(xiàn)[1]在二階趨近律方法的研究使趨近律方法設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)方法邁上了一個(gè)新的臺(tái)階。由文獻(xiàn)[1]提出的二階趨近律方法設(shè)計(jì)的離散變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的控制器，不僅使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)漸近的趨向切換面，而且使系統(tǒng)抖振逐漸衰減至零。相比較于一階趨近律方法的設(shè)計(jì)，此趨近律方法更能使系統(tǒng)快速到達(dá)切換面，且能消除抖振，其仿真實(shí)例可以驗(yàn)證該方法的有效性和可行性。然而，文獻(xiàn)[1]在二階趨近律方法的研究中對(duì)于一些參數(shù)的取法、趨近律方法的漸近穩(wěn)定性以及該方法能否應(yīng)用于不確定離散系統(tǒng)等，均未給出明確的闡述?；诖?，本文將在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上對(duì)這些問題做進(jìn)一步研究。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[20]如果對(duì)每個(gè)初值x，存在有限樣本k*，使得對(duì)于任意k≥k*，x(k)總在集合內(nèi)，就稱離散時(shí)間系統(tǒng)在集合內(nèi)是最終一致有界的。

定義2[20]如果任意a∈R，k∈N，ε>0，存在δ>0，當(dāng)|a-x(kτ)|<δ+p時(shí)，有|s(x(kτ))-s(a)|

注：當(dāng)r=1時(shí)，即是本文中出現(xiàn)的(p,q)-連續(xù)性的定義。

定理1[20]離散時(shí)間系統(tǒng)中，當(dāng)p≥T(其中T是采樣周期)時(shí)，滑模函數(shù)關(guān)于時(shí)間是一致有界的。如果p=T,那么q=|S((k+1)T)-S(kT)|。

定理2[21]考慮一般的n維非自治微分方程組

式中：x=col(x1,x2,…,xn)；

GH保證(1)式解的唯一性,且f(t,0)≡0。

其中，

(A1)x=col(x1,x2,…,xn)，

f=col(f1,f2,…,fn)均是代表列向量；

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知：若在某區(qū)域GH上存在正定函數(shù)V(t,x)，使

(2)

則(1)式的平凡解x=0是穩(wěn)定的。

定理3[21]若在某一域

D+V|(1)≤0，

(3)

則(1)式的平凡解一致穩(wěn)定。

定理4[21]若在某區(qū)域

2 二階遞推趨近方法的理論分析

不同于以往的一階趨近律方法,文獻(xiàn)[1]提出了一種二階遞推趨近律方法：

s(k+1)=-α(k)|s(k-1)|rsgn(s(k-1))-
β(k)|s(k)|ψsgn(s(k)) 。

(4)

式中：

α(k),β(k)∈R,α(k)>0,β(k)>0;r,ψ∈R,0

β(k)<

{[1+α(k)|s(k-1)|ζ1+2α(k)2|s(k-1)|2ζ1+

2α(k)3|s(k-1)|3ζ1+2α(k)4|s(k-1)|4ζ1]÷

(其中，ζ1=r-1,ζ2=ψ-1)。

2.1 到達(dá)條件分析

定理5 離散變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的二階趨近律方法(4)中選取適當(dāng)?shù)摩?k)和β(k)時(shí)，利用趨近律(4)設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)滿足離散變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)的到達(dá)條件。

證明 對(duì)于參數(shù)α(k)和β(k)的存在性文獻(xiàn)[1]已經(jīng)給出了充分的說明，本文在此主要論證參數(shù)α(k)和β(k)的取法問題。證明過程如下：

對(duì)于任意的s(k)≠0，有

[s(k+1)-s(k)]sgn(s(k))=

[-α(k)|s(k-1)|rsgn(s(k-1))-β(k)|s(k)|ψ·

sgn(s(k))-s(k)]sgn(s(k))=

[-α(k)|s(k-1)|rsgn(s(k-1))-β(k)|s(k)|ψ·sgn(s(k))-|s(k)|sgn(s(k))]sgn(s(k))。

數(shù)學(xué)歸納法 ，若s(k)，s(k-1)對(duì)到達(dá)條件成立，即

(5)

那么，現(xiàn)假設(shè)：

sgn(s(k))>0，sgn(s(k-1))<0，

可得：

[s(k+1)-s(k)]sgn(s(k))=

α(k)|s(k-1)|r-|s(k)|-β(k)|s(k)|ψ

β(k)<

{[1+α(k)|s(k-1)|ζ1+2α(k)2|s(k-1)|2ζ1+2α(k)3|s(k-1)|3ζ1+2α(k)4|s(k-1)|4ζ1]÷

滿足二階趨近律方法中的參數(shù)條件。并且此時(shí)

若sgn(s(k))<0，sgn(s(k-1))>0，同樣可得

另一方面，在(5)式成立的前提下[s(k+1)+s(k)]sgn(s(k))=[-α(k)|s(k-1)|rsgn(s(k-1))-β(k)|s(k)|ψ·

sgn(s(k))+s(k)]sgn(s(k))=α(k)|s(k-1)|r-β(k)|s(k)|ψ+|s(k)|。

β(k)<

{[1+α(k)|s(k-1)|ζ1+2α(k)2|s(k-1)|2ζ1+

2α(k)3|s(k-1)|3ζ1+2α(k)4|s(k-1)|4ζ1]÷

滿足二階趨近律方法的條件。并且此時(shí)

[s(k+1)+s(k)]sgn(s(k))=(|s(k-1)|-β(k))|s(k)|ψ+|s(k)|>0。

所以利用本文中二階趨近律設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)能夠滿足離散變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)的到達(dá)條件。

2.2 趨近過程分析

定理6 如果離散變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的二階趨近律方法(4)中適當(dāng)?shù)倪x取參數(shù)α(k)、β(k)，那么二階遞推趨近律(4)在原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

證明 令

S(k)=[s(k-1)s(k)]T

G(k)=

(6)

則趨近律(4)可以寫成形式為

S(k+1)=G(k)S(k)。

(7)

考慮Lyapunov函數(shù)

V[S(k)]=S(k)TP(k)S(k)，

(8)

△V[S(k)]=S(k+1)TP(k+1)S(k+1)-

S(k)TP(k)S(k)。

(9)

若使系統(tǒng)(7)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定,應(yīng)給定一個(gè)埃爾米特矩陣Q,存在一個(gè)正定埃爾米特矩陣P，使得

△V[S(k)]=-S(k)TQS(k)
G(k)P(k+1)G(k)-
P(k)≤-Q。

(10)

由于α(k)和β(k)的取值可使矩陣P是正定埃爾米特矩陣，因此，對(duì)于一個(gè)漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)有限時(shí)間kf→，矩陣P(k)可以穩(wěn)定于即，系統(tǒng)是在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定的。

[-1-α(k)|s(k-1)|ζ1-α(k)2|s(k-1)|2ζ1-

α(k)3|s(k-1)|3ζ1+β(k)2|s(k)|2ζ2-

α(k)β(k)2|s(k-1)|ζ1|s(k)|]÷[-1-

α(k)|s(k-1)|ζ1+α(k)2|s(k-1)|2ζ1+α(k)3·|s(k-1)|3ζ1+β(k)2|s(k)|2ζ2-

α(k)β(k)2|s(k-1)|ζ1|s(k)|2ζ2]，

(11)

[-1α(k)|s(k-1)|ζ1+α(k)2|s(k-1)|2ζ1+

α(k)3|s(k-1)|3ζ1+β(k)2|s(k)|2ζ2-

α(k)β(k)2|s(k-1)|ζ1|s(k)|2ζ2]，

(12)

[-1-α(k)|s(k-1)|ζ1+α(k)2|s(k-1)|2ζ1+

α(k)3|s(k-1)|3ζ1+β(k)2|s(k)|2ζ2-

α(k)β(k)2|s(k-1)|ζ1|s(k)|]，

(13)

其中，ζ1=r-1,ζ2=ψ-1，如果α(k)和β(k)取合適的值，并且

(14)

-1-α(k)|s(k-1)|ζ1+α(k)2|s(k-1)|2ζ1+

α(k)3|s(k-1)|3ζ1+β(k)2|s(k)|2ζ2-

α(k)β(k)2|s(k-1)|ζ1|s(k)|2ζ2<0。

可得

β(k)2|s(k)|2ζ2[1-α(k)|s(k-1)|ζ1]<[1+α(k)|s(k-1)|ζ1-α(k)2|s(k-1)|2ζ1-

α(k)3|s(k-1)|3ζ1]。

從而

β(k)2<

[1+α(k)|s(k-1)|ζ1-α(k)2|s(k-1)|2ζ1-

α(k)3|s(k-1)|3ζ1]÷

[|s(k)|2ζ2[1-α(k)|s(k-1)|ζ1]]。

根據(jù)β(k)的取值范圍我們只需有下列不等式成立即可：

[1+α(k)|s(k-1)|ζ1-α(k)2|s(k-1)|2ζ1-

α(k)3|s(k-1)|3ζ1]÷[|s(k)|2ζ2[1-

[1+2α(k)|s(k-1)|ζ1+2α(k)2|s(k-1)|2ζ1+

2α(k)3|s(k-1)|3ζ1+2α(k)4|s(k-1)|4ζ1]÷

[1+α(k)2|s(k-1)|2ζ1]|s(k)|2ζ2。

化簡(jiǎn)上述不等式可得：

α(k)2|s(k-1)|2ζ1-[s(k-1)+1]α(k)+1<0。

把上述不等式左邊看成是關(guān)于α(k)的一元二次方程，那么必須滿足解的判別定理即可。則必有：

[s(k-1)+1]2-4|s(k-1)|2ζ1>0。

即-3|s(k-1)|2ζ1+2|s(k-1)|+1>0。

由于當(dāng)k→+時(shí)，|s(k)|→0，所以上述不等式必然成立。

因此,當(dāng)適當(dāng)?shù)倪x擇α(k)和β(k)的值時(shí),系統(tǒng)(6)在原點(diǎn)是Lyapunov漸近穩(wěn)定的。證畢。

定理7 二階遞推趨近律(4)在原點(diǎn)鄰域漸近穩(wěn)定并且在一定鄰域內(nèi)最終一致有界。

證明

將S(k+1)=G(k)S(k),代入

△V[S(k)]=S(k+1)TP(k+1)S(k+1)-

S(k)TP(k)S(k)

有

△V[S(k)]=[G(k)S(k)]TP(k+1)[G(k)S(k)]-

S(k)TP(k)S(k)=

S(k)T[G(k)TP(k+1)G(k)-P(k)]S(k)。

由于(9)式成立,那么在穩(wěn)定狀態(tài)

(15)

定理6已經(jīng)證明了二階趨近律(4)在原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的,通過上述推導(dǎo)過程易得知二階趨近律(4)不僅能夠漸近的到達(dá)原點(diǎn)附近鄰域,而且還能保證在原點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)最終一致有界的繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。

通過定理6和定理7的分析可得，對(duì)于滿足條件要求的二階趨近律式(4)設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)，當(dāng)滿足條件|s(0)|>△的任意初始值s(0)，系統(tǒng)狀態(tài)不僅可以漸近的趨向切換面，而且可以在有限步內(nèi)到達(dá)切換帶{x∈Rn|s(k)|<△}。系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入切換帶后，將步步穿越切換面形成準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)。當(dāng)k→+時(shí)，|s(k)|→0。

2.3 不確定離散系統(tǒng)準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)區(qū)到達(dá)條件分析

為了研究趨近律式(4)在不確定離散系統(tǒng)變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，以下部分討論不確定離散系統(tǒng)準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)區(qū)的到達(dá)條件。

現(xiàn)就如下受參數(shù)攝動(dòng)及干擾影響的單輸入不確定的離散時(shí)間系統(tǒng)加以考慮：

x(k+1)=(A+ΔA)x(k)+bu(k)+Df(k)，

(16)

s(k)=cx(k)。

(17)

其中，

(B1)x(k)∈Rn，u(k)∈R，A∈Rn×n，b∈Rn×1，ΔA∈Rn×n，D∈Rn×1；

(B2)△A表示系統(tǒng)參數(shù)的攝動(dòng)；

(B3)f(k)表示系統(tǒng)所受的干擾；

(B5)c的選取可以保證系統(tǒng)的準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)穩(wěn)定，且cb≠0成立；

(B6)(A,b)完全可控；

由上述條件可得：

x(k+1)=Ax(k)+bu(k)+bd(k)。

定理8 對(duì)于式(16)所示不確定離散時(shí)間系統(tǒng)，若采用式(4)求出的離散變結(jié)構(gòu)控制

u(k)=-(cb)-1[cAx(k)+
α(k)|s(k-1)|γsgn(s(k-1))+
β(k)|s(k)|ψsgn(s(k))]，

(18)

則當(dāng)

|α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ|+

cbmax|d(k)|<△時(shí)，滿足準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)區(qū)的到達(dá)條件。

證明

由式(16)～(18)可得

s(k+1)=x(k+1)=

cAx(k)+cbu(k)+cbd(k)=

-α(k)|s(k-1)|γsgn(s(k-1))-

β(k)|s(k)|ψsgn(s(k))+cbd(k)。

那么：

[s(k+1)+s(k)]sgn(s(k))=

[-α(k)|s(k-1)|γsgn(s(k-1))-β(k)|s(k)|ψ·sgn(s(k))+cbd(k)+s(k)]sgn(s(k))=α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ+|s(k)|+cbd(k)sgn(s(k))；

[s(k+1)-s(k)]sgn(s(k))=[-α(k)|s(k-1)|γsgn(s(k-1))-β(k)|s(k)|ψ·sgn(s(k))+cbd(k)-s(k)]sgn(s(k))=α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ-|s(k)|+cbd(k)sgn(s(k))。

由[s(k+1)+s(k)]sgn(s(k))>0可得：

α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ+|s(k)|+cbd(k)sgn(s(k))>0。

為保證此條件成立，可?。?/p>

|s(k)|>

|α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ|+

cbmax|d(k)|由[s(k+1)-s(k)]sgn(s(k))<0。

可得：

α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ-|s(k)|+cbd(k)sgn(s(k))<0。

為保證此條件成立，可取

|s(k)|>

|α(k)|s(k-1)|γ-β(k)|s(k)|ψ|+cbmax|d(k)|。

由上述對(duì)系統(tǒng)趨近過程和穩(wěn)定性的分析可知，通過取適當(dāng)?shù)膮?shù)α(k)和β(k)，當(dāng)

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用離散變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中提出的新的二階趨近律方法求變結(jié)構(gòu)控制器，得到了一個(gè)和當(dāng)前時(shí)刻相關(guān)的前兩個(gè)樣本點(diǎn)的遞推二階控制器?？刂戚斎胗休^好的(p,q)-連續(xù)性，較好的(p,q)-連續(xù)性能更好的體現(xiàn)出滑模函數(shù)的光滑性，說明該趨近律方法能使離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)最后漸近穩(wěn)定于原點(diǎn)，能來回穿越切換面，且很迅速趨近于原點(diǎn)，很快消除抖振。本文對(duì)此二階趨近律方法進(jìn)行了進(jìn)一步的理論分析，特別是對(duì)于二階趨近律中具體參數(shù)的取法進(jìn)行了具體說明，且證明了此方法在不確定離散變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是可行的。