郭靜

【摘要】“模型思想”是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂過(guò)程中新增的一個(gè)核心詞，在小學(xué)階段怎樣實(shí)施數(shù)學(xué)模型教學(xué)，還處于起步和探索階段。如何根據(jù)教學(xué)實(shí)際深入理解模型思想的內(nèi)涵，從而把“模型思想”融入教學(xué)當(dāng)中，還有很多問(wèn)題值得探究。

【關(guān)鍵詞】概念 模型 構(gòu)建

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。在小學(xué)階段，模型思想的主要教學(xué)形式是滲透。教師需綜合考慮，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，采用“教者有意、學(xué)者無(wú)心”的方式，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、由表及里地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型，感悟模型思想。本文以《認(rèn)識(shí)射線、直線和角》一課的教學(xué)為例，淺談如何在概念教學(xué)中滲透模型思想。

一、舊知找準(zhǔn)起點(diǎn)，初識(shí)概念模型

建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者基于原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)生成意義、建構(gòu)理解的過(guò)程。教學(xué)中，教師需要關(guān)注學(xué)生的“前概念”，找到新知與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)中的契合點(diǎn)，把它作為起點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行概念的構(gòu)建，建立起符合學(xué)生自己經(jīng)驗(yàn)的概念模型。

【片段】

師：想一想：線段有什么特征？畫(huà)一條線段，并量一量有多長(zhǎng)。

師（小結(jié)）：線段有長(zhǎng)有短，但無(wú)論畫(huà)得有多長(zhǎng)，我們都能用尺把它的長(zhǎng)度量出來(lái)，在數(shù)學(xué)上叫作“有限長(zhǎng)”。也就是說(shuō)，線段是可測(cè)量、有限長(zhǎng)的。

【評(píng)析】

在本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生一起復(fù)習(xí)了之前學(xué)過(guò)的有關(guān)線段的概念，通過(guò)看一看、畫(huà)一畫(huà)、說(shuō)一說(shuō)幫助學(xué)生抽象出線段是可測(cè)量、有限長(zhǎng)的本質(zhì)特征。為后面讓學(xué)生體會(huì)把線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)得到一條射線，把線段的兩端都無(wú)限延長(zhǎng)得到一條直線，抽象出射線和直線區(qū)別于之前學(xué)的線段，是不可測(cè)量、無(wú)限長(zhǎng)的這一概念模型做好鋪墊。

二、經(jīng)驗(yàn)突破障礙點(diǎn)，辨識(shí)概念模型

認(rèn)知心理理論認(rèn)為，一切新的學(xué)習(xí)都是在原有學(xué)習(xí)的根基上產(chǎn)生的，新知總是通過(guò)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)相互聯(lián)系、相互作用后獲得意義。學(xué)習(xí)和生活的所有活動(dòng)都使得學(xué)生獲得了幾何圖形的最初步的概念，但有時(shí)這些概念都是模糊的，學(xué)生理解起來(lái)會(huì)有一定障礙，我們有必要把這些經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)化，以形成新的經(jīng)驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)提升或重組。教學(xué)中，教師需準(zhǔn)確把握學(xué)生在構(gòu)建模型概念時(shí)的障礙所在，并通過(guò)一定的教學(xué)手段進(jìn)行突破，從而引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地辨別概念模型。

【片段】（出示夜景圖）

師：這些燈射出的光線有什么共同的特點(diǎn)？

師：這些燈光都是從某一個(gè)光源射出去，而且都是沿著直的線往前，前面沒(méi)有遮擋的話一直會(huì)向無(wú)限的遠(yuǎn)處射去，沒(méi)有終點(diǎn)。這些燈射出的光線，我們都可以看作是射線。（板書(shū)：射線）

【評(píng)析】

讓學(xué)生初步建立“無(wú)限”的概念是本課教學(xué)難點(diǎn)，也是學(xué)生概念構(gòu)建中的一大障礙。在本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際生活原型（光線）出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用觀察、比較、分析、抽象概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生有意識(shí)地去掉數(shù)學(xué)問(wèn)題中非本質(zhì)的東西，從而辨識(shí)出射線這一概念模型。除此之外，教師還嘗試引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述數(shù)學(xué)模型，學(xué)生在完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的抽象過(guò)程中不僅突破了障礙，而且還培養(yǎng)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力，一舉多得。

三、外顯生長(zhǎng)點(diǎn)，共識(shí)概念模型

一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)概念的理解都是個(gè)性化的，是學(xué)生思維過(guò)程的產(chǎn)物。在概念教學(xué)中，教師應(yīng)該充分引導(dǎo)學(xué)生將抽象的思維過(guò)程轉(zhuǎn)化成看得見(jiàn)的直觀模型，把思維的空間留給學(xué)生，以學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程為主導(dǎo)，使思維外顯，從而抽象出概念的本質(zhì)特征，形成共識(shí)，有效構(gòu)建概念模型。

【片段】

師：你能憑著對(duì)射線的感覺(jué)，自己來(lái)畫(huà)一條線段嗎？（投影展示）

師：這幾位同學(xué)畫(huà)的線方向不同，看似有長(zhǎng)有短，有什么相同的地方？

師（引導(dǎo)）：直;只有一個(gè)端點(diǎn);表示一端無(wú)限長(zhǎng)。

師（追問(wèn)）：為什么只在一端畫(huà)端點(diǎn)，而另一端不畫(huà)？

師（說(shuō)明）：數(shù)學(xué)上，在有限的紙上要表達(dá)無(wú)限長(zhǎng)的概念，就是通過(guò)不畫(huà)端點(diǎn)來(lái)表示的。

【評(píng)析】

動(dòng)手操作實(shí)踐是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑和方法，它能把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得看得明、說(shuō)得清。學(xué)生通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口參與學(xué)習(xí)過(guò)程，使操作、思維、語(yǔ)言等有機(jī)結(jié)合，從而建立清晰的數(shù)學(xué)模型。在本環(huán)節(jié)中，教師先讓學(xué)生利用剛才看到的有關(guān)射線的實(shí)體模型，根據(jù)初步建立的表象，嘗試自己來(lái)畫(huà)一條射線。再通過(guò)投影展示、觀察、交流發(fā)現(xiàn)：射線是無(wú)限長(zhǎng)的，在有限的紙上表達(dá)無(wú)限長(zhǎng)的概念，就是通過(guò)不畫(huà)端點(diǎn)來(lái)表示的，從而達(dá)成共識(shí)，成功構(gòu)建“射線有一個(gè)端點(diǎn)、無(wú)限長(zhǎng)”這一概念模型。

四、反思鏈接點(diǎn)，甄識(shí)概念模型

數(shù)學(xué)概念之間具有聯(lián)系性，只有建立數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)概念的不同表示之間的聯(lián)系，才能透徹理解數(shù)學(xué)概念;概念學(xué)習(xí)實(shí)際上就是通過(guò)建立概念之間內(nèi)在的以及概念的不同表象之間的各種聯(lián)系，使之形成概念網(wǎng)絡(luò)。從數(shù)學(xué)建模的角度來(lái)說(shuō)，“利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”這一步至關(guān)重要。正因?yàn)槿绱耍匾曇龑?dǎo)學(xué)生在探索新知的過(guò)程中，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)年P(guān)系或結(jié)構(gòu)，不僅有利于提高學(xué)生的分析能力，而且能使學(xué)生逐步增強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光、感受模型思想的應(yīng)用價(jià)值。

【片段】

師：射線也可以從我們之前學(xué)過(guò)的線段變化而來(lái)，想想看，可以怎樣變？

（生畫(huà)后交流）

師：我們把有限長(zhǎng)的線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)變化成了射線。怎樣把線段延長(zhǎng)，得到一條直線？

（生畫(huà)后交流）

【評(píng)析】

在本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧反思把線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)可以得到一條射線，再次體會(huì)從有限長(zhǎng)到無(wú)限長(zhǎng)的聯(lián)系與區(qū)別，突出射線的本質(zhì)特征。在此基礎(chǔ)上，把線段的兩端都無(wú)限延長(zhǎng)就得到一條直線。整個(gè)教學(xué)過(guò)程既溝通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，又注重引導(dǎo)區(qū)別，通過(guò)必要的手段幫助學(xué)生提升原有的認(rèn)識(shí)，從而更加便捷地得到更具可遷移性的數(shù)學(xué)模型。本環(huán)節(jié)板書(shū)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性和概括性，還富有啟發(fā)性和示范性，一方面揭示知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律，另一方面表明思路的來(lái)龍去脈，有利于學(xué)生理解線段、射線、直線這三個(gè)幾何概念的聯(lián)系與區(qū)別，有畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用。

【板書(shū)】

五、溝通共同點(diǎn)，省識(shí)概念模型

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，也必須扎根于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)?！彼裕?dāng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型以后，教師應(yīng)該幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，尋找兩者共同點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中解決新問(wèn)題、同化新知識(shí)、拓展新認(rèn)知，使數(shù)學(xué)模型成為溝通實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)的橋梁，從而幫助學(xué)生進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用水平，積累模型經(jīng)驗(yàn)，形成初步的模型思想。

【片段】

師（出示踐踏草坪的圖片）：誰(shuí)用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下這種行為？

生：從圖上位置到公交站臺(tái)兩點(diǎn)之間連線，線段的距離最短。

（師根據(jù)學(xué)生的回答，出示圖片，如下圖）

【評(píng)析】

為了讓數(shù)學(xué)服務(wù)生活的觀念真正落到實(shí)處，模型思維的應(yīng)用更要重視生活的啟發(fā)，并與生活相關(guān)聯(lián)，達(dá)到相互指導(dǎo)的目的。有關(guān)踐踏草坪的此類問(wèn)題在生活中十分常見(jiàn)，在學(xué)生的思維中構(gòu)建“連接兩點(diǎn)的線中，線段最短”這樣的模型就可以幫助學(xué)生在日常生活中解決類似問(wèn)題，從而使學(xué)生獲得更直觀的思維感受，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科持續(xù)發(fā)展。

六、辨析共通點(diǎn)，洞識(shí)概念模型

布魯納認(rèn)知觀點(diǎn)認(rèn)為：學(xué)習(xí)過(guò)程是學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)知識(shí)與新學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用 ，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，學(xué)生從事對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的提煉和組織——通過(guò)對(duì)低層次活動(dòng)本身的分析，把低層次的知識(shí)變?yōu)楦邔哟蔚某ＷR(shí)，再經(jīng)過(guò)提煉和組織而形成更高層次的知識(shí)，如此循環(huán)往復(fù)。在此過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)反復(fù)建立和求解一系列模型，能夠更加透徹地理解數(shù)學(xué)知識(shí)并能自我生成數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)思想，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展理性精神。

【片段】

師：大家回憶一下，角由哪幾部分組成？

師：角的兩條邊就是我們今天學(xué)的——射線，從一個(gè)點(diǎn)引出兩條射線可以組成角。

師：我們?cè)诋?huà)角的時(shí)候，可以先畫(huà)出一個(gè)端點(diǎn)，也就是角的頂點(diǎn)，再?gòu)倪@個(gè)端點(diǎn)畫(huà)出兩條射線，也就是角的兩條邊，兩條射線所夾的部分組成一個(gè)角。（師示范畫(huà)角）

師：延長(zhǎng)角的兩條邊，角的大小變了嗎？為什么？

師：角的兩條邊是兩條射線，而射線本來(lái)就是無(wú)限長(zhǎng)的，角的大小與這兩條射線張開(kāi)的大小有關(guān)。

【評(píng)析】

本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：從一個(gè)點(diǎn)引出兩條射線可以組成角，角的兩條邊就是兩條射線。延長(zhǎng)角的兩條邊，角變大了嗎？學(xué)生之前已經(jīng)有“角的兩條邊張開(kāi)得越大角越大，張開(kāi)得越小角越小”這一直觀經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用新知射線的特征進(jìn)行解釋，整個(gè)過(guò)程，環(huán)環(huán)相扣，順利完成角的再認(rèn)識(shí)。

模型思想的建立是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，一方面需要教師在課堂教學(xué)中有意識(shí)地滲透，另一方面需要學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷反思、揣摩與領(lǐng)悟。教師只有基于自身對(duì)概念的深刻了解，在概念教學(xué)時(shí)才能從凸顯概念特征、溝通認(rèn)知結(jié)點(diǎn)等方面來(lái)幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)概念的自我建構(gòu)。只有這樣，學(xué)生對(duì)模型思想的認(rèn)識(shí)和對(duì)數(shù)學(xué)的理解才能從“量的積累”達(dá)到“質(zhì)的飛躍”。

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊承軍.義務(wù)教育階段滲透數(shù)學(xué)模型思想的意義與策略探究[J].教育評(píng)論，2014（4）.

[2]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第一輯）——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2008.