賈立平

【摘要】正方體是大家比較熟悉的幾何圖形，其截面（用一個平面去截幾何體表面，此平面被幾何體所截的部分）都有哪些圖形呢？過已知不共線三點(diǎn)作幾何體的截面問題比較抽象，把空間問題平面化是解決此類問題的常用手段.本文將詳細(xì)地闡述確定截面圖形的兩種常用方法，希望對同學(xué)們了解截面圖形、解決與截面有關(guān)的問題有所幫助.

【關(guān)鍵詞】直觀想象;正方體;截面;空間問題平面化

下面我們來看一道與截面有關(guān)的試題：

引例 正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：（1）△EFG為正三角形;（2）異面直線A1G與C1F所成的角為60°;（3）AC∥面EFG.其中正確的結(jié)論的編號是（ ）

A.（1） B.（2）（3） C.（1）（2） D.（1）（3）

想要解答本題，我先來介紹一種學(xué)生較容易掌握的找截面的方法——交線法，僅供大家參考.

下面我們來了解一下做截面圖形涉及的定理與性質(zhì)：

1.兩點(diǎn)確定一條直線，三個不共線的點(diǎn)組成一個平面.

2.只有在同一個平面的兩條直線才可能相交.

3.如果一條直線上的兩點(diǎn)在同一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi).

4.如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，則兩個平面的交線必定經(jīng)過這個公共點(diǎn).

交線法

運(yùn)用該方法作圖的關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)（平面與幾何體棱的交點(diǎn)），有了位于多面體同一表面上的兩個截點(diǎn)即可連接成截線，從而得到截面.常見類型如下：

類型一：截面經(jīng)過的三個點(diǎn)分別在多面體的棱上，且其中有兩個點(diǎn)在同一個面的棱上.

例1 正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，DD1上，求經(jīng)過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的截面.

作法 （1）在底面AC內(nèi)連接EF并延長，分別交DA，DC的延長線于點(diǎn)L，M;（2）在側(cè)面DA1內(nèi)連接GL，交AA1于K;（3）在側(cè)面D1C內(nèi)連接GM，交C1C于H;（4）連接KE，F(xiàn)H，則五邊形KEFHG即為所求（如下圖）.

類型二：截面經(jīng)過的三個已知點(diǎn)兩兩不在同一面的棱上.

例2 P，Q，R三點(diǎn)分別在直四棱柱AC1的棱CC1，A1D1，AB上，試畫出過P，Q，R三點(diǎn)的截面.

作法 （1）先過P，R兩點(diǎn)作輔助平面，過點(diǎn)R作R1R∥BB1，交A1B1于R1，則平面CRR1C1為所求輔助平面;

（2）在平面CRR1C1內(nèi)延長R1C1，交RP的延長線于M;

（3）在平面A1B1C1D1內(nèi)，連接MQ，交C1D1于點(diǎn)S，延長MQ交B1A1的延長線于點(diǎn)T;

（4）連接TR，交AA1于點(diǎn)N，延長TR交B1B的延長線于點(diǎn)K，再連接KP交BC于點(diǎn)L;

（5）連接RL，PS，QN，則多邊形QNRLPS即為所求（如下圖）.

下面回到引例.

引例中（1）與（2）較容易判斷，其中（1）正確，（2）錯誤.

（3）為難點(diǎn)，面EFG截正方體的截面圖形為六邊形EIFKGJ ，如下圖所示.作出這個截面圖形并不是很容易，其截面類型同類型二，具體作法如下：

（1）取邊A1B1 的中點(diǎn)R，連接GR，RB，CG ，得到矩形GRBC;

（2）在矩形GRBC內(nèi)延長GF，與RB的延長線交于點(diǎn)W，則W∈面ABB1A1;

（3）連接EW，EW∩AB=I，WE的延長線交B1A1的延長線于點(diǎn)H;

（4）連接HG，HG∩A1D1=J，HG的延長線與B1C1的延長線交于點(diǎn)S;

（5）連接FS，F(xiàn)S∩CC1=K;

（6）連接GK，EJ，IF，則六邊形JEIFKG即為所求的截面圖形.

故（3）正確，本題答案為D.

除了以上常見的截面類型，還有截面經(jīng)過的三個點(diǎn)中有一點(diǎn)或多點(diǎn)在多面體的面上的類型，方法同類型二，同學(xué)們可以自行研究，此處不再加以贅述.

練一練1 （2013年安徽省理科數(shù)學(xué)試題第15題）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動點(diǎn).過A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）.

（1）當(dāng)0

（2）當(dāng)CQ=12時，S為等腰梯形;

（3）當(dāng)CQ=34時，S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R=13;

（4）當(dāng)34

（5）當(dāng)CQ=1時，S的面積為62.

解析 如下圖所示.

答案 （1）（2）（3）（5）.

練一練2 一個透明密閉的正方體容器中恰好盛有該容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動這個正方體，則水面在容器中的形狀可以是：（1）三角形;（2）四邊形;（3）五邊形;（4）六邊形.其中正確的結(jié)論是（ ）

A.（1）（3） B.（2）（4）

C.（2）（3）（4）D.（1）（2）（3）（4）

解析 正方體容器中盛有容器一半容積的水，任意轉(zhuǎn)動這個正方體，其水面總是過正方體的中心，所以這個題的本質(zhì)就是過正方體中心的截面都可以是什么形狀的.三角形、五邊形的截面不過正方體的中心，故（1）（3）不正確;過正方體的一對相對的棱和中心可以做一截面，截面形狀為長方形，故（2）正確;過正方體一面上相鄰兩邊的中點(diǎn)和中心的截面為正六邊形，故（4）正確.所以選擇B.

練一練3 （2018年全國Ⅰ卷）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）

A.334 B.233

C.324 D.32

已知正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長為1，點(diǎn)K在棱A1B1上運(yùn)動，過A，C，K三點(diǎn)作正方體的截面，若K為A1B1的中點(diǎn)，則截面的面積為;若截面將正方體分成體積比為2∶1的兩部分，則A1KKB1=.

解析 正方體下底面對角線AC與上底面對角線A1C1平行，K為A1B1的中點(diǎn)，取B1C1的中點(diǎn)K1，連接KK1，則KK1∥AC，連接K1C，則梯形ACK1K即為截面圖形.根據(jù)正方體的棱長為1 ，易求得截面面積為98.易知當(dāng)點(diǎn)K在棱A1B1上運(yùn)動時，截面圖形仍為梯形ACK1K，截面將正方體分成體積比為2∶1的兩部分，則幾何體KB1K1-ABC （棱臺）的體積為正方體體積的13，設(shè)KB1=a，