范麗麗

【摘要】基于APOS理論分析“函數(shù)”這一節(jié)課各個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖，反思APOS理論對(duì)初中函數(shù)教學(xué)的指導(dǎo)作用.

【關(guān)鍵詞】APOS理論;活動(dòng);過程;對(duì)象;圖式;函數(shù)概念

案例背景：在蘇科版八年級(jí)上冊(cè)6.1“函數(shù)”的教學(xué)中，學(xué)生初次接觸函數(shù)，其對(duì)函數(shù)概念的理解，需要經(jīng)歷從具體到抽象的認(rèn)識(shí)過程，需要通過大量的實(shí)際問題感受、發(fā)現(xiàn)世界是運(yùn)動(dòng)變化的，才能提煉出函數(shù)模型.它為后面學(xué)習(xí)其他函數(shù)做鋪墊.函數(shù)與方程、不等式之間也有密切的關(guān)聯(lián)，它是初中階段數(shù)與代數(shù)內(nèi)容的核心.

美國(guó)學(xué)者杜賓斯基的APOS理論把數(shù)學(xué)概念教學(xué)分成四個(gè)階段：活動(dòng)、過程、對(duì)象、圖式.首先將所學(xué)的新知識(shí)放到一個(gè)具有實(shí)際意義的問題情境中，讓學(xué)生經(jīng)歷多個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)“對(duì)象”的操作，然后對(duì)接收到的外部刺激不斷進(jìn)行反省和抽象，形成主觀認(rèn)識(shí)，達(dá)到主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)的目的，為學(xué)習(xí)的概念建立綜合的心理圖式，從而獲取知識(shí)之間的聯(lián)系，并加以應(yīng)用.APOS理論指明了數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的途徑和方式，它強(qiáng)調(diào)教師是學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)對(duì)概念的學(xué)習(xí)進(jìn)行建構(gòu)活動(dòng).

案例來源：筆者在某一次市級(jí)教研活動(dòng)中，有幸聽了一位老師上“函數(shù)”這一節(jié)公開課，發(fā)現(xiàn)完全符合杜賓斯基的APOS理論.從課堂過程看，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的興趣完全被激發(fā)出來，從學(xué)生的當(dāng)堂反饋情況看，課堂的教學(xué)效果是非常好的，學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的掌握是到位的.所以本人覺得有必要從APOS理論視角下詳細(xì)地分析一下這節(jié)課的內(nèi)容.

片段一：上課鈴聲響起，教師開始上課.

師：請(qǐng)同學(xué)們告訴我早上是怎么來學(xué)校的？

生：爸爸開車送到學(xué)校.

師：那你能說一下坐車的過程嗎？

生：上車、車開、下車.（他一說完全班哄堂大笑，課堂的氣氛立馬活躍起來，學(xué)生不緊張拘謹(jǐn)了）

師：那同學(xué)們能否說一說汽車行駛過程中都涉及哪些量呢？

生眾：速度、路程、時(shí)間、耗油量……

師：那我們今天就進(jìn)入量的世界去學(xué)習(xí).

活動(dòng)一：

[WTBX]1.汽車以60 km/h的速度勻速行駛.

2.你見過水中的漣漪嗎？如圖，圓形水波慢慢地?cái)U(kuò)大.

問題1：在上述不同事物的變化過程中，涉及哪些量？請(qǐng)寫出.

（小組合作討論、交流，教師下去巡視發(fā)現(xiàn)一名同學(xué)只寫出速度這一個(gè)量）

教師立馬上前問道：汽車勻速行駛過程中只有速度嗎？

學(xué)生想了一下反應(yīng)過來：在這個(gè)過程中還有時(shí)間和路程.

分析意圖：從這一細(xì)節(jié)中看出這名學(xué)生頭腦中沒有變化的觀念，作為一名初中數(shù)學(xué)教師需要了解學(xué)生的認(rèn)知水平是有差異的，應(yīng)該及時(shí)引導(dǎo)幫助學(xué)生達(dá)到他的最近發(fā)展區(qū).

問題2：路程和時(shí)間之間有什么關(guān)系？你能結(jié)合具體的數(shù)值加以描述嗎？

師：說一說這兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

生：路程÷時(shí)間=速度.

師：能不能用具體的數(shù)值來描述兩者的關(guān)系？

生：如果時(shí)間為1 h，路程就為60 km.

生：時(shí)間為1，2，3，4，…，路程為60，120，180，240……

師：你為什么把60，120，180，240……寫在1，2，3，4……的下面呢？

生：因?yàn)樗鼈兪菍?duì)應(yīng)的啊?。ㄏ旅婧芏鄬W(xué)生恍然大悟，深表同意）

師：大家能從他寫的對(duì)應(yīng)關(guān)系中發(fā)現(xiàn)什么？

生：時(shí)間越長(zhǎng)，行駛的路程越遠(yuǎn)，時(shí)間確定，行駛的路程就確定.

師：我們這樣對(duì)應(yīng)地寫下去，數(shù)值能取得完嗎？

生：不能，我們可以用t表示時(shí)間，用s表示路程，則s=60t.

師：這名同學(xué)的想法非常棒，我們掌聲鼓勵(lì)一下！類似地看活動(dòng)二.可以怎么表示圓的面積和半徑之間的關(guān)系呢？

生：設(shè)圓的半徑為r，面積為S，則S=πr2.（學(xué)生受到了鼓舞，積極性更高啦）

師：能用具體的數(shù)值描述一下兩者的關(guān)系嗎？

生：圓的半徑為1時(shí)，面積為π，半徑為2時(shí)，面積為4π……

師：大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生：當(dāng)半徑取一個(gè)定值時(shí)，面積的值也隨之確定.當(dāng)半徑變大時(shí)，圓的面積也變大.

分析意圖：活動(dòng)二要求學(xué)生對(duì)之前的活動(dòng)過程再重復(fù)，再反思，教師在此過程中，很好地引導(dǎo)學(xué)生去探究、思考、歸納出兩個(gè)變量之間的變化情況.

活動(dòng)三：下面是某國(guó)體育代表團(tuán)在第24～31屆奧運(yùn)會(huì)上獲得的金牌統(tǒng)計(jì)表，把屆數(shù)和金牌數(shù)分別記作x和y.

問題3：在這個(gè)變化過程中，哪些是變量？變量之間有什么關(guān)系？

生：x和y都是變量，但這兩個(gè)變量之間的關(guān)系不能描述.（現(xiàn)場(chǎng)一片沉寂，大家似乎都不知道怎么描述x和y的關(guān)系）

這時(shí)候有一名學(xué)生小聲嘀咕：沒有表達(dá)式怎么描述它們的關(guān)系呢？找不到對(duì)應(yīng)關(guān)系?。?/p>

師：這名同學(xué)你來讀一讀表格吧.

生：23屆15枚、24屆5枚、25屆16枚……

師：請(qǐng)問第29屆的金牌數(shù)量是多少？

生：51枚.

師：你怎么這么快找到答案了呢？

生：在屆數(shù)的下面就是對(duì)應(yīng)的金牌數(shù)啊！

師：那請(qǐng)問大家，x和y有沒有對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？

生：（大家異口同聲）有！

師：對(duì)于x的任何值，y有幾個(gè)值與之對(duì)應(yīng)呢？比如，26屆12枚金牌數(shù)能確定嗎？

生：（學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)）y只有一個(gè)值與x對(duì)應(yīng).

生：對(duì)于x的每一個(gè)值，y有唯一的值與之對(duì)應(yīng).

分析意圖：表格中各屆奧運(yùn)會(huì)獲得金牌數(shù)的統(tǒng)計(jì)情況，個(gè)人認(rèn)為比蘇科版教材上的水位高低的情境創(chuàng)設(shè)更利于學(xué)生的理解.但是有一個(gè)缺點(diǎn)，學(xué)生從數(shù)據(jù)上不易感受到一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化，這正好制造出課堂上的矛盾點(diǎn)，是很好的一種教學(xué)手段，也是本節(jié)課的一個(gè)亮點(diǎn).當(dāng)學(xué)生在腦子里不能認(rèn)識(shí)到函數(shù)概念的本質(zhì)，賦予它形式化定義的階段進(jìn)行不下去的時(shí)候，怎么辦？這時(shí)候教師必須引導(dǎo)學(xué)生重新回到過程階段，重新建構(gòu)，重新反思，重新經(jīng)歷思維的內(nèi)化壓縮過程，才能抽象出函數(shù)概念特有的屬性.

片段三：下圖是南京某天的氣溫變化圖.

你能描述溫度T和時(shí)間t之間的關(guān)系嗎？

生：時(shí)間的每一個(gè)值，溫度有唯一的值與之對(duì)應(yīng).

師：如何驗(yàn)證呢？從圖中能找一個(gè)具體的值嗎？

生：第10 h的溫度為3 ℃.

生：有兩個(gè)變量，一個(gè)隨著另一個(gè)的變化而變化.

師：能不能說具體一點(diǎn)？

生：對(duì)于一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一個(gè)變量有唯一的值與之對(duì)應(yīng).

師：在一個(gè)什么過程中呢？

生：在變化的過程中.

問題4：如何驗(yàn)證氣溫是時(shí)間的函數(shù)？

生：氣溫隨著時(shí)間的變化而變化，在每一個(gè)時(shí)間上，都有唯一的溫度值與之對(duì)應(yīng)，所以氣溫是時(shí)間的函數(shù).

師：那么時(shí)間是氣溫的函數(shù)嗎？

生一部分：不是！反過來.

生一部分：是！

（學(xué)生爭(zhēng)論不下，課堂氣氛異常熱烈）

師追問：請(qǐng)大家回想函數(shù)的定義，再仔細(xì)觀察圖像，能發(fā)現(xiàn)什么呢？

生：有的溫度值對(duì)應(yīng)兩個(gè)時(shí)間值，不是唯一的值.比如，溫度為2 ℃時(shí)，時(shí)間為8 h和19 h.

有同學(xué)立馬說：溫度為-1 ℃時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間有三個(gè)值呢！（這時(shí)候全部同學(xué)都抬起頭，仔細(xì)觀察圖像，發(fā)現(xiàn)確實(shí)如此）

師：那是不是所有的自變量和函數(shù)都不能反過來互換身份？

生：不是，比如，路程是時(shí)間的函數(shù)，反過來時(shí)間也是路程的函數(shù)，可以表示為t=s[]60，s確定時(shí)，t有唯一的值與之對(duì)應(yīng).

分析意圖：因?yàn)閷W(xué)生對(duì)一些關(guān)鍵詞，比如“唯一確定”的含義理解模糊，所以對(duì)函數(shù)概念的深入辨析是必不可少的環(huán)節(jié)，這樣，教師才能及時(shí)糾正部分學(xué)生在APOS理論實(shí)施的某一個(gè)階段所產(chǎn)生的錯(cuò)誤，消除學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平和數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)水平的差異.

活動(dòng)四：你能不能舉出一些生活中的函數(shù)例子？

生：汽車去加油站加油，加油量和油的總價(jià).

生：燒水的時(shí)間和水的溫度.

生：乘坐出租車，所付車費(fèi)和乘車距離.

（同學(xué)們非常積極地舉了很多例子，下課鈴聲響了，很多同學(xué)還意猶未盡）

分析意圖：經(jīng)歷活動(dòng)、過程、對(duì)象三個(gè)階段，學(xué)生建立了關(guān)于函數(shù)的初步心理圖式.讓學(xué)生列舉生活中的函數(shù)例子，目的就是引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)再建構(gòu)的過程，是概念學(xué)習(xí)的提高階段，是利用APOS理論評(píng)估函數(shù)概念學(xué)習(xí)最終達(dá)到的效果.

案例反思：本案例抓住概念形成的規(guī)律，結(jié)合初中生的心理認(rèn)知水平，以及學(xué)生的生活實(shí)際，依據(jù)APOS理論指導(dǎo)，成功地達(dá)成這一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

函數(shù)概念是一個(gè)基礎(chǔ)概念，它是變量數(shù)學(xué)的開端，如果教師上課單純地講授什么是變量，什么是自變量，什么是函數(shù)，那么學(xué)生很難感受到函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)模型.所以教學(xué)中利用APOS理論是很有必要的，在變化的問題情境中，經(jīng)歷活動(dòng)、過程、對(duì)象、圖式四個(gè)階段，認(rèn)識(shí)常量、變量、函數(shù)概念.函數(shù)概念形成過程中，活動(dòng)階段是把學(xué)生帶入生活實(shí)際情境中，過程階段需要教師引導(dǎo)學(xué)生去操作、去感知、去反思抽象，思維不斷內(nèi)化壓縮，才能領(lǐng)悟到函數(shù)概念的本質(zhì)，達(dá)到對(duì)象階段，形成對(duì)函數(shù)相對(duì)穩(wěn)定的認(rèn)識(shí)，而圖式的形成是一種動(dòng)態(tài)、螺旋式的建構(gòu)與再建的過程，需要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)過程，需要教師在后期的教學(xué)中幫助學(xué)生建立概念的縱向聯(lián)系，主要指函數(shù)內(nèi)部之間的聯(lián)系，一般由函數(shù)的內(nèi)涵外延引申出來的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)等，也要幫助學(xué)生建立橫向之間的聯(lián)系，主要指函數(shù)與其他概念之間的聯(lián)系，比如，函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系，只有這樣，才能在學(xué)生頭腦中形成綜合的心理圖式.

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