四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(641100) 向城 劉成龍

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六個(gè)核心素養(yǎng).其中,數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)[1].李尚志教授指出：能夠死記硬背現(xiàn)成公式用來解決現(xiàn)成模式的問題,就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”.而能夠用現(xiàn)成公式加以變通解決不現(xiàn)成的問題,就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)學(xué)建?！?具體來講,數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是指由數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決現(xiàn)實(shí)問題內(nèi)涵的素養(yǎng).數(shù)學(xué)模型作為用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題內(nèi)涵的載體,是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的適用工具,是將具體的數(shù)學(xué)關(guān)系抽象出來反應(yīng)特定的問題或特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系或結(jié)構(gòu),一般以公式或者結(jié)論的形式呈現(xiàn).可以看出數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)建模的核心.研究表明,數(shù)學(xué)模型具有培育創(chuàng)新意識(shí)、深化問題認(rèn)識(shí)、減輕思維負(fù)荷、誘發(fā)問題生長(zhǎng)、提升應(yīng)用能力等教學(xué)價(jià)值.文中介紹一些數(shù)學(xué)模型在解2019年高考試題中的應(yīng)用.

模型一 距離模型[2]

空間中點(diǎn)P(x0,y0,z0)到平面α:Ax+By+Cz+D=0的距離.

例1(2019年全國(guó)Ⅲ卷理科第23題)設(shè)x,y,z∈R,且x+y+z=1.

(Ⅰ)求 (x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;

(ⅠⅠ)若 (x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥成立,證明：a≤-3或a≥-1.

解(Ⅰ)(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2表示空間中動(dòng)點(diǎn)P(x,y,z)到定點(diǎn)Q(1,-1,-1)的距離的平方,而動(dòng)點(diǎn)P在平面x+y+z-1=0上,則由模型一得,所以|PQ|min的平方為,即(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為.

(ⅠⅠ)證明：(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥表示空間中動(dòng)點(diǎn)P(x,y,z)到定點(diǎn)Q(2,1,a)的距離的平方的最小值為,而動(dòng)點(diǎn)P在平面x+y+z-1=0上,由模型一得|PQ|min=,即|PQ|min的平方為,所以,解得a≤-3或a≥-1,得證.

模型二 恒等式模型[3]

對(duì)平面內(nèi)任意向量a和b,有a·b=.

模型三 中線長(zhǎng)模型

△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c.邊BC,CA,AB上的中線分別記為ma,mb,mc.則有mc=.

證明如圖1,在△ABD中,由余弦定理得：,同理在△ACD中,b2=amacos∠ADC,又 cos∠ADB=-cos∠ADC,所以b2+c2=.整理得：同理可得mb=

圖1

圖2

例2(2019年高考天津卷理科第14題)在四邊形ABCD中,AD//BC,AB=AD=5,∠BAD=30°,點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上,且AE=BE,則=_____.

解如圖2,

因?yàn)锳D//BC,∠BAD=30°,AE=BE,所以 ∠EAB=∠EBA=30°,所以 ∠BEA=120°,在△ABE中由余弦定理易得AE=BE=2.在△ADE中由余弦定理易得由模型三得中線長(zhǎng)AF==,所以.同理故5-6=-1.

模型四 焦點(diǎn)弦共線模型

設(shè)圓錐曲線C的焦點(diǎn)F在x軸上,過點(diǎn)F且斜率為k的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn),直線AB的傾斜角為θ,若滿足,則有.

圖3

證明如圖3,AB過橢圓的左焦點(diǎn)F,左準(zhǔn)線為l.由當(dāng)直線AB的傾斜角θ為銳角時(shí),如圖3(a),顯然λ＞1,分別過A、B兩點(diǎn)作AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分別為A1,B1,過B點(diǎn)作BD⊥AA1,由橢圓的第二定義得,在Rt△ADB中,故;同理可得,0＜λ＜1時(shí)ecosθ=.(文中僅以橢圓為例.)

例3(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第10題)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過點(diǎn)F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為()

解如圖4,設(shè)|F2B|=m,則|AF2|=2m,|BF1|=3m.易知|BF1|+|BF2|=2a,即3m+m=2a,所以2m=a,于是|AF2|=a,所以點(diǎn)A為橢圓下頂點(diǎn).設(shè)直線AB的傾斜角為θ,在Rt△OAF2中有cosθ=,由模型四得又因?yàn)閏=1,所以a2=3,b2=2,則橢圓方程為.

圖4

模型五 三余弦模型

圖5

如圖5,A為平面a內(nèi)一點(diǎn),過點(diǎn)A的斜線AO在平面a上的投影為AB,AC為平面a內(nèi)一條直線,設(shè)∠OAC=θ,∠OAB=θ1,∠BAC=θ2,則有 cosθ=cosθ1·cosθ2.

證明過點(diǎn)O作OB⊥AB于點(diǎn)B,過點(diǎn)B作BC⊥AC于C,連結(jié)OC,則△ABC,△OAC,△OAB都是直角三角形.則易得 cosθ=cosθ1·cosθ2.

例 4(2019年高考全國(guó) Ⅰ卷文科第 16題)已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為那么P到平面ABC的距離為____.

圖6

解如圖6,設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影為點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,連結(jié)CD,則PE=所以∠ECP= ∠FCP=60°,∠DCE= ∠DCF=45°,DE=DF.由模型五得 cos∠ECP=cos∠DCE·cos∠DCP,即cos60°=cos45° ·cos∠DCP,所以 ∠DCP=45°,所以即點(diǎn)P到平面ABC的距離為

模型六 面積模型[4]

已知平面上三點(diǎn)O,A,B不共線,設(shè)=則

圖7

例5(2019年高考全國(guó)ⅠⅠ卷理科第 21題)已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求C的方程,并說明C是什么曲線;

(ⅠⅠ)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

(i)證明：△PQG是直角三角形;

(ii)求△PQG面積的最大值.

解(Ⅰ)曲線C的方程為表示焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸為4,短軸為的橢圓(除去左右頂點(diǎn)).

(ⅠⅠ)(i)略.

又因?yàn)?/p>

kPQ=又kPG·kPQ=-1,得所以

圖8

模型七 焦點(diǎn)三角形

如圖 8,若 ∠F2F1P=α,∠F1F2P=β,∠F2PF1=θ,則有離心率e==.

證明在△PF1F2中有=,易得：而所以在△PF1F2中,設(shè)∠F1PF2=θ,|PF1|=r1,|PF2|=r2,易得得r1r2cosθ=2b2-r1r2,即r1r2=所以S△PF1F2==.

圖9

例6(2019年高考全國(guó)ⅠⅠ卷文科第20題)已知F1,F2是橢圓1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(Ⅰ)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率;

(ⅠⅠ)如果存在點(diǎn)P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.

解(Ⅰ)由于△POF2為等邊三角形,易得∠F2F1P=α=30°,∠F1F2P=β=60°,由模型七可得e=

(ⅠⅠ)因?yàn)镻F1⊥PF2,所以 ∠F2PF1=θ=90°,由模型七可得.所以b2=16,b=4.因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)P,使得PF1⊥PF2,所以圓x2+y2=c2與橢圓有公共點(diǎn).聯(lián)立兩方程得16a2-a2c2,由于a＞4,故16-a2＜0,所以16a2-a2c2≤0,即c2≥16,a2-16≥16,所以

從文中幾個(gè)例子不難看出,數(shù)學(xué)模型是思維的支撐點(diǎn),也是知識(shí)的附著點(diǎn),能夠?qū)⒁粋€(gè)問題化繁為簡(jiǎn),化難為易,化抽象為直觀,化特殊為一般,更易讓學(xué)生理解一個(gè)問題的本質(zhì).一個(gè)模型代表了一類問題解決的思維方式,學(xué)生掌握一個(gè)模型就相當(dāng)于掌握了一類問題的解決方法.