安徽省宣城中學(xué)(242000) 吳衛(wèi)衛(wèi)

解析幾何是溝通代數(shù)和幾何的重要橋梁,解決相關(guān)問題是,有知識(shí)綜合性強(qiáng)、方法靈活、對(duì)運(yùn)算能力和邏輯推理能力要求較高的特點(diǎn).大部分同學(xué)往往在具體問題的求解過(guò)程中因?yàn)闂l件多、變化活、運(yùn)算繁瑣而不知如何下手,或雖有思路卻因運(yùn)算不過(guò)關(guān)而半途而廢.面對(duì)諸多的問題,作為一線教師的我們不能一昧的做題、講題,而應(yīng)有意識(shí)、有目的地研究試題,尤其是高考題,力求找尋其規(guī)律及本質(zhì),把握通性通法方能觸類旁通.本文以2019年全國(guó)數(shù)學(xué)高考ⅠⅠ卷理科第21題為例,再結(jié)合近年來(lái)的高考題得到離心率是的橢圓的一些充要條件,以期對(duì)研究試題有所幫助.原題節(jié)選如下：

題目1已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.證明：△PQG是直角三角形.

本題來(lái)源于2011年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題.對(duì)于第(2)問的第(i)問,參考文獻(xiàn)[1]中得到了以下結(jié)論：

結(jié)論1橢圓C:=1(a＞b＞0)且a2=2b2,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G,則PQ⊥PG.

結(jié)論2橢圓C:過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G,設(shè)直線PQ的斜率為k1,直線PG的斜率為k2,則k1k2=

結(jié)合結(jié)論1和2我們就得到了以下的結(jié)論.

性質(zhì)1(橢圓離心率為的充要條件1)橢圓C:=1(a＞b＞0),過(guò)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G,則PQ⊥PG的充分必要條件是橢圓C滿足a2=2b2,即離心率為.

得到這一性質(zhì),我們不禁有這樣一個(gè)疑問：還有沒有橢圓離心率為的其它充要條件呢?答案是肯定的,可是到哪去找呢?為此,筆者翻閱了近幾年全國(guó)各地的高考題發(fā)現(xiàn)2015年上海理科21題、2011年全國(guó)卷理科21題、2010年山東理科21題有同樣的性質(zhì).

題目2已知橢圓x2+2y2=1,過(guò)原點(diǎn)的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于A、B和C、D,記得到的平行四邊形ABCD的面積為S.設(shè)l1與l2的斜率之積為,求面積S的值.

性質(zhì)2(橢圓離心率為的充要條件2)對(duì)橢圓=1(a＞b＞0),過(guò)原點(diǎn)的直線l1和l2分別與橢圓交于A,B和C,D,記得到的平行四邊形ABCD的面積為S,且l1與l2的斜率之積為,則橢圓的離心率為的充要條件是面積S為定值2ab.

證明充分性的證明,參見文[2],此處從略.下面我們主要證明必要性.

設(shè)l1的斜率為k,由

即

即a4-4a2c2+4c4=0,得出 4e4-4e2+1=0即2e2=1,e=.綜上,性質(zhì)2得證,即橢圓離心率為的充要條件2成立.

題目3已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為橢圓C:x2+=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn),過(guò)F且斜率為的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P滿足

(1)證明：點(diǎn)P在C上;

(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q,證明：A,P,B,Q四點(diǎn)在同一圓上.

性質(zhì)3(橢圓離心率為的充要條件3)設(shè)直線l過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),其斜率為且與橢圓交于A,B兩點(diǎn),P滿足則橢圓的離心率為的充要條件是P在橢圓上.

證明設(shè)直線方程為y=(x+c),與橢圓聯(lián)立得2x2+2cx-b2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

所以

即a2=2c2,即e=,反過(guò)來(lái)顯然成立.

接下來(lái),我們考慮A,P,B,Q四點(diǎn)是否在同一圓上?經(jīng)過(guò)探究得到了：

性質(zhì)4(橢圓離心率為的充要條件4)設(shè)直線l過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),其斜率為且與橢圓交于A,B兩點(diǎn),P滿足點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q,則橢圓的離心率為的充要條件是A,P,B,Q四點(diǎn)在同一圓上.

證明結(jié)合(1)知設(shè)經(jīng)過(guò)A,P,B的圓方程為

則有

把方程組的前兩項(xiàng)相加結(jié)合第(1)得到

方程組第三項(xiàng)可化為

再結(jié)合前面得到

顯然A,P,B,Q四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于a2=2c2等價(jià)于.

題目4已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1,F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A,B和C,D.是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

性質(zhì)5(橢圓離心率為的充要條件5)已知橢圓=1(a＞b＞0)與雙曲線C2頂點(diǎn)焦點(diǎn)互置,F1,F2為C1的左右焦點(diǎn),P為C2上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和C1相交于A,B兩點(diǎn),直線PF2和C2相交于C,D兩點(diǎn),則為定值的充要條件是橢圓C1的離心率e=.

性質(zhì)5的證明參見[3],此處從略.