廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

2018年1月《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》出版,正式公布了數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)大師史寧中提出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的本質(zhì)就是“三會(huì)”：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.

球相關(guān)的切、接問(wèn)題,是近幾年高考命題的熱點(diǎn),從“幾何作圖”和“分析圖形”兩個(gè)角度考查直觀想象核心素養(yǎng),考察考生的空間想象能力和邏輯思維能力,同時(shí)考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng),也是考生的難點(diǎn)、易失分點(diǎn).要解決這一難點(diǎn),關(guān)鍵是找到反映“切、接”的幾何量集中的一個(gè)截面,并找到這些幾何量所滿足的關(guān)系式.下面就2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第12題進(jìn)行詳細(xì)分析、探究其規(guī)律,歸類了近幾年高考多面體與球的切接的問(wèn)題,并給出其解題通法.

一、題目展示與分析

題目(2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第12題)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為( ).

圖1

圖2

分析本題以三棱錐與球的位置關(guān)系為問(wèn)題背景,考查三棱錐的外接球的問(wèn)題.利用相應(yīng)線段的長(zhǎng)度與角度的關(guān)系,確定三棱錐的準(zhǔn)確信息,為進(jìn)一步求解與應(yīng)用提供條件.而結(jié)合兩空間幾何體的位置關(guān)系,可將此三棱錐不形成長(zhǎng)方體入手,可以有效解決問(wèn)題.

解析由題意,三棱錐P-ABC為正三棱錐.如圖1,取AC中點(diǎn)D,連接PD,BD,則AC⊥PD,AC⊥BD,故AC⊥平面PBD,AC⊥PB.又 ∠CEF=90°,而PB//EF,故PB⊥CE.所以,PB⊥平面PAC,PB⊥PA,PB⊥PC.

由此可知,正三棱錐P-ABC的側(cè)面為等腰直角三角形,且故此正三棱錐可視為棱長(zhǎng)為的正方體的一角,如圖2所示.設(shè)球O的半徑為R,則,故球O的體積為

點(diǎn)評(píng)本題求解的關(guān)鍵步驟有二：一是認(rèn)清三棱錐P-ABC的結(jié)構(gòu)特征(也可以由cos∠AEC=-cos∠PEC及余弦定理列式計(jì)算得到側(cè)棱長(zhǎng)為故側(cè)面為等腰直角三角形),二是通過(guò)構(gòu)造正方體來(lái)求取外接球問(wèn)題.事實(shí)上,當(dāng)三棱錐某一頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直時(shí),可將此三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體,進(jìn)而借助長(zhǎng)方體的外接球來(lái)簡(jiǎn)化求解過(guò)程.

二、高考題分析

表1

與球相關(guān)的切、接問(wèn)題,是近幾年高考命題的熱點(diǎn),考察考生的空間想象能力和邏輯思維能力,也是考生的難點(diǎn)、易失分點(diǎn),下面就近幾年高考題對(duì)球與幾何體的切接作深入的探究,從中掌握高考命題的趨勢(shì)和高考的出題思路,使學(xué)生在這部分內(nèi)容不失分.從近幾年全國(guó)新課標(biāo)高考命題來(lái)看,這部分內(nèi)容主要出選擇、填空題,命題角度多變,歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度如表1.

從以上真題考查以下方面知識(shí)和能力：(1)與球相關(guān)的題目側(cè)重考查學(xué)生的空間想象能力,對(duì)作圖能力要求較高,要求學(xué)生必須能夠作出直觀圖,然后利用直觀圖分析問(wèn)題,學(xué)生要有較強(qiáng)的幾何作圖能力;(2)以截面問(wèn)題為主,需選擇恰當(dāng)?shù)慕孛娼鉀Q問(wèn)題,考查平面化的方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化能力;(3)幾何載體多變,以體積或表面積的計(jì)算為主,考查運(yùn)算求解能力.下面就通過(guò)幾個(gè)實(shí)例加以總結(jié).

三、高考題型歸類

題型一 正棱錐與球

性質(zhì)正棱錐的外接球球心在正棱錐的高所在的直線上.

當(dāng)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)相等時(shí),棱錐頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的外心,而外接球球心與底面多邊形外心的連線也與底面垂直,故外接球球心恰好在棱錐的高所在的直線上.

圖3

圖4

如圖3所示,若棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)相等,且其高為h,底面外接圓半徑為r,設(shè)其外接球半徑為R(h≥R),根據(jù)勾股定理得同理,如下圖4所示,當(dāng)h＜R時(shí),R2=(R-h)2+r2,也可得到所以,不論h與R的大小關(guān)系如何,總有

下面以正四面體為例說(shuō)明.

正四面體放入正方體中,正方體的外接球的球心在其體對(duì)角線的中點(diǎn)上.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,正四面體的內(nèi)切球、棱切球、外接球的半徑分別為r1、r2、r3.過(guò)正四面體的一條棱及其對(duì)棱的中點(diǎn)可作包含各球基本量的截面,如圖5所示,可知

圖5

圖6

例1(2018年全國(guó)ⅠⅠⅠ卷理科第10題)設(shè)A、B、C、D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),△ABC為等邊三角形且其面積為則三棱錐D-ABC體積的最大值為( ).

解析作圖,D為MO與球的交點(diǎn),點(diǎn)M為△ABC的重心.判斷出當(dāng)DM⊥平面ABC時(shí),三棱錐D-ABC的體積最大,然后進(jìn)行計(jì)算可得.

如圖6所示,點(diǎn)M為△ABC的重心,E為AC的中點(diǎn),當(dāng)DM⊥平面ABC時(shí),三棱錐D-ABC的體積最大,此時(shí),OD=OB=R=4.因?yàn)樗訟B=6.因?yàn)辄c(diǎn)M為△ABC的重心,所以所以在Rt△ABC中,有設(shè)球的半徑為R,球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d,則即OM=2.所以三棱錐D-ABC高的最大值為DM=OD+OM=4+2=6.所以所以三棱錐D-ABC體積的最大值為故選B.

題型二 正棱柱與球

性質(zhì)正棱柱的上、下底面外心連線段的中點(diǎn)即為外接球球心.

下面以正三棱柱為例說(shuō)明.

如圖7所示,正三棱柱上、下底面外心連線段的中點(diǎn)即為外接球球心.在正三棱柱ABCA1B1C1中,設(shè)正三棱柱的高為h,底面外接圓半徑為r,設(shè)其外接球半徑為R(h≥R),根據(jù)勾股定理得,故外接球的半徑

圖7

例2(2019年大連一模理科第11題)已知三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為( )

解析如圖8,由球心作平面ABC的垂線,則垂足為BC的中點(diǎn)M.又所以球O的半徑.故選C.

圖8

圖9

例3(2017年高考全國(guó)ⅠⅠⅠ卷理科第8題)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為( ).

A.πB.C.D.

解析球與圓柱均是旋轉(zhuǎn)體,由旋轉(zhuǎn)體本身固有的對(duì)稱性,我們重點(diǎn)研究軸截面,發(fā)現(xiàn)球的直徑是圓柱軸截面矩形的對(duì)角線,由球心、底面圓心及底面圓上任意點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形,設(shè)底面圓半徑為r,球的半徑為,圓柱的高為h=1,如圖9所示,由勾股定理得圓柱底面半徑為

題型三 對(duì)棱相等模型

對(duì)棱相等模型采用的方法是補(bǔ)形為長(zhǎng)方體.

例4(2016年高考全國(guó)ⅠⅠ卷文科第14題改編)正四面體的各條棱長(zhǎng)都為則該正4面體外接球的體積為____.

圖10

解析如圖10所示,正四面體對(duì)棱相等的模式,放入正方體中,正方體的外接球的球心與其體對(duì)角線的中點(diǎn)重合,所以.故填

題型四 折疊模型

例5(2019年廈門市一模)如圖11,將邊長(zhǎng)為2的正△ABC沿著高AD,使∠BDC=60°,若折起后A、B、C、D四點(diǎn)都在球O的表面上,則球O的表面積為____.

圖11

圖12

解析折起后的幾何體是如圖12所示的三棱錐A-BCD,底面BCD是邊長(zhǎng)為1的正三角形,因?yàn)锳D⊥DC,AD⊥DB,DC∩DB=D,DC、DB?底面BCD,所以AD⊥底面BCD.取棱BC、BD的中點(diǎn)E、F,連接DE、CF,交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為底面BCD的中心,過(guò)點(diǎn)P作底面BCD的垂線OP,取AD的中點(diǎn)Q,在平面ADE中作AD的垂直平分線交PO于點(diǎn)O,則點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心,OD為半徑,四邊形POQD為矩形,且所以所以球O的表面積為.故填.

題型五 柱體的內(nèi)切球問(wèn)題

例6(2016年高考全國(guó)ⅠⅠⅠ卷文科第11題)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是( ).

A.4πB.C.6πD.

圖13

解析根據(jù)題中的數(shù)據(jù)求半徑,就轉(zhuǎn)化成求三角形的內(nèi)切圓的半徑,如圖13所示,這是初中的內(nèi)容,運(yùn)用等面積法可以求出其半徑為2.這一問(wèn)題有一易錯(cuò)點(diǎn)是求半徑時(shí)還要考慮高,就是直徑不能大于3,故直三棱柱ABC-A1B1C1的內(nèi)切球的半徑為,此時(shí)V的最大值是故選B.

四、備考建議

從上面的高考題型歸類可以看處,球切接問(wèn)題包含幾種核心素養(yǎng),下圖是其對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

?

與球相關(guān)的題目在高考中主要以填選題的形式出現(xiàn),側(cè)重于考查學(xué)生的空間想象能力,要求頗高,從“分析圖形”和“幾何作圖”兩個(gè)不同的角度考查學(xué)生的核心素養(yǎng).

在教學(xué)實(shí)踐中,應(yīng)注重多采用“舉例”、“建?！?、“類比”等方式對(duì)知識(shí)進(jìn)一步整合,要強(qiáng)調(diào)經(jīng)歷從實(shí)際物體中抽象出空間幾何體的過(guò)程,了解一些空間幾何體和常見(jiàn)的平面圖形;感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱圖形還原等現(xiàn)象.在運(yùn)用數(shù)及適當(dāng)?shù)亩攘繂挝幻枋霈F(xiàn)實(shí)生活中的空間幾何體現(xiàn)象,以及對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行估計(jì)的過(guò)程中,發(fā)展數(shù)感;在從物體中抽象出幾何圖形、想象圖形的運(yùn)動(dòng)和位置的過(guò)程中,發(fā)展空間觀念.探索一些圖形的形狀、大小和位置關(guān)系,了解一些空間幾何體和平面圖形的基本特征;掌握識(shí)圖、畫圖和求量的基本方法;形成數(shù)感和空間觀念,感受符號(hào)和幾何直觀的作用.熟練掌握“補(bǔ)體法”、“分割法”、“等體積法”、“平面化方法”、添加各種輔助線等立體幾何中的方法.從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).