廣東省中山市濠頭中學(xué)(528400) 張 宇

一、試題呈現(xiàn)

已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點,PC=2,P點到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為那么P到平面ABC的距離為____.

分析本題涉及空間角與空間距離之間的計算,以及空間圖形的作圖、讀圖能力,較好的體現(xiàn)了核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算、空間想象、邏輯推理等能力的考查,下面先對考題的解法做一些探究.

二、解法探究

解法1如圖1,設(shè)點P在平面ABC內(nèi)的射影為O,在邊AC,BC的射影分別為E,F.由于PC=2,PE=PF=故CE=CF=1,且CB⊥OF,AC⊥OE,又∠ACB=90°,所以O(shè)ECF為正方形,所以O(shè)E=1,所以P到平面ABC的距離

圖1

圖2

評注直接利用特殊圖形如正方形、直角三角形的邊角關(guān)系計算,要求考生要較強的作圖、識圖能力.

解法2如圖2,令PA=PB=PC=2,則點P在平面ABC內(nèi)的射影為點O是△ABC的外心,即斜邊AB的中點;因為P點到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為易求得AC=BC=2,又 ∠ACB=90°,所以AB=又因為PA2+PB2=AB2,所以△PAB為等腰直角三角形,從而

評注本題作為文科數(shù)學(xué)填空壓軸題,遵從小題小做的原則,可以從特例法的視角入手,根據(jù)已知條件構(gòu)造特殊的幾何體來確定頂點的投影位置,進而極大的簡化運算.

解法3 先給出一個常用結(jié)論

圖3

三余弦定理若平面的一條斜線與這個平面所成角為α,平面內(nèi)的一條直線與這條斜線及其射影所成的銳角(或直角)分別為β,γ,則有 cosβ=cosα·cosγ.

設(shè)點P在平面ABC內(nèi)的射影為O點,在邊AC,BC的射影分別為E,F,連接OC,如圖3,因為PC=2,PE=PF=所以 ∠PCF= ∠PCE=60°,又OE=OF,所以 ∠OCB=45°,由三余弦定理可知：cos∠PCF=cos∠OCB·cos∠OCP,故 cos∠OCP=從而PO=OC=

圖4

評注試題本質(zhì)上考查了空間線面角和線線角的關(guān)系,故借用三余弦定理解題能快速的找到解決問題的突破口,從而順利求解出問題,要求考生在平時的解題的訓(xùn)練中多注重二級結(jié)論的探究及應(yīng)用.

解法4通過具體的空間圖形(如圖4)不難發(fā)現(xiàn)存在若干個直角三角形,如Rt△PCF,Rt△PFO,Rt△PCO,Rt△OCF,且點P在平面ABC內(nèi)的射影O點在∠ACB的角平分線上.設(shè)線段CF,OF,OC,PO的長度分別為x,y,z,d,由勾股定理得解得x=y=1,z=d=故PO=.

評注因圖形中出現(xiàn)了多個直角三角形,考慮利用勾股定理建立邊角之間的聯(lián)系,從勾股運算和解方程組的角度來解題,雖說有一定的運算量,但也不失為一種較好的解題方法,根據(jù)本解法思路,還可以對本題做一些拓展研究.

三、變式拓展

一道好的試題不能僅僅局限于解法上,重要的是提煉解決此類問題的通性通法,揭示數(shù)學(xué)本質(zhì),形成數(shù)學(xué)方法與思想,促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高;本題根據(jù)PC長度,P點到∠ACB兩邊AC,BC的距離以及∠ACB的大小可以嘗試拓展一般性結(jié)論：

結(jié)論1已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點,若PC=m,P點到兩邊AC,BC的距離均為n,則P到平面ABC的距離為.

結(jié)論2已知∠ACB=60°,P為平面ABC外一點,若PC=m,P點到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為n,則P到平面ABC的距離為.

結(jié)論3已知 ∠ACB=2θ(θ∈(0,)),P為平面ABC外一點,若PC=m,P點到∠ACB兩邊AC,BC_的距離均為n,則P到平面ABC的距離為.

圖5

解析如圖 5所示在諸多Rt△PCF,Rt△PFO,Rt△PCO,Rt△OCF中,設(shè)線段CF,OF,OC,PO的長度分別為x,y,z,d.PC=m,PF=n,由勾股定理得

解得x=y=·tanθ,d=.

四、命題背景探究

學(xué)生們認為該試題有難度是因為沒有把握問題的本質(zhì),對于圖形的識別與理解以及空間角的度量轉(zhuǎn)換掌握不到位.上述結(jié)論我們還可以作進一步探究,會有意想不到的收獲：

如圖5, 令∠PCB=α, 在Rt△PCF中,x=mcosα,n=msinα, 則y=x·tanθ=mcosα·tanθ; 在Rt△POF中,d=在Rt△PCO中, 有sin∠PCO==,所以 cos∠PCO=,故cosα=cos∠PCO·cosθ,即解法3中的三余弦定理結(jié)論的模型,這也就是該試題的命題背景所在;近些年來以三余弦定理為背景的高考題也是常見的,如2017年全國3卷理科第16題、2018年浙江卷第8題、2019年浙江卷第8題等在文[1]中有詳細的說明,此處不一一列舉.試題以三余弦定理為模型研究空間線線角和線面角之間的關(guān)系,體現(xiàn)了高考題中對于學(xué)生空間想象以及邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的考查有更高的要求,對于今后的教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有很好的導(dǎo)向作用.

五、教學(xué)建議

立體幾何中幾何元素間的位置關(guān)系、度量關(guān)系是高考?？嫉闹仉y點內(nèi)容,碰到這類問題應(yīng)該多去思考每一道試題的命題背景及本質(zhì),找到解決此類問題的通性通法;復(fù)習(xí)中要強化模型思維,如本題能借用三余弦定理模型將會快速找到解題的突破口;本題的另一難點在于圖形的識別和平面幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化,即通過已知條件求得相對應(yīng)的邊角關(guān)系,平面幾何中如直角、等腰三角形等特殊圖形的結(jié)論在復(fù)習(xí)中也要強化.

在解題的教學(xué)過程中,解題的回顧與反思往往比解決這個問題本身更重要,只有真正理解一個問題的本質(zhì),才能跳出題海的禁錮.在今后的解題訓(xùn)練中要加強對問題的基礎(chǔ)性、綜合性和探究性研究,引導(dǎo)教學(xué)注重方法指導(dǎo),在解決問題中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).