姜嵐清，張勇

(蘇州大學(xué) 軌道交通學(xué)院，江蘇 蘇州 215131)

電動汽車替代傳統(tǒng)燃油汽車已成為汽車產(chǎn)業(yè)可持續(xù)發(fā)展的必然趨勢，也是解決能源消耗與環(huán)境污染問題的有效手段。電動公交車具有固定的行駛路線、發(fā)車時間以及停車場所，能夠很好地適應(yīng)電動汽車?yán)m(xù)航里程短、充電時間長的特點，使得電動公交車成為電動汽車在中國市場推廣的先驅(qū)。在國家的大力支持和推動下，我國電動公交事業(yè)進(jìn)入快速發(fā)展時期，2015年交通部出臺的《關(guān)于加快推進(jìn)新能源汽車在交通運(yùn)輸行業(yè)推廣應(yīng)用的實施意見》，指出到2020年城市新能源公交車將達(dá)到20萬輛[1]。目前，國內(nèi)主要城市新能源公交車占比都已達(dá)到40%以上，其中深圳在2017年已實現(xiàn)公交100%車電動化，根據(jù)各地規(guī)劃要求，到2020年全國公交車電動化率有望達(dá)到70%。由于電動公交車與汽油車補(bǔ)能方式不同，時間差別大，因此要求電動公交線路設(shè)計時要考慮充電樁配置要求。但是從目前各地市電動公交車充電設(shè)施建設(shè)情況來看，由于多依賴經(jīng)驗配置、缺乏理論指導(dǎo)，充電樁配置數(shù)量相差較大，有的按照“一車一樁”配置，有的按照“四車一樁”配置，有的按照“六車一樁”配置，造成車樁配置不合理[2]。因此，發(fā)展電動公交事業(yè)，首先要對其充電基礎(chǔ)設(shè)施的規(guī)劃建設(shè)問題進(jìn)行研究。

目前，一些學(xué)者對電動公交基礎(chǔ)設(shè)施規(guī)劃問題進(jìn)行了研究。陳偉等[3]根據(jù)充電站內(nèi)充電樁容量、電動公交車參數(shù)計算所需配置充電樁的數(shù)量，但沒有考慮公交車充電排隊情況對公交運(yùn)營的影響。為了討論公交車充電排隊情況，蔡子龍等[4]以充電樁數(shù)量最小為目標(biāo)，在公交樞紐站內(nèi)建立公交充電排隊系統(tǒng)模型，對直流快速充電模式下高峰和平峰期充電設(shè)施最優(yōu)配置進(jìn)行了研究。但是該模型并沒有考慮公交運(yùn)營成本。為了詳細(xì)分析運(yùn)營成本問題，Zou等[5]研究電動公交換電站配置優(yōu)化問題，以服務(wù)可用性為約束、運(yùn)營成本最小為目標(biāo)建立模型，優(yōu)化站內(nèi)充電樁，并進(jìn)行了案例分析。Wang等[6]以年總運(yùn)營成本最小為目標(biāo)，建立了一個優(yōu)化電動公交車充電時刻表的模型，模型可以為充電站位置、數(shù)量和運(yùn)營提供相應(yīng)的決策支持。Li[7]以公交車輛最大行駛里程為約束，建立車輛時刻表模型，分析了電動、燃油、混合動力公交車的總運(yùn)營成本，并提出了列代算法求解時刻表問題，研究結(jié)果表明，電動公交車使用換電形式將不會顯著增加車隊車輛數(shù)量。上述文獻(xiàn)側(cè)重充電樁配置數(shù)量的研究，但同時也有針對充電策略以及政府政策的影響分析。Qin等[8]模擬了佛羅里達(dá)州塔拉哈西一天的電動公交運(yùn)營與充電需求情況，并以減少充電需求為目標(biāo)，確定了最佳的充電策略。Rick等[9]以量化形式分析了日間停車和免費(fèi)停車政策對充電行為的影響，并指出在設(shè)計政策時應(yīng)考慮充電行為與政策之間的相互影響關(guān)系。

以上文獻(xiàn)，從不同角度基于確定的運(yùn)營條件優(yōu)化充電設(shè)施配置或充電策略等，但沒有考慮公交線路自身運(yùn)營條件對充電站及充電樁配置的影響。對于公共交通線路設(shè)計與運(yùn)營優(yōu)化等問題的研究也有很多。Wirasinghe等[10]確定了以公交運(yùn)營成本和客運(yùn)時間成本之和最小化為目標(biāo)的最優(yōu)公交服務(wù)特性，分析了站間距、接駁巴士區(qū)域邊界和車頭時距等運(yùn)營參數(shù)，給出了簡明的最優(yōu)參數(shù)結(jié)果。Daganzo等[11]詳細(xì)分析了兩點系統(tǒng)、交通走廊系統(tǒng)、二維平面網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在理想與現(xiàn)實情況下的公共交通運(yùn)營原則與優(yōu)化方法。Constantin等[12]建立了以乘客乘車時間最小為目標(biāo)，車輛數(shù)量為約束條件的非線性發(fā)車頻率優(yōu)化模型。Ceder[13]將公交調(diào)度時刻表編制問題作為一個多目標(biāo)優(yōu)化問題，假定乘客到達(dá)服從均勻分布，乘客等車時間為發(fā)車間隔時間的一半，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建公交發(fā)車時刻優(yōu)化模型。

本文綜合考慮充電站及充電樁配置與公交線路運(yùn)營特征參數(shù)設(shè)計兩者的相互影響，在公共交通走廊上，以社會福利最大化為目標(biāo)建立模型，考慮線路運(yùn)量約束和車輛充電站內(nèi)充電等待時間約束，優(yōu)化站點數(shù)量及位置、發(fā)車頻率、票價以及線路首末端充電樁數(shù)量等。文中還考慮不同的充電策略對充電站內(nèi)車輛充電排隊等待時間的影響。

1 模型構(gòu)建

在一條公交走廊上，電動公交車按發(fā)車間隔發(fā)車，沿公交線路來回循環(huán)運(yùn)行，當(dāng)電量不足時到首末端充電站內(nèi)充電，為了確定公交線路最優(yōu)的站點數(shù)量及位置、發(fā)車頻率、票價、車隊規(guī)模與充電樁數(shù)量，構(gòu)建了如下的優(yōu)化模型。

1.1 基本假設(shè)

為方便建模，進(jìn)行如下假設(shè)：

A1.假設(shè)所研究的線性交通走廊長度為B，公交線路總長度等于走廊長度；

A2.電動公交車票價采用單一票價制度；

A3.用線性彈性需求函數(shù)來表示乘客對線路服務(wù)水平的反應(yīng)；

A4.乘客選擇最近的公交站點乘車；

A5.公交線路一端發(fā)車；

A6.所有電動公交是相同的，電池充電電量與充電時間成正比，電池電量消耗與行駛里程成正比。

1.2 站點乘客需求分析

如圖1所示，在長度為B的線性交通走廊上布設(shè)一條電動公交線路，線路上有N個公交站點，Ds表示第s個站點到第一個站點的距離，DN表示線路總長度。用ls表示s站點和s+1站點之間客流分界線，即當(dāng)乘客位于(s,ls)之間時，表示乘客去s站點乘車，當(dāng)乘客位于(ls,s+1)之間時，到s+1站點乘車。Ls表示ls到站點1的直線距離。根據(jù)A4可知，ls位于s站點和s+1站點正中間，用公式表示為：

(1)

其中，D1=0,LN=DN，在不影響結(jié)果的情況下，為了方便下文公式表示令L0=0。

用q(x,s)表示在x處到站點s乘車的乘客數(shù)量，根據(jù)A3可知：

q(x,s)=g(x)(1-eaus(x)-ewws-eff-evVb)，?x∈[0,B],?s=1,2,…,N，

(2)

其中：g(x)表示在x處人口密度分布；us(x)表示乘客從x處到站點s所用的時間，下文簡稱為訪問時間；ws表示乘客在s站點的平均等待時間；f表示票價；Vb表示公交車最大行駛速度(Vbmax)與實際平均行駛速度(Vb1)之差；ea、ew、ef、ev分別表示us(x)、ws、f以及Vb的彈性系數(shù)。

為了保證在x處到站點s乘車的乘客數(shù)量大于等于0，應(yīng)滿足條件

0≤1-eaus(x)-ewws-eff-evVb≤1,?x∈[Ls-1,Ls],s=1,2,…,N。

(3)

根據(jù)A4，公式(3)中乘客訪問時間us(x)可以通過乘客所在位置x與s站點之間的距離以及乘客步行速度(Va)計算得到，公式表示為：

(4)

乘客在站點s的等待時間ws計算表達(dá)式為：

ws=αH, ?s=1,2,…,N，

(5)

其中：H表示發(fā)車時間間隔；α表示系數(shù)，可由發(fā)車間隔所服從的分布和乘客到達(dá)時間間隔分布決定。當(dāng)公交線路發(fā)車間隔和乘客到達(dá)時間間隔均服從均勻分布時，α=0.5。

電動公交車的實際平均行駛速度Vb1與站點個數(shù)N有關(guān)，假設(shè)各站點?？繒r間固定為β，電動公交在路段上最大行駛速度為Vbmax，則電動公交車的實際行駛速度Vb1可表示為：

(6)

因此，Vb表示為：

(7)

由此可得各站點乘客數(shù)量Qs為：

(8)

將公式(2)、(4)、(5)、(7)代入到公式(8)中得到各站點乘客數(shù)量Qs為：

(9)

圖1 線性交通走廊上公交線路布局示意圖

1.3 消費(fèi)者剩余

由于公共交通是公益性的，因此以社會福利最大化作為決策者的目標(biāo)更為合理。社會福利(W)由消費(fèi)者剩余(G)和公交運(yùn)營商純利潤(π)兩部分組成，即：

W=G+π。

(10)

接下來分別對消費(fèi)者剩余和公交運(yùn)營商純利潤進(jìn)行討論。

首先定義站點s的消費(fèi)者剩余Gs。根據(jù)公式(2)可以得到關(guān)于票價的需求密度函數(shù)為：

(11)

因此對于乘客從x處到s站點乘車的消費(fèi)者剩余G(x,s)為：

(12)

所以s站點的消費(fèi)者剩余Gs為：

(13)

所以總消費(fèi)者剩余為：

(14)

1.4 運(yùn)營商純利潤

運(yùn)營商純利潤(π)等于總收益(R)減去總成本(C)，即：

π=R-C，

(15)

其中，總收益等于各站點乘客票價收益，即：

(16)

其中，Qs由公式(8)得到。

運(yùn)營商的總成本包括購車成本Cb、運(yùn)營成本Co、充電站及充電樁配置成本Ce、充電等待時間成本Cw4個部分組成，公式表示為：

C=Cb+Co+Ce+Cw。

(17)

購車成本用購買一輛車價格cb乘以車輛總數(shù)F，用公式表示為：

Cb=cb·F。

(18)

運(yùn)營成本僅考慮電動公交車每天車輛運(yùn)行所消耗的電量成本，根據(jù)A6可得：

(19)

其中，Toper表示線路每天運(yùn)行總時間，εe表示單位行駛里程耗電量成本。

充電站和充電樁配置成本包括固定成本與可變成本兩部分，公式表示為：

Ce=Δ0+cΔ，

(20)

其中，Δ0是充電站系統(tǒng)建設(shè)固定成本，Δ表示一個充電樁的成本，c表示充電樁總數(shù)量。

充電等待時間成本由總充電等待時間乘以單位等待時間成本η?？偝潆姷却龝r間等于每輛車平均充電等待時間乘以總車輛數(shù)。

(21)

(22)

其中，Ws根據(jù)有限源顧客排隊模型(M/M/c/∞/F)得到，具體推導(dǎo)公式如下：

(23)

(24)

(25)

其中，ρ=λF/cμ，λ表示車輛到達(dá)率，μ表示充電樁充電服務(wù)速率，F(xiàn)表示車隊總數(shù)量，c表示充電樁數(shù)量。

由公式(17)～(25)得到運(yùn)營商每天總成本為：

(26)

將公式(14)、(15)、(16)、(26)代入公式(10)得到社會福利為：

(27)

1.5 社會福利最大化模型

根據(jù)上文的分析，得出社會福利最大化模型為：

(28)

(29)

(30)

其中，公式(29)是運(yùn)量約束條件，表示運(yùn)量小于運(yùn)力，其中Q0表示電動公交車的最大裝載量。公式(30)是充電等待時間約束，推導(dǎo)過程如下：

(31)

(32)

(33)

由于t0≥0，因此有

(34)

2 充電策略對比研究

不同城市電動公交車充電策略是不同的，基本可以分為兩種充電方式：(1)公交車持續(xù)運(yùn)營直到電量不足再充電；(2)當(dāng)車輛一次運(yùn)行結(jié)束后，只要有空閑充電樁則充電。本文基于以上兩種充電策略，對以下兩種情形進(jìn)行對比分析研究。

圖2 充電車輛狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

情形二：電動公交車充電規(guī)則是當(dāng)車輛一次運(yùn)行結(jié)束到達(dá)充電站時，若有空余充電樁則立即充電，若沒有空余充電樁，則根據(jù)車輛剩余電量是否能滿足下一次循環(huán)運(yùn)行來決定是否排隊等待充電。將充電站看成一個排隊系統(tǒng)，系統(tǒng)里面的車輛數(shù)用n表示，λn表示系統(tǒng)中有n輛車時的到達(dá)率，μn表示系統(tǒng)中有n輛車時的離開率，pn表示系統(tǒng)中有n輛車的平穩(wěn)狀態(tài)概率。圖2為充電站內(nèi)車輛隊列狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖。

在平穩(wěn)狀態(tài)條件下，對于n>0，流入和流出狀態(tài)n的期望速率必相等，又有狀態(tài)n只能變成狀態(tài)(n-1)和(n+1)的事實，因此可得到狀態(tài)n的平衡方程為：

λn-1pn-1+μn+1pn+1=(λn+μn)pn。

(35)

一般地，可用歸納法得到：

(36)

(37)

將公式(37)代入公式(36)即可得到狀態(tài)概率pn的值，又有Little公式：

(38)

其中，L系統(tǒng)表示充電站系統(tǒng)中充電車輛的期望數(shù)，λeff表示充電車輛有效到達(dá)率。因此可以算出充電站內(nèi)車輛充電等待時間Ws，其中有效到達(dá)率計算式為：

(39)

3 求解算法

根據(jù)公式(28)～(30)提出的社會福利最大化模型，以構(gòu)造拉格朗日函數(shù)法設(shè)計求解算法，在算例中將本算法與遺傳算法進(jìn)行對比分析，下面分別介紹拉格朗日函數(shù)法求解算法與遺傳算法。

3.1 拉格朗日函數(shù)法求解算法

針對所提出的社會福利最大化模型，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，尋求規(guī)劃問題的K-T點，運(yùn)用KKT條件和約束條件建立方程組，并討論乘子的取值以確定最優(yōu)性條件[14-15]。分別對變量和乘子求偏導(dǎo)，結(jié)果如下：

(40)

基于公式(40)設(shè)計求解方法，具體步驟如下：

Step2：更新設(shè)計變量。根據(jù)公式(40)依次更新發(fā)車頻率、票價和站間距。

Step4：終止檢查。如果連續(xù)迭代得到的目標(biāo)函數(shù)值足夠接近，則終止算法并輸出變量最優(yōu)解{D*,H*,f*,c*,F*}和最大社會福利值W*。否則，令j=j+1并轉(zhuǎn)到Step2。

在具體應(yīng)用中，基于拉格朗日函數(shù)法的優(yōu)化算法流程圖如圖3所示。

值得注意的是，以上的算法步驟是基于確定的站點個數(shù)，求解對應(yīng)站點個數(shù)的最優(yōu)解。由于實際中站點個數(shù)是有限的，因此可以通過對比不同站點個數(shù)情況下最優(yōu)社會福利值，得到最終解。

3.2 遺傳算法模型求解

遺傳算法是一種智能算法，一般被用來求解VRP問題，Holland教授在1975年首先提出，是一種基于自然選擇和基因遺傳學(xué)的全局搜索方法，通過選擇、交叉、變異等遺傳算子來仿真生物的進(jìn)化過程，利用適應(yīng)度函數(shù)來表示染色體的優(yōu)良性。遺傳算法模擬達(dá)爾文的自然進(jìn)化論和遺傳變異理論，適合求解復(fù)雜的多極值優(yōu)化問題和組合問題，具有廣泛的應(yīng)用價值[16-17]。圖4為遺傳算法流程圖，編碼采用的是二進(jìn)制Gray編碼，文中社會福利值即作為個體適應(yīng)度函數(shù)。

圖3 拉格朗日求解算法流程圖

圖4 遺傳算法流程圖

4 算例分析

4.1 算例設(shè)置

本節(jié)使用一個數(shù)值算例來驗證文中所提出的模型和求解算法的有效性。以蘇州市931路純電動公交線路為參考案例，如圖5所示。

圖5 蘇州市931公交線路圖

蘇州市931路公交車服務(wù)于新莊立交換乘樞紐和南環(huán)橋站之間，公交線路全長約12.4 km，共有23個站點。算例線路長度B設(shè)置為12.4 km，人口密度參考蘇州市區(qū)2016年末平均人口密度1184人/km2，其余參數(shù)見表1。

表1 算例參數(shù)值

4.2 求解結(jié)果分析

4.2.1 基于拉格朗日函數(shù)法求解結(jié)果

根據(jù)第3.1節(jié)拉格朗日函數(shù)法求解算法對上述算例進(jìn)行求解。圖6表示在不同站點個數(shù)情況下的最優(yōu)福利值，線條表示圖中點的擬合曲線。圖7表示在不同站點個數(shù)情況下，對應(yīng)求解的最優(yōu)票價、發(fā)車間隔、車隊規(guī)模和充電樁數(shù)量。從圖6中可以看出，隨著站點的增加，社會福利先增加后減小,其中在第27個站點處社會福利取得最大值，為22 578 元/d。此時票價為0.630 4 元、發(fā)車間隔為4.338 9 min、總車隊車輛為27輛、充電樁個數(shù)為7個。從圖7中可以看出，隨著站點數(shù)增加，車隊規(guī)模和充電樁個數(shù)逐漸增加，而發(fā)車間隔逐漸減小，其中車隊數(shù)量增加速度遠(yuǎn)大于充電樁數(shù)量增加速度。對于票價，根據(jù)公式(38)可知其最優(yōu)值等于運(yùn)量約束(公式29)的拉格朗日乘子。因此，當(dāng)最優(yōu)結(jié)果下運(yùn)力大于運(yùn)量時，票價則為0，從圖7中也可以看出有很多結(jié)果為0的情況，如站點數(shù)為14、18、20等時，票價為0。相反，當(dāng)在社會福利最大化模型中運(yùn)量約束起作用時，票價則不為0。實際中，應(yīng)避免票價為0的公交線路設(shè)計。原因在于如果票價為0，那么將導(dǎo)致出行者或政府出現(xiàn)機(jī)會成本的損失[18]。

圖6 不同站點個數(shù)下的最優(yōu)社會福利

圖7 不同站點個數(shù)下各變量最優(yōu)值

4.2.2 遺傳算法求解結(jié)果

用上述算例中同樣的參數(shù)，輸入遺傳算法中，求解結(jié)果如圖8所示。圖8表示每一代種群適應(yīng)度變化，其中每一代種群最優(yōu)適應(yīng)度值的變化即為解的變化。圖9是圖8中解的變化曲線放大形式，星號點即表示最優(yōu)解。根據(jù)求解結(jié)果顯示在第31代得到最優(yōu)結(jié)果值，各變量結(jié)果分別為票價0.732 4元、發(fā)車間隔為4.278 min、車輛數(shù)為29輛、充電樁數(shù)量為8、站點個數(shù)為31個、社會福利值為22 389 元/d。對比兩種算法求解結(jié)果如表2所示

表2 算法求解結(jié)果對比

對比結(jié)果顯示，拉格朗日函數(shù)法求解的最優(yōu)社會福利值大于遺傳算法求解值，且算法運(yùn)行效率更高(所使用計算機(jī)處理器為i7-8550U，內(nèi)存8 GB)。

圖8 遺傳算法求解結(jié)果圖

圖9 每一代最優(yōu)個體適應(yīng)度值

4.3 充電策略對比研究分析

根據(jù)社會福利最大化模型(公式28)可知，在票價、發(fā)車間隔、站點位置、車隊規(guī)模、充電樁數(shù)量不變情況下，社會福利只與車輛充電等待時間成本有關(guān)。以上述算例為例，在站點數(shù)為27個、票價為0.630 4元、發(fā)車間隔為4.338 9 min、總車隊數(shù)量為27輛、充電樁個數(shù)為7的情況下，根據(jù)有限源顧客排隊模型(M/M/7/∞/27)得到Ws=2.224 6。

根據(jù)情形二分析，將已知變量代入公式(37)得

因此，根據(jù)公式(36)可計算出充電站系統(tǒng)中有n輛車排隊等待的平穩(wěn)狀態(tài)概率pn，表3列出了pn>10-3的值及對應(yīng)充電系統(tǒng)內(nèi)車輛數(shù)。

表3 主要狀態(tài)概率值

根據(jù)Little公式計算得到L系統(tǒng)=6.896 6，Ws=3.420 9。對比Ws可得到，在此算例中，情形一優(yōu)于情形二。

情形一和情形二的優(yōu)劣只取決于車輛充電等待時間成本，而充電等待時間與發(fā)車間隔、線路長度、車隊規(guī)模、充電樁數(shù)量有關(guān)。由于排隊論公式復(fù)雜，難以直接化簡比較，因此以數(shù)值為例，計算兩種情形下充電等待時間(充電排隊長度)與發(fā)車間隔、線路長度、車隊規(guī)模、充電樁數(shù)量之間的關(guān)系。

圖10a、10b分別表示在發(fā)車間隔為10 min、充電樁為7個的情況下，情形一和二中車輛充電排隊長度與線路長度和車隊規(guī)模之間的關(guān)系。從圖10a中可看出，情形一下，線路長度對排隊長度有持續(xù)較大影響，而車隊規(guī)模對排隊長度有一定的影響，且隨著線路長度變大，影響也變大。而從圖10b顯示，在情形二下，當(dāng)車輛數(shù)F小于等于c+1時，車隊規(guī)模對充電樁排隊長度影響很大，這是由于充電樁過多，當(dāng)車輛數(shù)低于充電樁數(shù)量時，增加車輛數(shù)，即是增加充電車輛總數(shù)，因此，總的排隊長度增加，而當(dāng)車輛數(shù)F大于c+1時，車隊規(guī)模將對充電樁排隊長度影響變的很小。對于線路長度對排隊長度的影響，從圖10b中可看出，情形二中當(dāng)線路長度比較短的時候(數(shù)值算例中10km以內(nèi))，線路長度對排隊長度影響大，而當(dāng)線路過長時，線路長度對于排隊長度的影響變低。

圖10 線路長度、車隊規(guī)模和充電排隊長度關(guān)系

5 結(jié)語

本文以社會福利最大化為目標(biāo)，建立了線性交通走廊中公交線路設(shè)計變量的優(yōu)化模型。模型考慮電動公交充電等待時間約束，優(yōu)化了站點數(shù)量與位置、發(fā)車頻率、票價、車隊規(guī)模以及充電樁數(shù)量，以拉格朗日函數(shù)法求解算法和遺傳算法對模型進(jìn)行求解，并詳細(xì)分析了兩種不同充電策略對充電排隊等待時間的影響，對不同條件下充電策略的優(yōu)劣進(jìn)行了比較分析。該模型可為電動公交車線路規(guī)劃提供決策依據(jù)。

依托本文的優(yōu)化模型，可進(jìn)一步從以下幾個方面進(jìn)行拓展：(1)往往有多條線路共用一個首末站，因此未來可以進(jìn)一步研究這個因素對充電樁配置的影響以及電動公交線網(wǎng)規(guī)劃問題。(2)本文沒有考慮人口密度大小對線路參數(shù)設(shè)計的影響，不同城市人口密度相差很大，而且同一地區(qū)隨著時間的推移人口密度也會產(chǎn)生較大變化，因此，分析人口密度的影響具有現(xiàn)實意義。(3)車輛規(guī)?；a(chǎn)、充電電池技術(shù)進(jìn)步以及政府補(bǔ)貼政策變化對車輛價格的影響以及車輛運(yùn)行速度對模型的影響有待進(jìn)一步研究。