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探究高考題中離心率背后昀“秘密”

2019-12-06 06:26韓維崢
中學生數理化·高三版 2019年2期
關鍵詞:弦長等式橢圓

韓維崢

離心率是圓錐曲線的重要幾何性質,是描述圓錐曲線形狀的重要參數。圓錐曲線離心率的確定與應用是高考的高頻考點。“求圓錐曲線的離心率的值或取值范圍”是常見題型,認真研究可以發(fā)現,單獨考查離心率求法的題目很少,多數情況下是以離心率為背景,考查平面幾何、平面向量、直線方程、解三角形等知識的綜合運用,體現了知識的綜合性和交匯性,這是高考命題的熱點和方向。如何應對這種復雜的變化呢?筆者覺得,還是“萬變不離其宗”,這里的“宗”就是建立恰當的等量關系或不等關系,以得到含有離心率e的等式或不等式,使問題得到解決。

一、方法突破

點評:本題考查橢圓離心率的求值,在求解的過程中,一定要注意條件“一個焦點為(2,0)”的隱含之意是“焦點在x軸上”,牢記離心率公式,結合橢圓中a,b,c的關系求得結果,此題較易。

點評:本題以考查橢圓的離心率的求值為背景,綜合運用平面幾何知識、直線斜率的幾何意義、橢圓的幾何性質,建立關于a,c的等量關系,使問題得以解決,屬于中檔題。

分析:由直線與圓的位置關系知,圓心到直線的距離等于半徑,從而得到n,6的關系,消去6可得離心率。

點評:本題以考查橢圓的離心率為背景,綜合運用直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式、橢圓的性質c2 =a2-b2,建立關于a,c的等量關系,使問題得以解決,屬于中檔題。

分析:本題以橢圓內點線的交錯關系為條件,而目標是求橢圓的離心率,所以思考方向自然是要得到a,b,c滿足的等量關系,那么方向不外乎兩個:利用坐標關系或幾何關系,抓住條件“直線BM經過OE的中點”作為突破口,適當轉化,獲得所需等式。

點評:本題以考查橢圓的離心率為背景,綜合運用平面幾何知識、三點共線、直線方程和橢圓的性質進行多角度突破,體現了高考的立意和命題思想。離心率問題主要有三種常用思路:(1)直接求得a,c的值,進而求得。的值;(2)建立a,b,c的齊次等式,求得b/a或轉化為關于e的等式求解;(3)通過特殊值或特殊位置,求出e。本題給出了四種方法,其中解法一、解法二運用代數法建立a,c的關系,運算量比較大,加大了算錯的概率,而解法三、解法四運用了幾何法,利用數形結合建立a,c的關系,減少了運算量,所以在解決橢圓的離心率求值問題時,要充分考慮幾何性質,優(yōu)化解題思路。

點評:橢圓定義的應用主要有兩個方面:一是判斷平面內動點與兩定點的軌跡是否為橢圓;二是利用定義求焦點三角形的周長、面積,以及橢圓的弦長和離心率等問題?!敖裹c三角形”是橢圓問題中的??贾R點,在解決這類問題時經常會用到正弦定理、余弦定理及橢圓的定義。

分析:利用弦長和點到直線的距離公式可以得到b,c滿足的方程,再消去b得a,c滿足的方程,從而求得離心率。

點評:本題以考查雙曲線的離心率為背景,綜合運用圓的弦長公式及點到直線的距離公式,所以本題要充分利用好圓的半徑、弦長的一半、圓心到弦的距離,三者之間滿足勾股定理,可得b,c滿足的齊次式,再結合b2=c2-a2,消去b得a,c滿足的齊次式,然后等式兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程,解方程即可得e。

點評:本題考查的是雙曲線離心率的取值范圍,解題關鍵是建立e,a的關系,即用a去表示e,再運用函數值域的求法求得結果,難度一般。

高考題千變萬化、常出常新,命題人更是人才濟濟、別出心裁,對我們學生來說,能夠立足根本、以不變應萬變才是正確的備考之路。

(責任編輯 王福華)

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