張嫦

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，且每一個概念不是孤立存在的，它和其他知識之間存在多維的結(jié)構(gòu)關(guān)系。筆者認為，在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注概念的寬度、深度和完整度，引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)知識融會貫通，才能達到對概念內(nèi)涵的豐富性理解。

一、關(guān)注寬度，欣賞概念的不同側(cè)面和豐富內(nèi)涵

寬度即多角度，教師要能抓住一個概念的不同側(cè)面和豐富內(nèi)涵，便于在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進行多角度學(xué)習(xí)。在實際教學(xué)中，一些教師常常只注重概念的某個側(cè)面，特別是教材中標準的例子，忽視非標準的變式，導(dǎo)致學(xué)生不能很好地理解概念內(nèi)涵，在解題過程中也就不懂得靈活運用。

例如，“分數(shù)除法的意義”與“整數(shù)除法的意義”都可看成是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。但分數(shù)在學(xué)生眼里還是十分抽象的，雖然說分數(shù)也是一個數(shù)，但學(xué)生容易將之與整數(shù)除法相混淆。為了豐富學(xué)生對“分數(shù)除法的意義”的理解，教師可以把數(shù)學(xué)和現(xiàn)實世界的情境聯(lián)系起來，用不同角度進行描述。如算式 ÷ ，可以描述成：我這里有 千克糖，如果每包 千克，一共能分成多少包？也可以描述成：有兩包糖，白糖是 千克，紅糖是 千克，白糖質(zhì)量是紅糖質(zhì)量的幾倍？這兩種描述都可以表示 ÷ ，但它們對應(yīng)的數(shù)值模型是不同的。對同一個除法算式，通過多角度、不同的數(shù)值模型進行解釋，能引導(dǎo)學(xué)生靈活地理解概念。

關(guān)注寬度還應(yīng)拓寬概念的內(nèi)涵，不囿于教材所示的“定義”。如教材這樣定義“比”：兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除。而實際上，比是一種關(guān)系，不是除法運算，只有在求比值時才用到除法。“比”原本是同類量的比較關(guān)系，但也可以推廣到不是同類量的情形。也就是說“比”是一種關(guān)系，它揭示了兩個變量之間一種不變的關(guān)系，這是“比”概念的本質(zhì)。在教學(xué)引入時，筆者創(chuàng)設(shè)調(diào)配蜂蜜水的情境，假設(shè)蜂蜜和水的比是1∶8，鼓勵學(xué)生從分數(shù)、份數(shù)、倍數(shù)等不同的角度來理解“1∶8”的含義，感悟到比的度量價值。接著再引導(dǎo)學(xué)生思考如果蜂蜜量的變化，水應(yīng)如何變化，從中感悟蜂蜜和水之間必須保持的不變關(guān)系——倍數(shù)關(guān)系。通過“你變我也變，是有規(guī)律地在變”，讓學(xué)生體會到“比是一種函數(shù)關(guān)系”。最后再探究不同類量的“比”，感悟比在生活運用中的便利。多角度拓寬“比”概念內(nèi)涵，而不是簡單地把“比”說成兩數(shù)相除，才能突顯概念教學(xué)的價值。

二、關(guān)注深度，挖掘概念的基本思想和數(shù)學(xué)本質(zhì)

深度即數(shù)學(xué)本質(zhì)，教師應(yīng)抓住概念的基本思想和數(shù)學(xué)原理，并時常重溫和強化它們。很多看似簡單的數(shù)學(xué)概念背后蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，但部分教師沒有在教學(xué)中加以深究，慢慢就把這些思想方法沖淡甚至遺失了。

例如，教材上指出“含有未知數(shù)的等式叫方程”，這其實不是嚴格的定義，區(qū)分等式、不等式和辨認方程也不是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。方程作為一種數(shù)學(xué)模型，目的是對其運用以“求解”未知數(shù)。方程的代數(shù)運算和算術(shù)解法的思維方式正好相反，一個是摸著石頭過河，一個是已經(jīng)與河對岸建立關(guān)系來探索原路。因此，在方程的意義教學(xué)中，應(yīng)淡化“含有未知數(shù)的等式叫方程”，突出概念背后的方程思想方法并在教學(xué)中逐步滲透。

關(guān)注深度還應(yīng)突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，鼓勵學(xué)生主動思考，主動探究，在探究過程中提升學(xué)生的理性精神，引導(dǎo)學(xué)生進行有意義的學(xué)習(xí)。如“面積的意義”，教材上指出“物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”，很多教師會圍繞這句話進行教學(xué)設(shè)計，反復(fù)討論什么是表面、什么是封閉情形。這樣做其實意義不大，面積的教學(xué)核心是如何測量圖形的大小。它與長度和體積作為一種測量過程其本質(zhì)是一樣的，只不過圖形的維度不同。因此，在教學(xué)面積時，可以先回顧長度的測量過程，將面積的測量過程與長度的測量過程進行類比，再次揭示測量的數(shù)學(xué)本質(zhì)。然后分三步進行教學(xué)：第一步給出單位正方形，第二步對測量物體進行“覆蓋”或“內(nèi)填”，第三步數(shù)出單位正方形的個數(shù)。這樣的三步，面積的數(shù)學(xué)理論就有了雛形。

三、關(guān)注完整度，溝通概念之間的聯(lián)系和方法遷移

完整度即融會貫通，教學(xué)時應(yīng)把相關(guān)概念“粘連”成一個融會貫通的整體，形成一定的概念系統(tǒng)。如果教師不注意相關(guān)概念的聯(lián)系教學(xué)，學(xué)生習(xí)得的概念就顯得零碎而孤立，無法將相關(guān)聯(lián)的概念知識串成知識網(wǎng)絡(luò)。

例如，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的加減法貫穿小學(xué)各個階段，它們的含義都是求幾個部分數(shù)的和的運算。它們的計算方法從表面上看似不同，但實質(zhì)上它們有一個共同的特點——相同計數(shù)單位的數(shù)才能直接相加減。在教學(xué)“分數(shù)加減法”時，教師就應(yīng)該把分數(shù)加減法和整數(shù)、小數(shù)加減法溝通起來，引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么整數(shù)加減法要個位對齊，小數(shù)加減法要小數(shù)點對齊？個位對齊和小數(shù)點對齊表面上看計算方法不一樣，但不管對齊個位還是小數(shù)點，都是相同計算單位上的數(shù)對齊才能進行運算。在充分理解了這一點后，學(xué)生就能明白為什么同分母分數(shù)可以直接相加減，而異分母分數(shù)要先通分再加減這個道理。乘除法也是一樣的，如30×2、0.3×2、 ×2，表面上看分別屬于整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分數(shù)乘法三種計算方法，實際上它們也是相通的，只不過計算單位不同，分別可以得到6個十、6個0.1和6個 。

關(guān)注完整度還應(yīng)該重視學(xué)習(xí)方法的遷移，也就是概念同化。在學(xué)生原有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分認識原有概念和新概念之間的聯(lián)系，使舊概念得到改組或改造，從而獲得新的概念。如在教學(xué)“圓柱的側(cè)面積”時，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧長方體的側(cè)面積計算過程是把三維立體圖形化為二維平面圖形，依次計算出每個面的面積再相加;也可以把側(cè)面展開變成一個大長方形，長方形的長就是長方體的底面周長，寬就是長方體的高，從而得出長方體的側(cè)面積=底面周長×高。隨后，筆者再把要學(xué)的圓柱、長方體和正方體以及具有共通思維方式的三棱柱、五棱柱等直柱體整合在一起，引導(dǎo)學(xué)生思考這些立體圖形的共同特征和本質(zhì)上的聯(lián)系，再去考慮圓柱的側(cè)面積問題。通過關(guān)聯(lián)這些直柱體，用共通的思維方式，化三維為二維，學(xué)生能體會到盡管它們各自有其特殊的表面積計算公式，但它們的側(cè)面積計算都可以概括為“底面周長×高”。

關(guān)注完整度，能防止學(xué)生學(xué)得的知識顯得支離破碎，學(xué)生學(xué)到的不再是孤立的專題，而是知識的有機整體。

總之，教師應(yīng)關(guān)注概念的寬度、深度和完整度，讓學(xué)生明白概念的發(fā)展脈絡(luò)，才可豐富學(xué)生對概念的理解。

（作者單位：福建省廈門市湖明小學(xué) ? ?責(zé)任編輯：王振輝）