孫磊

【摘要】通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)“空間向量的工具性”認(rèn)識(shí)不足，教材中“空間向量在立體幾何中的應(yīng)用”內(nèi)容設(shè)計(jì)略顯單薄.結(jié)合對(duì)高考試題的分析，在實(shí)際教學(xué)中對(duì)該部分做了進(jìn)一步的充實(shí).

【關(guān)鍵詞】空間向量;立體幾何;實(shí)踐調(diào)查;高考要求

空間向量是研究立體幾何問(wèn)題的重要工具，在建立了空間直角坐標(biāo)系之后，幾何圖形立體感更強(qiáng)，有效提高了學(xué)生的空間想象能力.但通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生仍然在空間向量的應(yīng)用過(guò)程中存在一定的困難.筆者對(duì)教學(xué)及教材的使用進(jìn)行了針對(duì)性的反思，總結(jié)出一點(diǎn)心得，寫(xiě)下來(lái)與大家分享.

高中階段，空間向量是用來(lái)研究立體幾何問(wèn)題的一個(gè)工具，我們可以利用它處理立體幾何的各類題型，但它畢竟只是工具，不能把它的結(jié)論等同于要研究的立體幾何問(wèn)題.筆者曾經(jīng)有意識(shí)地做過(guò)這樣的調(diào)查，每隔三天讓學(xué)生做一道求“兩條直線所成的角”“直線與平面的夾角”或是“二面角”的立體幾何習(xí)題.持續(xù)了一個(gè)月之后，筆者發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)毫不猶豫地選擇利用空間向量求角，但往往求出兩個(gè)向量的夾角的余弦值之后，就認(rèn)為題目已經(jīng)做完了，有一部分學(xué)生總是會(huì)忘記討論向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，還有一部分學(xué)生，雖然記得轉(zhuǎn)化，卻時(shí)常搞不清哪一類型的角對(duì)應(yīng)哪一種轉(zhuǎn)化方式，因而不能寫(xiě)出最終的正確結(jié)論而造成了失分.這種現(xiàn)象暴露出了學(xué)生解題思路的不完整、不清晰.

筆者仔細(xì)研讀教材，在教學(xué)時(shí)除了增加必要的例題，也為“利用空間向量求直線與平面的夾角”和“利用空間向量求二面角”這兩部分內(nèi)容，設(shè)計(jì)相應(yīng)的“算法”，歸根結(jié)底，就是幫助學(xué)生規(guī)范這兩類問(wèn)題的解題思路，讓學(xué)生更好地理解和應(yīng)用.筆者的具體做法如下：

在講“直線與平面的夾角”一節(jié)內(nèi)容時(shí)，首先向?qū)W生介紹“借助平面的法向量求直線與平面的夾角”的方法，然后補(bǔ)充一道相對(duì)應(yīng)的例題.內(nèi)容如下：

借助平面的法向量求直線l與平面α的夾角θ的步驟為：

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）求出直線l的方向向量v和平面α的法向量n;

（3）求出兩個(gè)向量v和n的夾角;

（4）sinθ=|cos〈v，n〉|，θ即為所求的角.

例 如圖所示，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AD=AA1=3，AB=3，求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.

解 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線AB，AD，AA1為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B1（3，0，3），C1（3，1，3），A（0，0，0），C（3，1，0），D1（0，3，3），B1C1=（0，1，0），AC=（3，1，0），AD1=（0，3，3）.

設(shè)平面ACD1的法向量n=（x，y，z），則AC·n=0且AD1·n=0，

即（3，1，0）·（x，y，z）=3x+y=0且（0，3，3）·（x，y，z）=3y+3z=0，

解得y=-3x，z=-y，

不妨令x=1，得n=（1，-3，3）.

cos〈B1C1，n〉=B1C1·n|B1C1|·|n|=-31×7=-217.

設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，

則sinθ=|cos〈B1C1，n〉|=217，

∴直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為217.

在講“二面角及其度量”一節(jié)時(shí)，講解例題之前，向?qū)W生介紹“借助平面的法向量求二面角”的方法.內(nèi)容如下：

借助平面的法向量求平面α與平面β的夾角θ的步驟為：

（1）建立空間直角坐標(biāo)系，并寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）分別求出平面α，β的法向量n1，n2;

（3）求出兩個(gè)向量n1和n2的夾角;

（4）根據(jù)圖形確定所求二面角是銳角還是鈍角，從而確定θ=〈n1，n2〉或是θ=π-〈n1，n2〉，θ即為所求的角.

以上就是筆者在教學(xué)實(shí)踐中針對(duì)發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題所采取的辦法，筆者清楚認(rèn)識(shí)到：教什么，怎么教，首先要滿足學(xué)習(xí)主體——學(xué)生的需求，才能更好地配合新的教學(xué)模式改革的進(jìn)程.

【參考文獻(xiàn)】

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