■河南省許昌高級中學(xué) 郭曼曼
縱觀近幾年全國高考試題,多以導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合性問題作為壓軸題出現(xiàn)。這類試題,由于試題新穎,綜合性強(qiáng),方法多樣,技巧性強(qiáng),所以難度往往很大。本文結(jié)合幾道例題,給出破解“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”試題的一些技巧,使這類問題的求解也具有一定的通性通法,降低解題難度。
例1 設(shè)函數(shù),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=e(x—1)+2。證明:f(x)>1。
思路1:變證為求。
將不等式轉(zhuǎn)換成g(x)>h(x)的形式?g(x)min>h(x)max。
要證f(x)>1,即證即
令g(x)=xl nx,h(x)=,則g "(x)=1+l nx。
當(dāng)x∈時,g "(x)<0;當(dāng)x∈時,g "(x)>0。
所以g(x)min=
同理,求出h(x)max=h(1)=—所以g(x)>h(x),即f(x)>1。
思路2:利用不等式的基本性質(zhì)先進(jìn)一步適當(dāng)放縮后再構(gòu)造函數(shù)不等式。
令g(x)=exl nx+1(x>0),所以g "(x)=e(1+l nx),令g "(x)=0得
當(dāng)0<x≤時,1+l nx≤0,所以g "(x)≤0;當(dāng)x>時,1+l nx>0,所以g "(x)>0。
所以函數(shù)g(x)=exl nx+1(x>0)的減區(qū)間為,增區(qū)間為
所以g(x)min==0,所以?x>0,≥0,當(dāng)且僅當(dāng)時,不等式取等號。
而?x>0,ex—1≥x(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時,不等式取等號),又≠1,當(dāng)x>1時,>0,即e l n,所以e l nx+,所以成立。
歸納:有些問題可以按照常規(guī)思路和方法直接構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)求解,但由于判斷其導(dǎo)數(shù)的符號或求最值遇到難以克服的困難,因此常常陷入困境。但是,若能適當(dāng)改變問題結(jié)構(gòu),同時調(diào)整證題方向,如變證為求,有時可收到“化難為易”的神奇效果。例1中的思路2根據(jù)教材習(xí)題上的恒成立的函數(shù)不等式ex≥x+1,利用證明不等式的基本方法——放縮法,先將原不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換,再進(jìn)行放縮,可以看出要證明原函數(shù)不等式,只要證明不等式e l nx+>0(x>0),相比思路2,思路1的變證為求同學(xué)們更容易想到。
例2 已知函數(shù)f(x)=a xsinx—且在上的最大值為。求f(x)的解析式;判斷函數(shù)f(x)在(0,π)內(nèi)的零點的個數(shù),并加以證明。
解析:由已知得f "(x)=a(sinx+xc o sx),對任意的x∈,有sinx+xc o sx>0。
當(dāng)a=0時,f(x)=—,不合題意。
當(dāng)a<0時,f(x)在上單調(diào)遞減,最大值為f(0)=—,不合題意。
當(dāng)a>0時,f(x)在上單調(diào)遞增,最大值為f,解得a=1。
綜上可知,f(x)=xsinx—
下面判斷函數(shù)在(0,π)內(nèi)的零點的個數(shù)。
思路1:常規(guī)思路。
利用f "(x)研究f(x)在(0,π)上的性質(zhì),即研究f(x)的單調(diào)性及最值等,但求f "(x)=0的根是一個難以逾越的難關(guān)。題目沒有要求零點的具體值,只是判定零點個數(shù)而已,于是考慮“設(shè)而不求”。
思路2:設(shè)而不求。
由于x∈時,f "(x)>0,且f(0)>0,因此由連續(xù)函數(shù)零點存在性定理,?x1∈,使f(x)=0,即x是11函數(shù)f(x)的一個零點。
令φ(x)=f "(x)=sinx+xc o sx,則φ "(x)=2 c o sx—xsinx。
當(dāng)x∈時,φ "(x)<0,又φ0,φ(x)<0,于是
當(dāng)x∈(x0,π)時,φ(x)=f "(x)<0。又>0,f(π)<0,所以?x(x,20π),使f(x2)=0,即f(x)在[x0,π]內(nèi)存在一個零點。
綜上可知,f(x)在(0,π)內(nèi)存在兩個零點。
歸納:有些涉及方程的根或函數(shù)零點的問題,許多時候題目只是要確定零點的存在性、零點的個數(shù)或零點所在的范圍,而無需求出零點。因此,這類問題可以“設(shè)而不求”,化難為易。
例3 已知函數(shù)f(x)=(x—2)ex+a(x—1)2(a>0)有兩個零點。設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點,證明x1+x2<2。
思路1:分析法尋求x1+x2<2的等價命題,結(jié)合函數(shù)在區(qū)間(—∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減,證明f(2—x2)<0,通過構(gòu)造新函數(shù),將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。
因為a>0,不妨設(shè)x1<x2,x1<1,x2>1?2—x2<1。又f(x)在區(qū)間(—∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減,所以x1+x2<2?x1<2—x2?f(x1)>f(2—x2),即f(2—x2)<0。
令g(x)=—xe2—x—(x—2)ex?g "(x)=(x—1)(e2—x—ex)<0?g(x)在R上單調(diào)遞減。
由g(1)=0?g(x2)=f(2—x2)=—xe2—x2—(x—2)ex2<0,得x+x<2。2212
當(dāng)然,也可以將2—x1>1作為突破口,結(jié)合函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,證明f(2—x1)>0,通過以上相同解法得證。
思路2:對于極值點偏移問題,常構(gòu)造新函數(shù)F(x)=f(2x0—x)—f(x),或借助于拉格朗日中值定理構(gòu)造新函數(shù)F(x)=f(x0+x)—f(x0—x),其中x0為y=f(x)的極值點。利用F(x)≤0(或F(x)≥0),結(jié)合y=f(x)的單調(diào)性來證明偏移問題。
由于a>0,不妨設(shè)x1<x2,x1<1,x2>1?2—x2<1,1—x1>0。又f(x)在區(qū)間(—∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,極值點為1,構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x+1)—f(1—x)=(x—1)ex+1+(x+1)·e1—x?F "(x)=x(e1+x—e1—x)。
當(dāng)x>0時,F(xiàn) "(x)>0?F(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則F(x)>F(0)=0?f(1+x)>f(1—x)。由1—x1>0?1+(1—x1)>1,所 以f(x2)=f(x1)=f(1—(1—x1))<f(1+(1—x1))?f(x2)<f(1+(1—x1))。
又f(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以x2<1+(1—x1)?x1+x2<2,結(jié)論得證。
歸納:構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問題的常用手段,巧妙地構(gòu)造函數(shù)能使我們對問題有更加深刻的認(rèn)識,是解題的銳利武器。常用的構(gòu)造方法有移項作差、結(jié)構(gòu)抽象、確定主元等。
例4 已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=l o gax,其中a>1。證明:當(dāng)時,存在直線l,使l是曲線y=f(x)的切線,也是曲線y=g(x)的切線。
思路1:設(shè)y=f(x)在點(x1,ax1)處的切線為l1:y=ax1l na(x—x1)+ax1,y=g(x)在點(x2,l o gax2)處的切線為l2:y=重合等價于消去x整2理得=0(*),曲線y=f(x)和y=g(x)有公切線,等價于關(guān)于x1的方程(*)有實數(shù)解。構(gòu)建函數(shù)只要證明當(dāng),函數(shù)y(x)有零點,即找到實數(shù)m,n使u(m)u(n)≤0。為簡化ax,取m=l o gae,則u(l o gae)=為找到n使u(n)<0,把u(x)放縮為簡單的函數(shù),為消去ax對其進(jìn)行放縮,觀察f(x)=ax的圖像,發(fā)現(xiàn)其圖像恒在點(0,1)處切線y=xl na+1的上方,用導(dǎo)數(shù)易證ax≥xl na+1。u(x)=ax(1—故1—xl na<0,即x>時,u(x)≤(1+xl na)(1—,此不等式右邊函數(shù)的圖像是開口向下的拋物線,故存在實數(shù)n,滿足且u(n)<0。
思路2:記b=ax( 1—xl na)+x+b,x→—∞時,g(x)→—∞,可在原點左側(cè)探求n,使u(n)<0。為消去ax,令ax<c(c為正數(shù)),即x<l o gac,當(dāng)1—xl na>0,即x<時,u(x)<c(1—xl na)+x+b=(1—cl na)x+c+b,當(dāng)1—cl na>0,即0<c<時,令(1—cl na)x+c+b<0,解得x<,故存在n,當(dāng)時,u(n)<0,其中
歸納:命題者的意圖是想讓考生通過研究函數(shù)u "(x)的零點、單調(diào)性和符號,找到函數(shù)u(x)的最大值u(x0),再證u(x0)≥0。本解法不用探求u(x)的最大值,無需前問鋪墊,通過特殊點的精準(zhǔn)驗證和函數(shù)式的靈活放縮,達(dá)到優(yōu)化解題的目的。