蓋盼盼，徐趙東，呂令毅，戴軍

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇南京，211189)

黏彈性材料作為一種高效的阻尼材料，已被廣泛應(yīng)用于航空航天、土木工程、機械工程等領(lǐng)域中的振動控制[1-2]。含有黏彈性材料或者具有黏彈性特性的結(jié)構(gòu)被稱為黏彈性結(jié)構(gòu)，其動力特性常受加載頻率和環(huán)境溫度的影響，表現(xiàn)為典型的頻率/溫度依賴性[2-3]，需用復(fù)模量模型[4-5]、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型[6-8]或積分型模型[9-10]進行本構(gòu)表達，其中積分型模型是基礎(chǔ)模型，其余模型均為該模型的近似或無限逼近[11]，所以，基于黏滯阻尼系統(tǒng)的實模態(tài)疊加法無法準(zhǔn)確獲得黏彈性結(jié)構(gòu)的頻域響應(yīng)。國內(nèi)外學(xué)者針對黏彈性結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的求解方法進行了大量研究，其中應(yīng)用最為廣泛的是模態(tài)應(yīng)變能法和狀態(tài)空間法，前者僅在一定程度考慮黏彈性材料儲能模量和損耗因子的頻率依賴性，并且對于高階模態(tài)參數(shù)的估計不準(zhǔn)確；后者雖然精度較高，但涉及復(fù)數(shù)計算，且計算量較大。MENON等[12]將黏彈性結(jié)構(gòu)的特征方程轉(zhuǎn)化為多項式方程，并在狀態(tài)空間中建立了等價一階系統(tǒng)，簡化了分析過程。DE LIMA 等[13]提出了采用子結(jié)構(gòu)裝配技術(shù)獲得黏彈性結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，并可以方便地與有限元模型結(jié)合，但準(zhǔn)確頻響函數(shù)的獲得對實驗設(shè)計的要求過于嚴(yán)苛。LáZARO 等[14]采用非阻尼特征向量和具有振蕩特性的復(fù)特征向量將黏彈性系統(tǒng)近似為等效黏滯模型，該方法兼?zhèn)淞擞嬎阈屎途龋珜?yīng)用于非比例阻尼水平較高的系統(tǒng)時應(yīng)謹(jǐn)慎考慮這種近似對精度的影響。石銀明等[15]引入黏彈性材料的微振子模型建立黏彈性結(jié)構(gòu)的動力方程，并采用魯棒性降階技術(shù)縮減方程的維數(shù)及提高計算效率。李創(chuàng)第等[16]引入黏彈性材料的廣義麥克斯韋模型建立黏彈性結(jié)構(gòu)的擴階方程，并基于復(fù)模態(tài)理論獲得了結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的解析解。具有強頻率依賴性的黏彈性結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的精確性和效率仍存在較難協(xié)調(diào)的問題，本文作者將經(jīng)典黏彈性本構(gòu)和傳統(tǒng)實模態(tài)疊加法結(jié)合起來，并采用分步迭代，避免求解含有復(fù)數(shù)的高階特征方程以提高計算效率；將黏彈性結(jié)構(gòu)頻域響應(yīng)的求解簡化為多個進行頻率依賴性函數(shù)修正的單自由度黏彈性結(jié)構(gòu)頻域響應(yīng)的疊加，以提高計算精度。

1 黏彈性結(jié)構(gòu)的動力方程

黏彈性材料由于特殊的微觀結(jié)構(gòu)而兼具黏性液體和彈性固體的特性，在動力作用下應(yīng)變滯后于應(yīng)力，從而產(chǎn)生阻尼效應(yīng)。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系常用松弛函數(shù)表示，其中廣義麥克斯韋模型應(yīng)用廣泛，力學(xué)模型如圖1所示，表達方式如下：

式(1)可以在頻域內(nèi)改寫為復(fù)模量的形式：

式 中：G?為剪切復(fù)模量；G0，Gj，cj和τj(τj=cj Gj為廣義麥克斯韋模型的參數(shù)，通過實驗數(shù)據(jù)擬合確定；i = -1，為虛數(shù)單位。

圖1 廣義麥克斯韋模型Fig.1 Generalized Maxwell model

當(dāng)結(jié)構(gòu)中含有黏彈性材料或具有黏彈性效應(yīng)，結(jié)構(gòu)的復(fù)剛度可寫成與式(2)相同的形式：

式中：K0為結(jié)構(gòu)中的線彈性剛度項；K1和K2分別為結(jié)構(gòu)黏彈性部分的儲能剛度和耗能剛度。若黏彈性結(jié)構(gòu)中的恢復(fù)力以復(fù)剛度的形式表示，則黏彈性結(jié)構(gòu)動力方程的頻域形式如下：

式中：M為黏彈性結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；F為施加于結(jié)構(gòu)上的動力荷載向量；u為位移矩陣。對于黏彈性材料，常用損耗因子η= imag(G?)/real(G?)表征材料的耗能能力，本文仿效黏彈性材料損耗因子的定義，定義黏彈性結(jié)構(gòu)的損耗因子矩陣如下：

式中：K=K0+K1定義為結(jié)構(gòu)的整體剛度。將式(5)代入式(4)，可獲得黏彈性結(jié)構(gòu)動力方程的一般頻域形式：

2 特征方程求解

從式(4)略去動力荷載向量，可獲得黏彈性結(jié)構(gòu)的特征方程：

式中：λ和?分別為特征方程的特征值和特征向量；λj= -ωj2(1 + iηj)；ωj為第j階模態(tài)頻率；ηj為第j階模態(tài)的損耗因子，與黏滯阻尼結(jié)構(gòu)中的阻尼比ξj的關(guān)系為ξj=ηjωj/(2ω)。從式(7)可以看出；K?為復(fù)數(shù)矩陣且具有明顯的頻率依賴性，致使黏彈性結(jié)構(gòu)的特征方程求解計算量大。為了避免復(fù)數(shù)運算，忽略方程中的耗能剛度，獲得無阻尼黏彈性結(jié)構(gòu)的特征方程：

需注意的是，當(dāng)ωj(ω)=ω時，獲得的模態(tài)頻率、振型和損耗因子才是考慮剛度矩陣頻率依賴性的模態(tài)頻率振型和損耗因子。為適用于實模態(tài)疊加法，本文對迭代法[17]進行分步處理來計算黏彈性結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，目的在于避免復(fù)數(shù)運算，依次求得模態(tài)頻率和模態(tài)損耗因子。首先假設(shè)K(ω)=K(0)，求得的第一階模態(tài)頻率作為初始迭代頻率ω(0)1，進而更換剛度矩陣K(ω)=K(ω(0)1)，重新求解特征方程(8)，將獲得新第一階模態(tài)頻率代入如下收斂準(zhǔn)則進行比較：

式(9)中，ε通常取較小值作為迭代法的收斂值。依此類推，可以獲得N個感興趣的模態(tài)頻率與振型。整個收斂過程可以用下式表達：

模態(tài)損耗因子的計算還需要考慮耗能剛度K2的頻率依賴性，可以按照下式計算：

振型?j為歸一化振型，滿足?Tj ?j= 1。上述求解黏彈性結(jié)構(gòu)特征方程的方法既考慮了復(fù)剛度的頻率依賴性，又避免了復(fù)數(shù)的運算，數(shù)值算例結(jié)果表明，各階模態(tài)參數(shù)的計算只需迭代3～4次即可滿足，計算量小，物理意義明確。

3 改進的實模態(tài)疊加法

根據(jù)實模態(tài)疊加法的思想，結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)可由N個非阻尼振型的疊加表示，引入u=Φq，并將計算得到的模態(tài)參數(shù)帶入方程(6)，忽略矩陣的非對角元素，可獲得N個獨立的單自由度結(jié)構(gòu)的動力方程：

式中：qj為黏彈性結(jié)構(gòu)的廣義坐標(biāo)。根據(jù)方程(13)，具有頻率依賴性的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)可以簡化為N個無頻率依賴性的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)疊加。

但是，在實際迭代計算過程中，當(dāng)?shù)?dāng)前模態(tài)參數(shù)時，已完成迭代的上一階模態(tài)參數(shù)仍會發(fā)生變化，對于強頻率依賴性的黏彈性結(jié)構(gòu)，這樣的變化更加明顯。這是由于盡管經(jīng)過前面求解所得模態(tài)參數(shù)考慮了黏彈性結(jié)構(gòu)的頻率依賴性，但簡化后的單自由度結(jié)構(gòu)源于原始黏彈性結(jié)構(gòu)，本質(zhì)上簡化后的N個單自由度結(jié)構(gòu)仍具有黏彈性，所以，方程(13)中的模態(tài)參數(shù)ωj和ηj在單自由度結(jié)構(gòu)中仍然需要考慮頻率依賴性。故需對傳統(tǒng)的實模態(tài)疊加法進行改進。

在迭代求解黏彈性結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)過程中，選取其中的2N×N模態(tài)參數(shù)信息。

式中：(ωj)和(ωj)分別為最后1 次迭代計算所得第j階模態(tài)時第i階模態(tài)的模態(tài)頻率和損耗因子。這里采用多項式擬合來表征單自由度結(jié)構(gòu)ωj和ηj的頻率依賴性，數(shù)學(xué)表達形式如下：

式中：fj(…)和gj(…)分別為用括號內(nèi)數(shù)據(jù)擬合ωj和ηj的多項式。將式(16)和(17)代入方程(13)，qj的表達方式如下：

則第i個自由度的頻域響應(yīng)為：

式中：ui，vi和ai分別為第i個自由度的位移、速度和加速度的頻域響應(yīng)。

4 算例

為了驗證本文所提計算黏彈性結(jié)構(gòu)頻域響應(yīng)的簡化算法，以1個六自由度黏彈性結(jié)構(gòu)作為計算對象進行算例分析，其力學(xué)模型如圖2所示。圖2中，k為黏彈性結(jié)構(gòu)中不隨加載頻率變化的固定儲能剛度，取為105N/m；質(zhì)量m取為1 t，g為黏彈性結(jié)構(gòu)中隨加載頻率變化的復(fù)剛度，采用廣義麥克斯韋模型表征，參數(shù)取值見文獻[18]，分別考慮了弱頻率依賴性和強頻率依賴性2類情況。圖3所示為2類情況下，黏彈性結(jié)構(gòu)整體復(fù)剛度隨加載頻率變化的情況。從圖3可知：2 類儲能剛度均隨著加載頻率的增加而增加，且強頻率依賴性結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出更加顯著的儲能剛度頻率依賴性；2類損耗因子(耗能剛度/儲能剛度)隨著頻率的增大而先增大后減小，由于強頻率依賴性結(jié)構(gòu)所含的黏彈性比例較高，所以，展現(xiàn)出更加顯著的耗能能力。

采用分步迭代法求解黏彈性結(jié)構(gòu)的特征方程，圖4所示為2 類黏彈性結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率的具體信息。從圖4可知：2 類結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率均表現(xiàn)出與儲能剛度相似的頻率依賴性，其中強頻率依賴性結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率依賴性水平顯著，加載頻率從1階增大到6 階，對應(yīng)的各階約模態(tài)頻率提高了10%。值得指出的是，這些數(shù)據(jù)將通過多項式擬合來表征各單自由度黏彈性結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率依賴性，采用3 次多項式即可取得滿意的結(jié)果。圖5所示為2類黏彈性結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子的具體信息。從圖5可知：2類模態(tài)損耗因子均表現(xiàn)出了與前述損耗因子(耗能剛度/儲能剛度)相似的頻率依賴性，且強頻率依賴性的黏彈性結(jié)構(gòu)具有更大的模態(tài)損耗因子。與圖4不同的是，由于本文表征模態(tài)耗能能力的指標(biāo)定義為復(fù)剛度理論中的模態(tài)損耗因子而非模態(tài)阻尼比，致使每階模態(tài)都具有相同數(shù)值和頻率依賴性水平的模態(tài)損耗因子，也就是在進行多項式擬合時，各階模態(tài)共用1個代數(shù)式。

圖2 黏彈性結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型Fig.2 Mechnical model of viscoelastic structure

圖3 黏彈性結(jié)構(gòu)復(fù)剛度的頻率依賴性水平Fig.3 Frequency dependence level of complex stiffness

圖4 黏彈性結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的頻率依賴性水平Fig.4 Frequency dependence level of modal frequency

圖5 黏彈性結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子的頻率依賴性水平Fig.5 Frequency dependence level of modal loss factor

將擬合多項式代入式(18)，將各模態(tài)響應(yīng)疊加即獲得黏彈性結(jié)構(gòu)的頻域響應(yīng)。這里以名義傳遞函數(shù)mω2o|H(2,4)|替代頻域響應(yīng)以利于檢查各階模態(tài)的響應(yīng)，其中ω2o=k/m。圖6所示為2 類黏彈性結(jié)構(gòu)的名義傳遞函數(shù)曲線，這里采用了模態(tài)應(yīng)變能法、迭代法作為對比方法，精確解通過直接對不同頻率下的矩陣進行求逆獲得。從圖6可以看出：對于弱頻率依賴性的黏彈性結(jié)構(gòu)，3類方法給出的曲線和精確解十分吻合，模態(tài)應(yīng)變能法在高階模態(tài)非共振頻率下的精度略有降低。但對于強頻率依賴性的黏彈性結(jié)構(gòu)，模態(tài)應(yīng)變能法給出的高階響應(yīng)精度較低；迭代法雖然給出各階模態(tài)共振頻率下滿意的結(jié)果，但是在非共振頻率下精度降低，這不利于黏彈性結(jié)構(gòu)在具有復(fù)雜頻譜的激勵下響應(yīng)的精確預(yù)測；而本文提出方法給出的曲線與精確解高度吻合，說明該方法適用于強頻率依賴性黏彈性結(jié)構(gòu)的頻域響應(yīng)預(yù)測。

圖6 黏彈性結(jié)構(gòu)頻域響應(yīng)Fig.6 Frequency response of viscoelastic structure

5 結(jié)論

1)本文基于實模態(tài)疊加法，引入麥克斯韋本構(gòu)，建立了黏彈性結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程；對特征方程進行分步迭代求解，依次獲取各階模態(tài)的模態(tài)頻率、振型和損耗因子；將黏彈性結(jié)構(gòu)簡化為N個獨立的單自由度黏彈性結(jié)構(gòu)，采用多項式擬合修正各階模態(tài)參數(shù)的頻率依賴性水平，最終求得黏彈性結(jié)構(gòu)的頻域響應(yīng)。

2)所提方法將經(jīng)典黏彈性本構(gòu)和傳統(tǒng)實模態(tài)疊加法結(jié)合起來，并采用分步迭代，避免了求解含有復(fù)數(shù)的高階特征方程。

3) 考慮模態(tài)分解后所得到的N個單自由度結(jié)構(gòu)仍保留的黏彈性特性，采用多項式擬合表征各階模態(tài)參數(shù)的頻率依賴性水平；與模態(tài)應(yīng)變能法和迭代法相比，本文提出的基于實模態(tài)疊加的簡化方法可以很好地計算出具有強頻率依賴性黏彈性結(jié)構(gòu)的頻域響應(yīng)，精度高且物理意義明確。