付志慧, 武 健, 馬明玥

(1. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034; 2. 首鋼工學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)院, 北京 100144)

0 引 言

在過(guò)去的20年中,項(xiàng)目反應(yīng)理論(item response theory, IRT)[1]建模已經(jīng)實(shí)現(xiàn),由于計(jì)算能力和馬爾可夫鏈的發(fā)展,MCMC(Markov chain Monte Carlo)算法[2]越來(lái)越受歡迎,很多軟件程序?qū)崿F(xiàn)了MCMC算法,包括WinBUGS,OpenBUGS,JAGS,SAS的PROC MCMC和R語(yǔ)言中的Mcmcpack,在這些軟件程序中,其中Gibbs采樣[3]和Metropolis算法[4]是最常用的。這些算法雖然很受歡迎,但存在局限性,Stan采用HMC(Hamiltonian Monte Carlo)算法[5],比Gibbs快得多,相比之下能更有效率地探索后驗(yàn)參數(shù)空間[6]。

總的來(lái)說(shuō),Stan程序的優(yōu)點(diǎn)在于:

1) 它比傳統(tǒng)的貝葉斯軟件程序效率高;

2) Stan與WinBUGS和OpenBUGS不同,它允許與其他軟件程序接口;

3) 它允許與其他軟件程序接口,如R,Python,Matlab, Stata,Julia,兼容性較強(qiáng),主要有3個(gè)操作平臺(tái),即Linux,Mac和WindowCurtis(2010)[7]。

1 四參數(shù)Logistic模型

四參數(shù)Logistic模型也稱(chēng)四參數(shù)項(xiàng)目反應(yīng)模型,一個(gè)被試的反應(yīng)可被分為以下3類(lèi):

1) 體現(xiàn)被試真實(shí)能力的反應(yīng);

2) 被試作答正確是依靠猜測(cè);

3) 被試作答錯(cuò)誤是由于粗心、焦慮、疲勞、注意力不集中等原因?qū)е隆?/p>

這3種因素導(dǎo)致了估計(jì)偏差,Barton和Lord(1981)[8]在 3PLM的基礎(chǔ)上引進(jìn)一條小于1的上漸進(jìn)線,加入失誤參數(shù)dj,解決了高能力被試人員因?yàn)槭д`答錯(cuò)簡(jiǎn)單題目能力得不到準(zhǔn)確估計(jì)的問(wèn)題,使他們的能力水平能夠得到相應(yīng)的合理準(zhǔn)確評(píng)估。4PLM表示為

其中:uij表示第i個(gè)被試回答第j道試題的得分,當(dāng)回答正確時(shí),uij=1,回答錯(cuò)誤時(shí),uij=0,i=1,2,…,n,j=1,2,…,n; (aj,bj,cj,dj)為項(xiàng)目參數(shù)向量,aj表示第j道題目的區(qū)分度參數(shù)(斜率),bj表示難度參數(shù),cj表示第j道題目的猜測(cè)參數(shù)(下漸近線),dj表示第j道題目的失誤率參數(shù)(上漸近線);θi表示第i個(gè)被試的潛在能力水平,故第i個(gè)被試答對(duì)第道題的概率是關(guān)于能力水平θi的一個(gè)函數(shù)[9]。

2 Stan程序應(yīng)用的MCMC方法

Stan(Rstan)實(shí)現(xiàn)了2種計(jì)算效率更高的MCMC算法:HMC算法和The No-U-Turn算法[10]。HMC的性能很大程度上取決于步數(shù)L[11]和函數(shù)與位置相關(guān)的負(fù)勢(shì)能函數(shù)[12],當(dāng)L太小時(shí),會(huì)出現(xiàn)不可預(yù)期的隨機(jī)游走行為,當(dāng)L太大時(shí),HMC將會(huì)沿著生成循環(huán)的軌跡追溯回來(lái),增加計(jì)算量。The No-U-Turn算法是HMC算法的一個(gè)擴(kuò)展,在保留了HMC抑制隨機(jī)行走行為的能力基礎(chǔ)上,可以在沒(méi)有手動(dòng)調(diào)節(jié)的情況下使用。從經(jīng)驗(yàn)上看,The No-U-Turn算法的性能與調(diào)整良好的標(biāo)準(zhǔn)HMC算法一樣有效,有時(shí)甚至比HMC算法更有效。

3 模擬研究

假定有20道題,每道題的4個(gè)參數(shù)真實(shí)值分別為:a1,…,a20為1,b1,…,b20為0,c1,…,c20為0.75,d1,…,d20為0.25,利用Stan程序中的數(shù)據(jù)模塊生成相關(guān)反應(yīng)矩陣,通過(guò)Stan函數(shù)對(duì)4PLM進(jìn)行項(xiàng)目參數(shù)的Bayes估計(jì),通過(guò)MCMC方法進(jìn)行收斂診斷[13],迭代次數(shù)為10 000,重復(fù)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)30次,然后將30次模擬實(shí)驗(yàn)得到的項(xiàng)目參數(shù)估計(jì)值與指定的參數(shù)真值做比較,如果二者之間的差異越小說(shuō)明估計(jì)方法越有效,評(píng)價(jià)差異的指標(biāo)有:偏差(bias)、標(biāo)準(zhǔn)誤差(root-mean-square error,Rmse)[14],每道題的項(xiàng)目估計(jì)結(jié)果保留4位小數(shù),如表1所示。為了方便查看,表中的bias值取真值與估計(jì)值之間差值的絕對(duì)值,由表1可以看出,大部分的Bias值都小于0.05,且大部分的Rmse值都小于0.04[15]。由此可以得出結(jié)論:通過(guò)Rstan包估計(jì)4PLM參數(shù)切實(shí)可行。

表1 參數(shù)估計(jì)值與真值的差異性指標(biāo)Table 1 Difference between the parameter estimate and the true value

注: P=Parameter;Est.=Estimation

4 判斷模型收斂

在控制臺(tái)顯示的最后一欄R2(Gemlman&Rubin, 1992)[16]是診斷收斂的統(tǒng)計(jì)量,計(jì)算潛在的縮減PSRF(potentialscalereductionfactorBrooks&Gelman, 1998)[17],當(dāng)PSRF值接近1時(shí),通常表示該參數(shù)是收斂的,參數(shù)的PSRF值小于1.05,表明已達(dá)到收斂,因此可以被視為后驗(yàn)分布的有效樣本,除此以外,在Rstan中可以用traceplot命令來(lái)畫(huà)出模型參數(shù)的軌跡圖,進(jìn)行再次收斂,圖1、圖2分別為模型參數(shù)guess_和slip_的軌跡迭代圖。

圖1 模型參數(shù)guess_迭代軌跡圖Fig.1 Model parameter guess_iteration trajectory diagram

圖2 模型參數(shù)slip_迭代軌跡圖Fig.2 Model parameter slip_iteration trajectory diagram

5 結(jié) 論

本文針對(duì)4PLM,運(yùn)用R軟件中的Rstan包,采用MCMC方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì),通過(guò)多次模擬試驗(yàn)可以看出,Stan程序估計(jì)精確度高、運(yùn)算時(shí)間短,相比其他軟件更易操作查看結(jié)果。但是Stan也存在著缺點(diǎn),它不能支持離散參數(shù)采樣,也就是說(shuō),要想在Stan中進(jìn)行估算,參數(shù)需要被邊緣化才可以。雖然研發(fā)人員在Stan用戶手冊(cè)中有提供了一些關(guān)于如何進(jìn)行邊緣化的介紹[18],實(shí)現(xiàn)起來(lái)卻存在多方面的難度。Rstan還可以用到其他比較復(fù)雜的IRT模型。