劉玉忠, 楊 蒙

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

近年來,由于工業(yè)生產(chǎn)以及航空航天等領(lǐng)域?qū)τ诳刂葡到y(tǒng)安全性和可靠性要求的不斷提高,基于觀測(cè)器的故障檢測(cè)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)得到了廣泛的關(guān)注,并涌現(xiàn)了大量的故障檢測(cè)方法,常見的有自適應(yīng)觀測(cè)器法、未知輸入觀測(cè)器法、故障檢測(cè)濾波器方法等。其中,故障檢測(cè)濾波器方法是最常用的方法之一,其主要原理是利用系統(tǒng)解析表達(dá)式對(duì)系統(tǒng)輸出做出估計(jì),然后與實(shí)際測(cè)量的輸出值相比較得到殘差,再經(jīng)過殘差評(píng)價(jià)和閾值比較的過程,最終判斷故障是否發(fā)生。但是,在實(shí)際的故障檢測(cè)過程中,殘差會(huì)受到未知干擾以及模型不確定性的影響,,因此,需要設(shè)計(jì)魯棒故障檢測(cè)濾波器。

與此同時(shí),切換系統(tǒng)作為一類重要的混雜動(dòng)力系統(tǒng),是由一系列連續(xù)(離散)時(shí)間子系統(tǒng)以及決定子系統(tǒng)間如何切換的規(guī)則組成[1]。這個(gè)切換規(guī)則由時(shí)間、系統(tǒng)狀態(tài)或其他監(jiān)督邏輯規(guī)則決定,以此產(chǎn)生不同的開關(guān)信號(hào)來決定切換系統(tǒng)的類別。切換系統(tǒng)廣泛存在于工程和社會(huì)系統(tǒng)中,許多物理裝置可以被建模為切換系統(tǒng),如電力系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、飛機(jī)控制和通信工業(yè)控制系統(tǒng)。因此,切換系統(tǒng)在理論發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用中都值得研究[2]。并且,隨著切換系統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域日益增多,其故障檢測(cè)問題已經(jīng)引起了研究者的興趣,并且取得了一些研究成果[3-7]。文獻(xiàn)[8]研究了一種基于LMI的魯棒故障診斷濾波器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[9-10]中分別在同步異步現(xiàn)象中討論了離散切換系統(tǒng)的故障濾波器設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)[11]針對(duì)遇有未知輸入和建模誤差的不確定線性時(shí)不變系統(tǒng)設(shè)計(jì)了魯棒故障檢測(cè)濾波器。文獻(xiàn)[12]研究了一類含有擾動(dòng)的線性系統(tǒng)魯棒故障診斷濾波器設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)[13]基于給定的性能指標(biāo)函數(shù),將受模型不確定性和范數(shù)有界未知輸入影響的線性不確定系統(tǒng)的基于觀測(cè)器的魯棒故障檢測(cè)濾波器設(shè)計(jì)問題歸結(jié)為了H∞優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[14]針對(duì)帶有不確定線性時(shí)滯的切換系統(tǒng)設(shè)計(jì)了相應(yīng)的魯棒H∞濾波器。

本文針對(duì)連續(xù)切換系統(tǒng),在混合H∞/H-框架下,將此類系統(tǒng)的故障檢測(cè)濾波器問題轉(zhuǎn)化為H∞優(yōu)化問題,首先,利用平均駐留時(shí)間和李雅普諾夫函數(shù)方法,得到了系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件,通過優(yōu)化性能指標(biāo),使參考?xì)埐钚盘?hào)和故障信號(hào)之間的差距減小,提高了殘差信號(hào)對(duì)故障信號(hào)的敏感性,同時(shí)增強(qiáng)了對(duì)擾動(dòng)信號(hào)的魯棒性。然后,應(yīng)用線性矩陣不等式技術(shù)得到了該優(yōu)化問題解的存在條件和濾波器增益矩陣以及權(quán)值矩陣的求解方法,并且以線性不等式的形式給出了參考模型的選取方法,使得設(shè)計(jì)簡(jiǎn)便,還降低了保守性。

1 問題描述

考慮以下連續(xù)切換系統(tǒng):

(1)

其中:x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài);y(t)∈Rm為系統(tǒng)測(cè)量輸出;u(t)∈Rp為控制輸入;d(t)∈Rp為干擾向量;f(t)∈Rm為故障。假設(shè)d(t)和f(t)都是l2范數(shù)有界的信號(hào),σ(t)是時(shí)間的分段常函數(shù),稱為切換信號(hào),σ(t):[0,∞)→M={1,2,…,l},l為系統(tǒng)個(gè)數(shù)。

Aσ(t),Bσ(t)1,Dσ(t)1,Fσ(t)1,Cσ(t),Bσ(t)2,Dσ(t)2,Fσ(t)2為每個(gè)子系統(tǒng)的系數(shù)矩陣,是具有適當(dāng)維數(shù)且數(shù)值已知的常數(shù)矩陣。

當(dāng)切換信號(hào)σ(t)=i時(shí),說明第i個(gè)子系統(tǒng)被激活,此時(shí)相應(yīng)的系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為

(2)

對(duì)系統(tǒng)(2)設(shè)計(jì)故障檢測(cè)濾波器為

(3)

式中:r(t)∈Rm為殘差向量;Li∈Rm×n為濾波器的增益矩陣;Vi∈Rm×m為殘差的權(quán)值矩陣;Li,Vi分別為需要設(shè)計(jì)的濾波器參數(shù)。

根據(jù)式(2)和式(3)可以得到估計(jì)誤差系統(tǒng):

(4)

于是可知誤差系統(tǒng)也為切換系統(tǒng),假設(shè)其與原系統(tǒng)同步,可看出殘差信號(hào)r(t)與干擾d(t)和故障f(t)有關(guān)。

用傳遞函數(shù)表達(dá)殘差為

r(s)=Ti0(s)e0+Tird(s)d(s)+Tirf(s)f(s)

(5)

其中:Tirf,Tird分別為故障信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)到殘差信號(hào)的傳遞函數(shù);Ti0是嚴(yán)格真有理分式陣。初始條件e0不影響r(t)的穩(wěn)定性,可以忽略不計(jì)。

本文研究的主要問題是:設(shè)計(jì)故障檢測(cè)濾波器,求解增益矩陣Li和權(quán)值矩陣Vi,使其滿足以下2個(gè)條件:

條件1 誤差系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定的;

條件2 殘差r(t)對(duì)于故障f(t)具有敏感性,對(duì)于干擾d(t)具有魯棒性,即滿足

‖Tirf‖∞≥β0,‖Tird‖∞≤γ0

其中:β0,γ0為給定的性能指標(biāo)。

引入一個(gè)參考模型WiF(s),定義參考?xì)埐钕蛄繛閞F,用WiF(s),f(s)表示:

rF(s)=WiF(s)f(s)

(6)

其中WiF∈RH∞。

選取性能指標(biāo)

(7)

其中:w=[dTfT]T;re=r-rF。

這里z(t)=rF(t)-r(t),且

‖Tizw(s)‖∞=‖[-Tird(s)WiF(s)-Tirf(s)]‖∞

(8)

最小化J,也就是最小化式(8)的無窮范數(shù),使其滿足

J<γ

(9)

即要求Tird(s),WiF(s)-Tirf(s)都盡量小。由式(9)可得

‖Tird(s)‖∞≤γd,‖WiF(s)-Tirf(s)‖∞≤γf

(10)

其中:γd,γf∈(0,γ]。

根據(jù)三角不等式:

‖WiF(s)-Tirf(s)‖∞≥‖WiF(s)‖∞-‖Tirf(s)‖∞

(11)

所以有

‖Tirf(s)‖∞≥‖WiF(s)‖∞-γf

(12)

令β0=‖WiF(s)‖∞-γf,γ0=γd,則式(10)可轉(zhuǎn)化為條件2中的性能指標(biāo)。

因此,選用式(7)作為故障檢測(cè)濾波器設(shè)計(jì)的優(yōu)化性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化,使其滿足式(9),則條件2的性能指標(biāo)就可以滿足。

定義1 如果存在一個(gè)切換信號(hào)σ(t)使濾波誤差系統(tǒng)的解滿足

‖x(t)‖≤α‖x(t0)‖e-β(t-t0)

(13)

則濾波誤差系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

定義2 對(duì)于任意常量T2>T1>0,讓Nσ(T1,T2)指代(T1,T2)內(nèi)切換信號(hào)σ的切換次數(shù),如果

(14)

其中:Ta>0,N0≥0,則Ta叫平均駐留時(shí)間,使用時(shí)一般選擇N0=0。

定理1 給定常數(shù)0<α<1,μ>1,對(duì)于誤差系統(tǒng)(4),當(dāng)d(t)=0,f(t)=0時(shí),對(duì)于?i,j∈Mi≠j,若存在對(duì)稱正定矩陣Pi>0,使得

則誤差系統(tǒng)(4)對(duì)于任意切換信號(hào)是指數(shù)穩(wěn)定的,且系統(tǒng)的平均駐留時(shí)間滿足

(17)

證明 設(shè)李雅普諾夫函數(shù)為

由式(16)可得

(20)

于是有

所以可以得到結(jié)論,當(dāng)d(t)=0,f(t)=0時(shí),誤差系統(tǒng)(4)是指數(shù)穩(wěn)定的。

2 濾波器設(shè)計(jì)

一般的,WiF(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)可以按下式表示

(23)

(24)

下面給出求解濾波器的一個(gè)重要引理:

引理[15]對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng):

給定γ>0,如果存在一個(gè)對(duì)稱矩陣P>0,滿足如下線性矩陣不等式:

定理2 對(duì)于系統(tǒng)(1),給定γ>0,如果存在正定陣Ri和Xi,矩陣Ki,Mi,Ni,Ti,Yi,Zi,Vi滿足如下線性矩陣不等式:

(25)

其中

則以下3項(xiàng)均成立:

1) 系統(tǒng)(1)存在一個(gè)H∞濾波器(3),對(duì)應(yīng)的濾波器增益矩陣為L(zhǎng)i=(Ri-Xi)-1(Zi-Yi), 權(quán)值矩陣為Vi;

2) 增廣系統(tǒng)(24)漸近穩(wěn)定,滿足‖re‖2<γ2‖w‖2,即選取的性能指標(biāo)J<γ;

3) 參考模型的系數(shù)矩陣按式(26)求解

(26)

證明

(27)

應(yīng)用變量替換法,定義

傳遞函數(shù)為

由此可推出式(26)。

本文選取殘差的范數(shù)作為評(píng)價(jià)函數(shù):

(31)

‖r‖2,f=0≤‖Ti0‖∞‖e0‖2+γopt‖d‖2

(32)

若e0≠0,則r(0)=r0≠0,選取閾值為

Jth=‖Ti0‖∞‖e0‖2+γopt‖d‖2

(33)

由于‖d‖2≤M,所以取Jth=‖Ti0‖∞‖e0‖2+γoptM。

Jth=γoptM

(34)

這不會(huì)導(dǎo)致給出的閾值偏小而增加誤報(bào)率。

根據(jù)以下邏輯關(guān)系判斷故障是否發(fā)生:若‖r‖2>Jth,故障信號(hào)被檢測(cè)到,報(bào)警;否則,無故障信號(hào)被檢測(cè)。

3 結(jié) 論

本文研究了連續(xù)時(shí)間線性切換系統(tǒng)的故障檢測(cè)問題。在滿足混合H∞/H-性能指標(biāo)的故障檢測(cè)濾波器設(shè)計(jì)中,應(yīng)用H∞理論,把濾波器的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為了H∞優(yōu)化問題;利用平均駐留時(shí)間、變量替換法、線性矩陣不等式方法等,給出并證明了濾波器存在的條件和增益矩陣權(quán)值矩陣的求解方法。所設(shè)計(jì)的濾波器同時(shí)滿足殘差對(duì)干擾的魯棒性和故障的敏感性。