(永登縣第六中學(xué),甘肅 永登 730300)

“斷臂維納斯”“嫦娥四號中繼星‘鵲橋’”“參數(shù)云”“獨(dú)孤信的印信”“概率與數(shù)列綜合壓軸”……作為師生的你，最近是否會被這些“熱點(diǎn)”霸屏？2019年全國數(shù)學(xué)高考卷呈現(xiàn)出諸多亮點(diǎn)，有很多創(chuàng)新，可謂精彩紛呈.筆者對2019年全國數(shù)學(xué)高考卷的“亮點(diǎn)”進(jìn)行了整理、分析，并對教師教學(xué)提出相應(yīng)建議.

1 試題亮點(diǎn)

1.1 解答題次序變化較大

與2015—2018年全國數(shù)學(xué)高考卷相比，2019年全國數(shù)學(xué)高考卷的解答題次序有較大變化.全國卷Ⅰ理科試題將圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)提前至第19，20題，第21題概率與數(shù)列綜合壓軸；文科試題將概率大題提前至第17題，第18～21題分別為數(shù)列、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線.全國卷Ⅱ理科第17～21題的次序分別為立體幾何、概率、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、圓錐；文科第17～19題的次序分別為立體幾何、數(shù)列、統(tǒng)計(jì).全國卷Ⅲ理科、文科第17，18題分別概率統(tǒng)計(jì)、解三角形，第20，21題分別為導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線.

1.2 數(shù)學(xué)文化大放異彩，試題璀璨奪目

( )

A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科、文科試題第4題)

分析本題滲透數(shù)學(xué)美，主要考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．設(shè)人體脖子下端至腿根的長為xcm，肚臍至腿根的長為ycm，則

得x≈42.07 cm,y=5.15 cm．又其腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，可得其身高約為

42.07+5.15+105+26=178.22，

接近175 cm.故選B．

圖1

例2我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖1就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是

( )

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第6題)

故選A．

圖2

例3中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖略).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有______個面，其棱長為______(本題第一空2分，第二空3分).

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科、文科試題第16題)

分析本題融入中國特有數(shù)學(xué)文化，主要考查直觀想象素養(yǎng).第一空可數(shù)出來，第二空需在正方體中簡單還原出物體位置，利用對稱性與平面幾何知識解決．由圖2知，該半正多面體共有26個面．如圖3，設(shè)該半正多面體的棱長為x，則AB=BE=x，延長BC與FE交于點(diǎn)G，延長BC交正方體棱于點(diǎn)H.由半正多面體的對稱性可知，△BGE為等腰直角三角形，從而

1.3 問題情境新穎多變，試題耳目一新

例42019年1月3日嫦娥四號探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著路需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地球月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行，L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球的質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律，r滿足方程

( )

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第4題)

得

即

解得

從而

故選D.

全國卷Ⅰ文科第17題設(shè)置商場服務(wù)的現(xiàn)實(shí)情境考查統(tǒng)計(jì)知識；全國卷Ⅱ文科第3題設(shè)置“一帶一路”時政情境考查理邏輯推理，理科第13題、文科第14題設(shè)置高鐵現(xiàn)實(shí)情境考查統(tǒng)計(jì)知識；全國卷Ⅲ理科第3題、文科第4題設(shè)計(jì)我國古典四大名著情境考查統(tǒng)計(jì)知識，理科、文科第16題結(jié)合3D打印現(xiàn)實(shí)情境與物理科學(xué)情境，考查立體幾何相關(guān)知識,文科第17題設(shè)置生物與化學(xué)科學(xué)綜合情境考查統(tǒng)計(jì)知識.這些試題在眾多的純數(shù)學(xué)情境試題中“脫穎而出”，讓人耳目一新.

1.4 打破常規(guī)命題模式，問題不落窠臼

圖5

1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程；

2)略.

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅲ理科、文科試題第22題)

分析本題的創(chuàng)新之處在于打破常規(guī)命題模式，并非常見的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化，而是考查極坐標(biāo)中過極點(diǎn)的圓的方程.因?yàn)轭}中要求的是弧，所以要注意方程中θ的取值范圍.由題意，3個圓的直徑都是2，并且都過原點(diǎn)，因此

1.5 知識考點(diǎn)融合交匯，試題深廣度并存

例6為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物實(shí)驗(yàn)．實(shí)驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪實(shí)驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止實(shí)驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪實(shí)驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪實(shí)驗(yàn)中甲藥的得分記為X．

1)求X的分布列.

2)若甲藥、乙藥在實(shí)驗(yàn)開始時都賦予4分，pi(其中i=0，1,2,…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(其中i=1,2,…,7)，且a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假設(shè)α=0.5，β=0.8．

①證明：{pi+1-pi}(其中i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種實(shí)驗(yàn)方案的合理性．

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第21題)

分析本題將離散型隨機(jī)變量與數(shù)列巧妙結(jié)合，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).題干較長，需耐心讀題體會其中之意，利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、累加法求解數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列中的項(xiàng)，問題就會迎刃而解.

1)由題意,X的可能取值為：-1，0，1，可求得

P(X=-1)=(1-α)β,

P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),

P(X=1)=α(1-β),

故X的分布列如表1所示：

表1 X的分布列

2)①因?yàn)棣?0.5，β=0.8，所以

a=P(X=-1)=0.4，

b=P(X=0)=0.5，

c=P(X=1)=0.1,

可得

pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，

即

0.5pi=0.4pi-1+0.1pi+1，

從而

0.4(pi-pi-1)=0.1(pi+1-pi)，

得

于是{pi+1-pi}(其中i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列．

②{pi+1-pi}(其中i=0,1,2,…,7)的首項(xiàng)為p1-p0=p1，可得

p8-p7=p1×47，

p7-p6=p1×46，

…

p2-p1=p1×4.

以上7個式子相加，得到

p8-p1=p1×(47+46+…+4),

得

再把后面3個式子相加，得

p4-p1=p1×(4+42+43)，

2 數(shù)學(xué)教學(xué)建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《新課標(biāo)》)指出：數(shù)學(xué)高考命題，應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性；注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法；融入數(shù)學(xué)文化；應(yīng)有一定數(shù)量的應(yīng)用問題，考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識，問題情境設(shè)計(jì)自然、合理[1].2019年是《新課標(biāo)》頒布的第二年，高考數(shù)學(xué)變革、創(chuàng)新順理成章.“變則通，通則達(dá)”，為更好地應(yīng)對變革，對教師教學(xué)提出以下建議：

2.1 踐行數(shù)學(xué)文化，提升文化素養(yǎng)

以傳統(tǒng)文化為載體，加強(qiáng)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)思想文化的滲透，將國家的育人要求與高考選拔相結(jié)合，是近幾年高考新動向.高考具有導(dǎo)向性，隨著高考卷中數(shù)學(xué)文化試題的大量出現(xiàn)，數(shù)學(xué)文化已被廣大師生接受并認(rèn)同.從認(rèn)同到內(nèi)化需要身體力行，需要教師有意識地結(jié)合相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容，在日常教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價值，以提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和文化素養(yǎng).

2.2 注重數(shù)學(xué)閱讀，助力數(shù)學(xué)理解

蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基曾說：“學(xué)會學(xué)習(xí)首先要學(xué)會閱讀，一個閱讀能力不好的學(xué)生就是一個潛在的差生.”從前面的考題不難發(fā)現(xiàn)，很多“亮點(diǎn)題”題目“長”且情境豐富，這就對考生的數(shù)學(xué)閱讀能力提出了高要求.數(shù)學(xué)閱讀不僅具有一般閱讀的特點(diǎn)，還因數(shù)學(xué)語言的符號化、邏輯化以及抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性等原因，具有其特殊性.研究表明，中小學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀狀況呈下降趨勢，中學(xué)生對數(shù)學(xué)閱讀的興趣、態(tài)度、習(xí)慣等均不容樂觀[2-3].因此，在日常教學(xué)中，教師要有意識地教授數(shù)學(xué)閱讀策略、技巧，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀興趣和習(xí)慣，消除數(shù)學(xué)閱讀障礙，助力數(shù)學(xué)理解.

2.3 抓主干摟枝葉，構(gòu)建知識體系

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)雖多，但都圍繞函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究等主干展開.高考試卷要在特定數(shù)量的試題中考查大多數(shù)知識點(diǎn)，勢必大部分屬于知識交匯融合的綜合性題目.因此，教師在教學(xué)中要以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生抓主干，同時不忘摟枝葉，將數(shù)學(xué)知識點(diǎn)連成線、形成面、構(gòu)成體，從整體上把握課程，提高靈活運(yùn)用知識的能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.