(無(wú)錫市第一女子中學(xué),江蘇 無(wú)錫 214002)

1 問(wèn)題提出

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為課程培養(yǎng)目標(biāo)，國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目(簡(jiǎn)稱(chēng)PISA)認(rèn)為：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是個(gè)體在各種情況下形成、使用、詮釋數(shù)學(xué)的能力.它能幫助作為一個(gè)創(chuàng)新、積極和善于反思的公民認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在世界中所扮演的角色，并做出良好的判斷和決定[1].然而，許多教師在教學(xué)中只重視數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授，輕視數(shù)學(xué)文化的滲透，難道數(shù)學(xué)知識(shí)就是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全部嗎？解題能力是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的唯一標(biāo)準(zhǔn)嗎？本文力圖通過(guò)初高中銜接知識(shí)“黃金分割”，說(shuō)明數(shù)學(xué)文化在提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的重要意義，并給教師教學(xué)提出幾點(diǎn)啟示.

2 黃金分割蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化

齊龍新先生認(rèn)為：數(shù)學(xué)文化包含知識(shí)系統(tǒng)、工具系統(tǒng)、價(jià)值系統(tǒng)和史實(shí)系統(tǒng)四個(gè)層面的內(nèi)容.其中，知識(shí)系統(tǒng)是數(shù)學(xué)文化的物質(zhì)基礎(chǔ)，工具系統(tǒng)是數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用框架，價(jià)值系統(tǒng)是數(shù)學(xué)文化得以發(fā)揚(yáng)的源泉，史實(shí)系統(tǒng)是數(shù)學(xué)文化的歷史積淀，這四大系統(tǒng)構(gòu)成了數(shù)學(xué)文化這座大廈[2].黃金分割知識(shí)是蘇教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，在考綱中屬于“邊緣考點(diǎn)”.然而，它卻是被德國(guó)著名天文學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒稱(chēng)作的幾何學(xué)兩大瑰寶之一，足見(jiàn)其重要地位和價(jià)值.

2.1 知識(shí)系統(tǒng)

學(xué)生進(jìn)而可求得線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，并能計(jì)算線(xiàn)段黃金分割點(diǎn)的位置.數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授無(wú)疑是一種數(shù)學(xué)文化的傳播，沒(méi)有數(shù)學(xué)的知識(shí)體系，也就沒(méi)有什么數(shù)學(xué)文化了.

2.2 工具系統(tǒng)

隨著科技的發(fā)展以及數(shù)學(xué)文明的積累，跨學(xué)科交流日趨頻繁，數(shù)學(xué)的應(yīng)用更是體現(xiàn)在方方面面.比如涉及對(duì)群體的描述，可借助集合語(yǔ)言；研究供求、效益、增長(zhǎng)率等經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題，可以借助函數(shù)；研究曲面圖形問(wèn)題，可以利用積分等等.但受限于目前初高中課程內(nèi)容設(shè)置的局限性，無(wú)法為學(xué)生提供足夠的工具，這是學(xué)生感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無(wú)用的重要原因之一.把數(shù)學(xué)文化滲透到教學(xué)中，就是要鮮明突出這種工具性作用.

黃金分割在科學(xué)、藝術(shù)、建筑、技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的運(yùn)用，是數(shù)學(xué)工具性的重要體現(xiàn).許多氣勢(shì)雄偉的建筑蘊(yùn)含黃金分割，如希臘神殿、多倫多電視塔；名垂千古的雕像中蘊(yùn)含黃金分割，如米洛斯的“維納斯”“雅典娜女神像”；絢麗奇妙的繪畫(huà)中蘊(yùn)含黃金分割，如達(dá)芬奇的“蒙娜麗莎”、拉斐爾的“圣女像”；慷慨激昂的曲譜中蘊(yùn)含黃金分割，如莫扎特的《D大調(diào)奏鳴曲》、貝多芬的《悲愴奏鳴曲》.此外，攝影中的構(gòu)圖比例、股市行情中的黃金分割線(xiàn)、軍事中的排兵布陣等，都與黃金分割這一古老而神奇的數(shù)學(xué)瑰寶緊密聯(lián)系.教師可通過(guò)對(duì)所授知識(shí)的價(jià)值性的滲透，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)他們將來(lái)所從事的行業(yè)是有用的，數(shù)學(xué)是他們未來(lái)所從事工作的基礎(chǔ)性工具.

2.3 價(jià)值系統(tǒng)

如果說(shuō)工具系統(tǒng)是數(shù)學(xué)文化的顯在體現(xiàn)，那么數(shù)學(xué)的價(jià)值系統(tǒng)具有隱性且重要的意義.數(shù)學(xué)是訓(xùn)練和培養(yǎng)人思維的重要學(xué)科，將潛移默化地影響人們的思考方式和提高人們的認(rèn)知水平，包括直觀、抽象、建模、類(lèi)比、推理邏輯、數(shù)據(jù)處理等，而且還常與高考數(shù)學(xué)的命題背景或解題結(jié)果相關(guān)聯(lián).

圖1

1)雙曲線(xiàn)的離心率e=______；

(2012年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

解1)由于以A1,A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，則點(diǎn)O到直線(xiàn)F2B2的距離為a，因此在△F2OB2中，

又c2=a2+b2,聯(lián)立可得

(e2-1)2=e2,

于是

此高考題考查圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)以及含字母代數(shù)式的運(yùn)算.求出該雙曲線(xiàn)的離心率恰與黃金分割數(shù)相關(guān)(黃金分割數(shù)的倒數(shù)，斐波那契數(shù)列通項(xiàng)中的重要常數(shù))，命題者將黃金分割數(shù)蘊(yùn)藏于出題藝術(shù)中，計(jì)算出的結(jié)果給學(xué)生以美的享受.

不僅如此，數(shù)學(xué)的隱性?xún)r(jià)值還有助于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的能力，用數(shù)學(xué)的思維方式去處理各種現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.

2.4 史實(shí)系統(tǒng)

數(shù)學(xué)史實(shí)是體現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題與概念、理論與方法來(lái)龍去脈的重要依據(jù).教學(xué)中數(shù)學(xué)史的滲透有助于學(xué)生建立數(shù)學(xué)的整體意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成數(shù)學(xué)家式的思維模式，感知數(shù)學(xué)家們?cè)谔角蟮缆飞系牟灰?，從而感悟?shù)學(xué)觀念和文化內(nèi)涵.

古希臘雅典學(xué)派數(shù)學(xué)家歐多克斯首次證明：正五邊形的每?jī)蓷l對(duì)角線(xiàn)被一個(gè)交點(diǎn)分成兩段，則整條對(duì)角線(xiàn)與較長(zhǎng)線(xiàn)段之比等于較長(zhǎng)線(xiàn)段與較短線(xiàn)段之比.在柏拉圖學(xué)派的歐幾里得編撰的《幾何原本》中也有多處記載有關(guān)“黃金分割(數(shù))”的成果.《幾何原本》中許多圖形蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，若對(duì)圖形進(jìn)行深入挖掘，可推出一系列數(shù)學(xué)結(jié)論，從而更有效地深究一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的來(lái)源.

(2010年北京大學(xué)、香港大學(xué)、北京航空航天大學(xué)自主招生題第2題)

解得

圖2 圖3

點(diǎn)F,G是對(duì)角線(xiàn)BE的黃金分割點(diǎn)，同時(shí)點(diǎn)F是線(xiàn)段BG的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)G是線(xiàn)段FE的黃金分割點(diǎn)，這種循環(huán)還展現(xiàn)了黃金分割的自衍性.

由此，我們還可得到利用尺規(guī)和量角器作出線(xiàn)段AB黃金分割點(diǎn)的一種簡(jiǎn)易方法(如圖3)：在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上取點(diǎn)Q使得∠ABQ=36°，作線(xiàn)段BQ的中垂線(xiàn)與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn).

3 數(shù)學(xué)文化對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要意義

朱德全先生認(rèn)為：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成要素具體為數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)人文精神[3].數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)文化的載體，教師通過(guò)知識(shí)的傳授豐富學(xué)生文化的內(nèi)涵，而適時(shí)滲透數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值、探索歷程或數(shù)學(xué)家們的人文精神對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)起催化作用.

3.1 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

按照數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系(簡(jiǎn)稱(chēng)HPM)的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)史教育能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更高效實(shí)施數(shù)學(xué)“發(fā)生教學(xué)”模式，使數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)走向?qū)W生的深度學(xué)習(xí).《幾何原本》《九章算術(shù)》等都是重要的數(shù)學(xué)資料，通過(guò)在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化，學(xué)生可以在發(fā)展和認(rèn)知的沖突中親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)歷程，了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類(lèi)社會(huì)發(fā)展之間的相互作用，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)家式的思維模式，從而提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力.

3.2 提高問(wèn)題探究的起點(diǎn)

在試題中融入數(shù)學(xué)史已不少見(jiàn)，此類(lèi)考題在考查學(xué)生思維能力的同時(shí)，使學(xué)生從歷史角度體會(huì)數(shù)學(xué)文化的價(jià)值.熟悉、研究數(shù)學(xué)史可以高屋建瓴地深究數(shù)學(xué)問(wèn)題的題源，從而提高數(shù)學(xué)探究的起點(diǎn).

(2009年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

計(jì)算得

故x2n+2

3.3 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)整體性、連續(xù)性的紐帶

數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化是螺旋式深入的過(guò)程，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展也呈現(xiàn)這一特征.教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，有助于學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)的整體意識(shí)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)各分支之間的關(guān)系，建立起從初中到高中、從高中到大學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的紐帶，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到傳承.

意大利數(shù)學(xué)史家洛里亞強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)史是連接中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的紐帶.黃金分割或是斐波那契數(shù)列在大自然許多場(chǎng)合中都能尋得它們的蹤跡，學(xué)生在建立對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體意識(shí)的同時(shí)，不斷感受數(shù)學(xué)的奇妙，這場(chǎng)數(shù)學(xué)與生活妙不可言的相遇將持續(xù)有效地激發(fā)他們更加深入地探究數(shù)學(xué)問(wèn)題.

4 給教師教學(xué)的幾點(diǎn)啟示

4.1 用數(shù)學(xué)文化的觀念追究學(xué)生疑問(wèn)

站在數(shù)學(xué)史的高度上深究問(wèn)題的題源，對(duì)提高學(xué)生的解題能力大有裨益.問(wèn)題是數(shù)學(xué)的核心，數(shù)學(xué)史上許多著名猜想、公式、定理都是豐富的命題寶庫(kù).將這些問(wèn)題滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)教師引導(dǎo)下的學(xué)生探究，達(dá)到“教師答疑解惑的幾分鐘，相當(dāng)于數(shù)學(xué)史進(jìn)展的幾百年”的教學(xué)效果.使學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4.2 教師不是數(shù)學(xué)文化的最大供求者

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高是數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)能力內(nèi)化的過(guò)程，教師的作用更多是啟迪與引領(lǐng).課堂教學(xué)中教師要基于教材知識(shí)，有選擇性地指導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行發(fā)散學(xué)習(xí)，提煉知識(shí)中蘊(yùn)含的思想方法、來(lái)源背景、框架體系等，可以以課后探究的形式讓一部分有能力的學(xué)生更多地參與探索，提高他們探究發(fā)現(xiàn)的積極性，更加深入全面地開(kāi)發(fā)培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí).

4.3 提高專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，傳承數(shù)學(xué)文化

知識(shí)需要銜接，文化更要傳承.以題論題的教學(xué)方式在很大程度上會(huì)增加學(xué)生的挫敗感.教師以寬廣的數(shù)學(xué)文化為底蘊(yùn)教導(dǎo)學(xué)生，不僅能更好地銜接“初中—高中—大學(xué)”的數(shù)學(xué)教育，而且能讓數(shù)學(xué)更具感染力，在潛移默化中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).