(大廠高級(jí)中學(xué),江蘇 南京 210044)

無(wú)論是平時(shí)的習(xí)題課，還是高三的復(fù)習(xí)課，數(shù)學(xué)解題教學(xué)都是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的課型．基于實(shí)踐，筆者曾用兩個(gè)課例說(shuō)明什么是“好的解題教學(xué)”，提出好的解題教學(xué)要“有想法——為什么選這道題”“有選擇——怎么想到解題方法的”“有優(yōu)化——能不能優(yōu)化思路和方法”“有反思——思考是否存在解法的規(guī)律性”，簡(jiǎn)稱“四有”[1-2]．

通過(guò)實(shí)踐與反思，筆者進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到：在解題教學(xué)中，教師可以搭建適當(dāng)?shù)摹澳_手架”，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的來(lái)龍去脈，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中新的問(wèn)題，積極嘗試提出問(wèn)題，進(jìn)而分析和解決問(wèn)題．這樣做能調(diào)動(dòng)學(xué)生的解題積極性，更重要的是學(xué)生深度參與了數(shù)學(xué)解題的過(guò)程．基于這樣的認(rèn)識(shí)，筆者第三次與讀者分享“好數(shù)學(xué)教學(xué)”案例——“正弦定理、余弦定理的應(yīng)用”復(fù)習(xí)課.本課例是筆者所在區(qū)工作室與某中學(xué)的聯(lián)合教研活動(dòng)之一，授課對(duì)象為高二學(xué)生，基礎(chǔ)較好，在此之前已復(fù)習(xí)了三角函數(shù)圖像與性質(zhì)、恒等變換．

1 教學(xué)簡(jiǎn)錄

1.1 有想法——常規(guī)開局，變式深入

1.1.1 基礎(chǔ)訓(xùn)練

教師以一組基本題練習(xí)開始本節(jié)課，接著巡視學(xué)生的完成情況，待學(xué)生基本做好后進(jìn)行簡(jiǎn)單反饋．如已知什么，求什么(為歸納“解三角形”的基本類型作準(zhǔn)備)，用了哪些基本結(jié)論(公式)……對(duì)話中教師逐一板書本節(jié)課復(fù)習(xí)的3個(gè)公式：正弦定理、余弦定理和三角形面積公式．

筆者習(xí)慣于先練習(xí)后歸納，讓學(xué)生在練習(xí)中喚醒記憶，在歸納中重讀課本，使得所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)前后一致、邏輯連貫．個(gè)別問(wèn)題適當(dāng)追問(wèn)，如第2題，筆者巡視后發(fā)現(xiàn)學(xué)生都是通過(guò)余弦定理列一元二次方程來(lái)求c．

師：已知兩邊一對(duì)角，同學(xué)們都是利用余弦定理列方程得到c2-2c-3=0，解得c=-1(舍去)或c=3．能不能用正弦定理呢？

生(眾)：能．

師：為什么不用呢？

生(眾)：比較繁，要先求sinC，再由正弦定理求c．

師：關(guān)鍵是求sinC的過(guò)程中涉及角B范圍的估計(jì)．怎么估計(jì)角B的范圍？

生1：因?yàn)閍>b?A>B，所以B為銳角．

師：我們稱這類問(wèn)題為“解三角形”.解三角形的主要工具是正弦定理、余弦定理和面積公式(已板書)，這就是本節(jié)課的主題．根據(jù)這組練習(xí)，解三角形有哪些類型？

師生總結(jié)類型，如表1，俗稱“知三求三”．

表1 解三角形

先練習(xí)后歸納，學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)是主動(dòng)的.學(xué)生首先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行歸類和識(shí)別，聯(lián)想可能的思路和方法，然后形成初步的想法并按常規(guī)的步驟完成．由于這些小題是教師精心選擇的，每題僅含一個(gè)至多兩個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)，一組題又包涵了本節(jié)課的所有知識(shí)點(diǎn)，因此當(dāng)學(xué)生練習(xí)后，“知識(shí)點(diǎn)歸納”的事已悄然進(jìn)行．必要時(shí)教師可通過(guò)追問(wèn)，突出本節(jié)課的難點(diǎn)，如正弦定理解三角形時(shí)如何判定解的個(gè)數(shù)．

1.1.2 例題選講

例1已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2cosC(acosB+bcosA)=c．

1)求C；

3分后，學(xué)生基本做完了，教師歸納學(xué)生的方法：1)用正弦定理將邊化為角，即a，b，c分別換成2RsinA，2RsinB，2RsinC；2)用余弦定理將角化為邊，即cosB，cosA用余弦定理代入(也有學(xué)生說(shuō)射影定理的)．學(xué)生總結(jié)：解三角形的核心方法是邊角互化．

師：那能求出什么呢？

生3：能求c的取值范圍．

變式1若a+b=5，求c的最值．

“求最值”比“求取值范圍”邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性弱，盡管變量或圖形的變化是連續(xù)的；另外，“求c的最值”也可轉(zhuǎn)化為“求三角形周長(zhǎng)的最值”．學(xué)生編題，教師要把握好“度”．

從確定性問(wèn)題“知三求三”到不確定性問(wèn)題，如已知一邊和該邊對(duì)角或已知一角和該角兩邊的關(guān)系，這樣的三角形是不確定的，在不確定性問(wèn)題中我們可以提出“求范圍”問(wèn)題．為什么在解三角形中會(huì)有“求范圍”問(wèn)題？怎樣提(編)出“求范圍”問(wèn)題？這是筆者本節(jié)課的教學(xué)起點(diǎn)．

1.2 有選擇——以尋找思路為核心

將全班學(xué)生分組，前3組學(xué)生每組一個(gè)變式，第4組任選．

第一組匯報(bào)：由余弦定理得

c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=

c2=a2+b2-6≥2ab-6=6，

第三組匯報(bào)：由余弦定理得

從而

第四組補(bǔ)充說(shuō)明變式1也可以使用基本不等式求最值．教師總結(jié)“求三角形中的范圍問(wèn)題”的方法：二次函數(shù)法、基本不等式法．

師：我們回到表1．在已知兩邊一角或兩角一邊類型中，條件中減去一條邊或減去一個(gè)角，三角形就不能確定了，此時(shí)可以改求邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)或面積的最值，如表2．

表2 解三角形

已知一邊及所對(duì)角，用余弦定理列式找關(guān)系，能夠提出的問(wèn)題都與兩個(gè)正數(shù)的“和”“積”相關(guān)．與“和”相關(guān)的提出求周長(zhǎng)的最值問(wèn)題，與“積”相關(guān)的提出求面積最值問(wèn)題，或者編擬上述問(wèn)題的“逆”問(wèn)題.在變來(lái)變?nèi)ブ凶寣W(xué)生感悟如何提出問(wèn)題，并摸清這一類問(wèn)題的規(guī)律．

1.3 有優(yōu)化——多元表征簡(jiǎn)化思路

師：在“已知三邊求三角”類型中，請(qǐng)同學(xué)們作同樣的思考．

生4：已知兩邊，求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．

剛說(shuō)完，下面就眾口一詞“太簡(jiǎn)單了”．提出求面積的問(wèn)題，評(píng)價(jià)也是如此．

生5：已知一邊的長(zhǎng)及另外兩邊的比值，求面積的最小值．

師：請(qǐng)同學(xué)們完成下面的高考題．

巡視發(fā)現(xiàn)，受思維定勢(shì)影響，學(xué)生基本采用“函數(shù)法”，即選定一邊a為自變量，將面積表示成a的函數(shù)．設(shè)BC=a，則

生6：定點(diǎn)C的軌跡是阿波羅尼斯圓，可以用解析幾何方法解決．

全班恍然大悟，紛紛改用解析法．待全班做完后，教師及時(shí)總結(jié)方法并追問(wèn)．

師：生5編出高考題了，了不起！其他同學(xué)有沒(méi)有想法？

生7：已知一邊的長(zhǎng)及另外兩邊的和，求三角形面積的最小值．

師：這是什么軌跡？

生(眾)：橢圓．

生8：已知一邊的長(zhǎng)及另外兩邊的差，求三角形面積的最小值．

生(眾)：雙曲線．

師：已知一邊的長(zhǎng)及另外兩邊的積，這樣的軌跡叫卡西尼卵形線．在這些已知背景下，由于三角形不能確定，我們可以提出求面積、周長(zhǎng)等最值問(wèn)題．由于我們對(duì)圓、橢圓、雙曲線等軌跡比較熟悉，這類問(wèn)題的求解用解析法較好，先摸清圖形，再判斷最值．總結(jié)如表3，即在表2中添加一行，并于前面添加行同色同字體．

表3 解三角形

如何提出有價(jià)值的問(wèn)題？從“減少已知邊”的角度來(lái)看，生4的想法非常自然，只是思維價(jià)值不大．多元聯(lián)系表征理論認(rèn)為，不同的表征將導(dǎo)致不同的思維方式和不同的學(xué)習(xí)效果，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中強(qiáng)調(diào)多層次、多角度選取表征，這樣既有助于學(xué)生提出問(wèn)題(由阿波羅尼斯圓聯(lián)想到兩邊之比，由橢圓聯(lián)想到兩邊之和等)，也能優(yōu)化解題方法，利用圖形的意義直接找到相關(guān)的最值．

師：老師的“研究套路”有可能被你們猜著了，下面要干什么？

生9：在“已知三角求三邊”類型中編制取值范圍問(wèn)題．

生10：已知兩個(gè)角，求……

話音未落，全班啞然失笑，該生自己也不好意思起來(lái)．

生11：已知角B，即另外兩角的和A+C為定值，可以設(shè)計(jì)關(guān)于A，C的三角函數(shù)式，求這個(gè)式子的取值范圍．

師：這樣的問(wèn)題也是高考的熱點(diǎn)，題目很多．其解法與正弦、余弦定理無(wú)關(guān)，本節(jié)課暫不涉及．

生12：由于邊與角的正弦值對(duì)應(yīng)，因此也可以求邊長(zhǎng)之比．

師：請(qǐng)看下例．

這樣，學(xué)生駕輕就熟地將表3再添加一行，即已知“一角”，求“另兩角的三角函數(shù)式或另兩邊之比的范圍”，教師再將這個(gè)新表中3次添加的內(nèi)容羅列在一起，得以下表4．

表4 解三角形

1.4 有反思——形成元認(rèn)知結(jié)構(gòu)

通過(guò)3次變式，完成表4后讓學(xué)生回顧“在三角形中求取值范圍(最值)”所用方法，填在表4中的“方法聯(lián)想”中，如二次函數(shù)法、基本不等式、解析法(求軌跡)、三角函數(shù)法等．追問(wèn)本節(jié)課的本源性問(wèn)題“為什么解三角形中會(huì)有取值范圍問(wèn)題”“這類問(wèn)題的結(jié)構(gòu)類型有哪些”……實(shí)際上就是表4所呈現(xiàn)的內(nèi)容．“你能否在解三角形中編擬出某一類型的數(shù)學(xué)題”激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造熱情，學(xué)生借助于“搜題”或自編、討論和研究做到主動(dòng)回顧反思．

2 教學(xué)反思

反思傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生習(xí)慣于接受現(xiàn)成的結(jié)論，解決一些已經(jīng)解決的問(wèn)題，教學(xué)重點(diǎn)是訓(xùn)練解決這些問(wèn)題的技能與技巧，教解題而不是教怎樣解題．筆者堅(jiān)持的解題教學(xué)“四有”主張?jiān)噲D改變這種現(xiàn)狀，本課例的側(cè)重點(diǎn)是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三角形中的范圍問(wèn)題”，它“是什么”“為什么”及其規(guī)律和方法．

2.1 發(fā)現(xiàn)更有數(shù)學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)家們常說(shuō)：在數(shù)學(xué)中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題往往比證明結(jié)論更重要．?dāng)?shù)學(xué)教師應(yīng)該通過(guò)數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，這比再多的習(xí)題演練都有價(jià)值．正如本節(jié)課，如果設(shè)計(jì)成“知識(shí)歸納—典型例題—方法總結(jié)—鞏固練習(xí)”型常態(tài)復(fù)習(xí)課，確實(shí)未嘗不可，但練得再多，都不如讓學(xué)生明白這些求范圍問(wèn)題是從哪來(lái)的，怎么研究它……當(dāng)學(xué)生掌握了在三角形中研究的一般方法后，我們有理由相信，他們也能掌握在其他范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)和提出類似的問(wèn)題，并將研究方法遷移到這類問(wèn)題上來(lái)．因此，“四有”的第一步“有想法”可以前移，教師將自己的想法傳導(dǎo)給學(xué)生，搭建學(xué)生提出問(wèn)題的平臺(tái)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力．

2.2 講題揭示問(wèn)題本質(zhì)

在例1第2)小題中，教師必須與學(xué)生一起分析“不確定”的原因以及此時(shí)我們能提出什么樣的問(wèn)題，及時(shí)總結(jié)獲得的解題經(jīng)驗(yàn)(其實(shí)是研究方法)，通過(guò)類比再設(shè)法在其他“確定性”問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，如例2中的幾何背景揭示和例3中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，通過(guò)這樣的高質(zhì)量解題活動(dòng)讓學(xué)生弄清楚這類問(wèn)題的源與流，真正學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)思考．章建躍老師常說(shuō)：講答案更要講過(guò)程，講解題更要講怎樣解題，解題訓(xùn)練更要注意思維訓(xùn)練；降低負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生做適量題目就能達(dá)到目的，并取得好成績(jī)，這才是真正考驗(yàn)教師的水平．

2.3 “四有”仍需實(shí)踐完善

有關(guān)解題教學(xué)的題目需要教師精心選擇，一節(jié)課或一個(gè)單元的解題教學(xué)選題一定要將復(fù)習(xí)的思想方法蘊(yùn)含其中.本課例中讓學(xué)生去感悟、去深度變式的前提是教師先“游題?！?；其次，講答案更要講過(guò)程，教師不能代替學(xué)生思考，解法讓學(xué)生選擇，有時(shí)錯(cuò)誤的方法價(jià)值更大；再次，好的解法哪里來(lái)，教師的作用是導(dǎo)演，可以通過(guò)不斷地追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生類比、聯(lián)想，激發(fā)他們的解題熱情，培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣；最后，要求學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣，通過(guò)反思將知識(shí)納入體系，將思想凝練于心，使知識(shí)模型化、方法模式化．