(福州華僑中學(xué)，福建 福州 350004)

1 問(wèn)題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)指出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體[1].數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升是一個(gè)循序漸進(jìn)、細(xì)雨潤(rùn)物的系統(tǒng)過(guò)程，不是一朝一夕、一蹴而就所能完成的，必須貫徹到高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)的始終，貫徹到數(shù)學(xué)教學(xué)的每一節(jié)課，貫徹到每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程之中.課堂是陣地，問(wèn)題是載體，如何通過(guò)問(wèn)題的解決把培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)落實(shí)到位，是當(dāng)今每一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師必須面對(duì)和思考的問(wèn)題.

“教之道在于度，學(xué)之道在于悟”，這是中學(xué)數(shù)學(xué)教育家章建躍博士對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中兩個(gè)最關(guān)鍵問(wèn)題——“教”與“學(xué)”給出的發(fā)人深省的忠告，但是回到中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐過(guò)程尤其是數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，教師的教學(xué)“失度”以及學(xué)生的學(xué)習(xí)“被誤”現(xiàn)象仍屢見(jiàn)不鮮，最直接的后果是自然美麗的中學(xué)數(shù)學(xué)在學(xué)生面前呈現(xiàn)得越來(lái)越“面目猙獰”，以至于讓學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)產(chǎn)生“恐懼”“無(wú)奈”，部分學(xué)生喪失對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心.

下面筆者舉例說(shuō)明.

案例1方法雖多，思想?yún)T乏.

( )

數(shù)學(xué)考試中的選擇題是一類非常重要的題型，要求學(xué)生只需選出正確答案，而無(wú)需提供具體的解答過(guò)程.也正因?yàn)檫@樣的特點(diǎn)，使得選擇題具有很強(qiáng)的考查學(xué)生邏輯思維能力和解決問(wèn)題能力的功能.

方向1滲透“特殊與一般”與“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.

首先根據(jù)已知條件，選取特殊值x=0,y=1，即點(diǎn)(0,1)在圓x2+(y-2)2=1上，從而

亦即

圖1 圖2

方向2滲透“數(shù)形結(jié)合”與“化歸與轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.

本題是一個(gè)“解析幾何”問(wèn)題，文獻(xiàn)[2]給出問(wèn)題的多種構(gòu)造法解題,但都在尋求與其他相關(guān)知識(shí)的綜合，忙于“弦外之音”, 并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的真正本質(zhì)源于問(wèn)題本身.由方向1的分析不難發(fā)現(xiàn)以下事實(shí)：點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+(y-2)2=1上，從而

所以d∈[1,2],故選B.

案例2本質(zhì)模糊,劍走偏鋒.

(2018年5月江蘇省南通、揚(yáng)州等7市高三三檢聯(lián)合考試題第14題)

文獻(xiàn)[3]對(duì)這道“新穎”的試題進(jìn)行了詳盡分析.當(dāng)a<0時(shí)，顯然函數(shù)

的圖像過(guò)第一、二、三象限.當(dāng)a≥0時(shí)，y=ax-1(其中x≤0)的圖像僅過(guò)第三象限，由題意f(x)=x3-ax+|x-2|(其中x>0)的圖像過(guò)第一象限和第四象限，等價(jià)于函數(shù)f(x)=x3-ax+|x-2|(其中x>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，于是給出了解決“函數(shù)零點(diǎn)”的3種常用“通法”[3].

分析1(分類討論)

1)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)3個(gè)象限；

2)當(dāng)0≤a≤1時(shí)，……；

3)當(dāng)1

綜上可得a>2.

點(diǎn)評(píng)分類、分類、再分類,真的很累！

分析2當(dāng)a≥0時(shí)，數(shù)形結(jié)合：原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=x3+|x-2|與h(x)=ax的圖像在y軸右側(cè)有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，于是對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)，畫(huà)三次函數(shù)的圖像.設(shè)切點(diǎn)(x0,y0)，解二元三次方程組

得x0=1,a=2,因此a>2.

點(diǎn)評(píng)求導(dǎo)、畫(huà)圖、解高次方程組,真的很難！

分析3(分離參數(shù))當(dāng)a≥0時(shí),在方程x3+|x-2|=ax的兩邊同除以x,得

點(diǎn)評(píng)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、求分段函數(shù)的最值、畫(huà)分式分段函數(shù)的圖像，真的很繁！

解本題時(shí)，文獻(xiàn)[3]先進(jìn)行調(diào)查，讓學(xué)生大膽說(shuō)出當(dāng)時(shí)的想法以及思路遇到的障礙.“老師，我直接去絕對(duì)值討論的(函數(shù)最值法)，好像有點(diǎn)亂，搞暈了，沒(méi)做完”“我用的數(shù)形結(jié)合，太緊張了，結(jié)果搞反了”“我想到了分參，但也不怎么確定，沒(méi)敢做，時(shí)間也不太夠”“我看到這一題時(shí)，大腦一片空白，好大一會(huì)也沒(méi)有任何想法”“對(duì)對(duì)對(duì)，我也是，什么想法也想不到，根本沒(méi)有思路”……[3]

學(xué)生想到了做不到，想不到的更做不到，無(wú)奈之情一覽無(wú)余！因此，教師采取了以下對(duì)策：1)通性通法的機(jī)械性“植入”，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，放手給學(xué)生才是有效手段；2)淺層次的一題多練事倍功半，階梯式的探究方能修得正果[3].

從上述事實(shí)不難發(fā)現(xiàn)，一道經(jīng)過(guò)命題專家精心設(shè)計(jì)、立意新穎、解法多樣的填空壓軸題，為什么事與愿違，最終變成超高難度、超低效的試題？一所省四星級(jí)高中905名學(xué)生中只有37人做對(duì)，平均分為0.2,難度系數(shù)為0.04，令人震驚！文獻(xiàn)[3]的作者是一位年富力強(qiáng)的優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師，不僅有深厚的專業(yè)造詣，而且有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，面對(duì)考試結(jié)果也不得不喟然長(zhǎng)嘆：“理想很豐滿，現(xiàn)實(shí)很骨感”，所教的學(xué)生雖然經(jīng)過(guò)“兩輪復(fù)習(xí)”，但是絕大多數(shù)學(xué)生也未能幸免，仍然是茫然不知所措，望題興嘆，無(wú)可奈何……，最后把希望的眼神再次投向教師，于是教師痛定思痛后決定“放手不管”“友情客串”……，以此防止“通性通法‘機(jī)械性’植入”，最終提出“淺層次一題多練事倍功半，階梯式訓(xùn)練方能修得正果”！

在“兩輪復(fù)習(xí)”過(guò)程中都沒(méi)有進(jìn)行過(guò)“階梯式訓(xùn)練”嗎？階梯式訓(xùn)練就是深層次的訓(xùn)練嗎？“放手不管”“友情客串”真的能夠防止通性通法的“機(jī)械性”植入嗎？為什么教師辛辛苦苦地教，學(xué)生勤勤懇懇地學(xué)，卻考出凄凄慘慘的分，令人深思，發(fā)人深??！要更好地解決上述問(wèn)題，筆者認(rèn)為非常有必要認(rèn)真學(xué)習(xí)《新課標(biāo)》，不斷更新教育教學(xué)理念，以人為本，以學(xué)定教，關(guān)注學(xué)生的核心素養(yǎng)的提升，不斷提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵能力.在學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的前提下，教師以文獻(xiàn)[3]中的問(wèn)題為載體，對(duì)學(xué)生進(jìn)行核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

教師要引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題的本質(zhì)是什么？由于f(x)=x(x2-a)+|x-2|(其中x>0)，顯然，無(wú)論a是多大的常數(shù)，當(dāng)x取足夠大的正數(shù)時(shí)，函數(shù)值一定會(huì)大于0，也就是說(shuō)必過(guò)第一象限，這樣問(wèn)題過(guò)不過(guò)第四象限成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵.圖像過(guò)第四象限就是函數(shù)圖像上有點(diǎn)在第四象限，即在函數(shù)圖像上存在x>0，y<0的點(diǎn).

通過(guò)對(duì)問(wèn)題全面透徹的分析與思考，可以得到解法1:

當(dāng)x≥2時(shí)，

故a>2.

雖然通過(guò)“直觀感知、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算”，用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言給出問(wèn)題的正確解答，但是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高不能停留在一般層次，而是要有不斷提高的理念和意識(shí)，要從不同側(cè)面對(duì)問(wèn)題的教育價(jià)值進(jìn)行充分提煉.對(duì)問(wèn)題再次進(jìn)行思考，著重學(xué)生“邏輯推理”和“數(shù)學(xué)運(yùn)算”這兩個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的側(cè)面考量，選擇不同的運(yùn)算途徑，得到解法2：

于是當(dāng)0≤a≤2時(shí),對(duì)任意的x>0,f(x)≥0恒成立，即此時(shí)圖像不過(guò)第四象限，若要使函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)第一象限和第四象限，則a>2.

點(diǎn)評(píng)從上述的分析探究過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，例2的數(shù)學(xué)本質(zhì)是分段函數(shù)與不等式的關(guān)系問(wèn)題，并不是真正的“函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)”問(wèn)題.解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是學(xué)生應(yīng)該掌握的通性通法問(wèn)題，通性通法固然重要，但是通性通法并不簡(jiǎn)單等同于某種“套路”，見(jiàn)題就套，盲目亂套，這樣不但不能將問(wèn)題“套牢”，往往是自己被問(wèn)題“套牢”.真正的通性通法就是要具有數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，然而核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力絕不是某種單一的訓(xùn)練模式所能夠培養(yǎng)和提高的，面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題尤其是新問(wèn)題,教師每每都是好心為學(xué)生提供這樣或那樣的“階梯”進(jìn)行若干“鋪墊”，這種“甘為人梯”的精神雖然可嘉，但一旦學(xué)生離開(kāi)課堂這塊特殊的“陣地”，就會(huì)遇到諸多的無(wú)奈，茫然不知所措，不利于學(xué)生的終身發(fā)展.

2 問(wèn)題的啟示

作為新課程改革時(shí)代的教師，“教什么”和“怎么教”是教師需要面對(duì)和思考的問(wèn)題，教師辛辛苦苦地教，學(xué)生勤勤懇懇地學(xué)，為什么會(huì)收效甚微？雖然原因眾多，但最重要的是教師在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中有沒(méi)有關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展、有沒(méi)有挖掘問(wèn)題的本質(zhì)、有沒(méi)有從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求出發(fā)從數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中汲取和提煉養(yǎng)分、有沒(méi)有提升學(xué)生的核心素養(yǎng)、有沒(méi)有提高學(xué)生的關(guān)鍵能力……只有把關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)、提高關(guān)鍵能力作為教學(xué)常態(tài)，才能使教師和學(xué)生雙雙從辛苦和痛苦中解脫出來(lái)，返璞歸真，渾然天成.