姚宏書

“復(fù)雜性”“非線性”是世界、物質(zhì)、生命和人類生活最為顯著的特征。二十世紀(jì)誕生的“復(fù)雜性科學(xué)”，超越了十九世紀(jì)自笛卡爾、牛頓以來一直統(tǒng)治科學(xué)、哲學(xué)領(lǐng)域的本質(zhì)的、線性的、還原的思維模式。世界是多種因素的耦合，二十一世紀(jì)的科學(xué)——“復(fù)雜性科學(xué)”的逐步興起，提供了研究、思考、探究人類、世界、物質(zhì)的可能的最好方式。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)同樣如此。

一、復(fù)雜性：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)新的認(rèn)識(shí)論視角

“復(fù)雜性科學(xué)”肇始于1928年貝塔朗菲的系統(tǒng)論之研究?；凇皬?fù)雜性科學(xué)”視角，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就是師生的共同探險(xiǎn)，對(duì)未知世界的探險(xiǎn)。這個(gè)過程充滿了無限的可能，有著不同的路向。從“復(fù)雜性科學(xué)”視角打量課堂，我們發(fā)現(xiàn)課堂具有一系列復(fù)雜性特質(zhì)：整體性、非線性、自組織性，等等。以“復(fù)雜性科學(xué)”理論研究小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，具有現(xiàn)實(shí)的、有效的指導(dǎo)性意義。

1. 數(shù)學(xué)課堂具有“不確定性”

課堂，是向未知領(lǐng)域挺進(jìn)的旅程。在這個(gè)過程中，學(xué)生隨時(shí)都能遭遇意外的陌生風(fēng)景。數(shù)學(xué)課堂具有不確定性、動(dòng)態(tài)生成性。在課堂學(xué)習(xí)中，由于每個(gè)學(xué)生不同的經(jīng)驗(yàn)背景、認(rèn)知特質(zhì)等差異，讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)呈現(xiàn)著一種非線性特征。課堂教學(xué)預(yù)案對(duì)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)只能發(fā)揮有限的調(diào)控作用，而不能完全被預(yù)設(shè)。比如教學(xué)《三角形內(nèi)角和》（蘇教版四上），預(yù)設(shè)的導(dǎo)學(xué)單中給學(xué)生的友情提醒是運(yùn)用“撕角法”“折角法”等進(jìn)行探究。但在真正的課堂探究實(shí)踐中，學(xué)生經(jīng)過彼此的多元對(duì)話，誕生出遠(yuǎn)遠(yuǎn)超預(yù)設(shè)的方法。比如“作輔助線法”“邏輯推理法”“鉛筆旋轉(zhuǎn)法”等等。

2. 數(shù)學(xué)課堂具有“自組織性”

系統(tǒng)論認(rèn)為，系統(tǒng)有一種自我完善的功能，這就是“自組織性”。所謂“自組織”，是在沒有外界特定干預(yù)下，系統(tǒng)能獲得時(shí)空、功能、結(jié)構(gòu)的協(xié)同，通過相互作用而有序化，這是一種自我演化的過程。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)來說，外因是變化條件，內(nèi)因是變化根據(jù)。課堂不能被程序化，因此教師不必對(duì)課堂教學(xué)過度、精致預(yù)設(shè)，而應(yīng)采用大框架，引領(lǐng)課堂，讓課堂自身不斷自我生成、發(fā)展、協(xié)同、運(yùn)作。可以設(shè)置“大問題”，運(yùn)用“大任務(wù)”驅(qū)動(dòng)。比如教學(xué)《圓的周長(zhǎng)》（蘇教版五下），筆者設(shè)置了這樣的兩個(gè)活動(dòng)：[活動(dòng)一]認(rèn)識(shí)圓的周長(zhǎng);[活動(dòng)二]探究圓的周長(zhǎng)。其中在“活動(dòng)二”中，設(shè)置了兩個(gè)“主問題”：?jiǎn)栴}一是怎樣探究圓的周長(zhǎng)？問題二是猜想圓的周長(zhǎng)和什么有關(guān)系？有著怎樣的關(guān)系？通過“主任務(wù)”“主問題”，學(xué)生展開自主思考、小組交流、展示。數(shù)學(xué)課堂不斷地在“有序”“無序”“有序”間運(yùn)作，從而讓數(shù)學(xué)課堂自我生成、發(fā)展。

3. 數(shù)學(xué)課堂具有“開放性”

基于“復(fù)雜性科學(xué)”視角，數(shù)學(xué)課堂要成為一種“耗散結(jié)構(gòu)”。為此，要讓課堂從封閉走向開放，因?yàn)橹挥袕姆忾]走向開放，只有讓課堂信息與外界不斷地流動(dòng)、讓課堂能量與外界不斷地交換，課堂這一耗散結(jié)構(gòu)才能煥發(fā)出生命的活力。比如教學(xué)《解決問題的策略——畫圖》（蘇教版四下），這樣的問題——“小張家距離學(xué)校600米，小李家距離學(xué)校800米。小張家距離小李家多少米？”就具有開放性。在討論問題的過程中，學(xué)生不斷誕生新想法，比如小張和小李家在同一條直線上，小張和小李家在同側(cè);小張和小李家在同一條直線上，小張和小李家在異側(cè);小張和小李不在同一條直線上等。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)較好地保持生活原貌，應(yīng)當(dāng)盡可能貼合現(xiàn)實(shí)。只有這樣，才能打通學(xué)生的思維通道，讓課堂學(xué)習(xí)向生活開放、向經(jīng)驗(yàn)開放，從而不斷對(duì)接、彌合。

二、復(fù)雜性：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)新的方法論視角

學(xué)生的復(fù)雜性以及教育教學(xué)本身的復(fù)雜性，決定了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一個(gè)具有不確定性、自組織性、開放性的系統(tǒng)。華東師范大學(xué)葉瀾教授深刻地指出：“把復(fù)雜事物看作可分解為簡(jiǎn)單來分別認(rèn)識(shí)……不可能真正對(duì)復(fù)雜性整體形成突破性認(rèn)識(shí)……我們要學(xué)會(huì)用復(fù)雜思維的方式來研究復(fù)雜事物?！?/p>

1. 善于跟進(jìn)，處理好課堂教學(xué)的“不確定性”

課堂教學(xué)是一個(gè)“確定性”與“不確定性”的對(duì)立統(tǒng)一體。只有善于跟進(jìn)，才能把握課堂教學(xué)的“不確定性”。作為教師，對(duì)于課堂動(dòng)態(tài)的、不確定性的事件有時(shí)要順?biāo)浦?，有時(shí)要倒行逆施，有時(shí)要臨時(shí)轉(zhuǎn)舵，有時(shí)要將錯(cuò)就錯(cuò)，通過教師的教學(xué)機(jī)智，將課堂教學(xué)諸多的不確定性，轉(zhuǎn)化、發(fā)展、提升為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“動(dòng)態(tài)資源”。

比如一位教師教學(xué)《6的分與合》（蘇教版一上），教學(xué)中，教師的一只紐扣“啪”的一聲掉在地上，引發(fā)了課堂的小小騷動(dòng)?！袄蠋煹募~扣掉了”，學(xué)生有的竊笑，有的議論，有的趁機(jī)調(diào)皮“搗蛋”（畢竟是剛?cè)雽W(xué)的一年級(jí)學(xué)生）。應(yīng)該說，“紐扣”掉在地上是課堂教學(xué)中的一個(gè)“不和諧音符”。但教師靈機(jī)一動(dòng)，迅速調(diào)整、運(yùn)用這個(gè)“課堂意外”，化解教學(xué)尷尬?！巴瑢W(xué)們，你能根據(jù)剛才發(fā)生的事，用‘6的分與合知識(shí)來說一句話嗎？”這一下，學(xué)生從無序的議論交流轉(zhuǎn)變?yōu)橛行虻?、目的性很明確的數(shù)學(xué)議論、交流。有學(xué)生說，“老師身上的衣服原來有六只紐扣，掉了一只，還剩多少只？”“老師身上的衣服掉了一只紐扣，還有五只紐扣，原來有多少只紐扣？”“老師身上的衣服原來有六只紐扣，現(xiàn)在只有五只紐扣，掉了多少只紐扣？”等等。

數(shù)學(xué)教學(xué)是一種探險(xiǎn)，一種對(duì)未知領(lǐng)域的探險(xiǎn)，因此充滿了“不確定性”。作為教師，要善于“跟進(jìn)”，或“放大”，追問深入;或“縮小”，迂回突破。只有善于抓住課堂不確定性的資源、契機(jī)，才能讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)成為一種創(chuàng)造。

2. 著眼整體，把握好課堂教學(xué)的“無序性”

課堂是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、生成性的結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要把握好課堂教學(xué)的“有序性”與“無序性”。數(shù)學(xué)課堂，從整體上看是有序的，是由此及彼、由淺入深的螺旋上升過程。但從局部看，卻充滿了諸多的不確定性，是無序的。作為教師，要從結(jié)構(gòu)入手，把握好數(shù)學(xué)課堂關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)，將課堂從無序引向有序。

比如教學(xué)《相遇問題》（蘇教版四下），很多教師在教學(xué)中都會(huì)讓學(xué)生表演，這種表演多半是對(duì)“相遇問題”的片段式擷取。“掐頭去尾燒中段”式的數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生“知其然”而“不知其所以然”。筆者在教學(xué)中，立足于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體視角，將甲方、乙方從“未相遇”到“相遇”，從“相遇”到“相離”的整個(gè)過程展示。在這個(gè)過程中，筆者將“相遇問題”分成幾個(gè)不同方式，引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，如相向而行、相背而行等。不僅如此，筆者還將“相遇問題”“追及問題”等進(jìn)行比較，從而讓學(xué)生對(duì)直線上的行程問題形成一個(gè)整體的、系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)知。這樣的課堂，既體現(xiàn)了教學(xué)的不確定性，如相向、相背，如相遇、追及等，又彰顯了教學(xué)的確定性，如“速度和乘相遇時(shí)間等于路程和”“速度差乘相遇時(shí)間等于路程差”，等等。

行程問題是復(fù)雜的，許多教師在實(shí)踐中將其割裂“相向”“相背”，揉碎成“相遇”“追及”等，由此造成學(xué)生思維的斷裂。著眼整體，就是把握好課堂教學(xué)的“無序性”。因?yàn)闊o論哪一種行程問題，都可以用“速度乘時(shí)間等于路程”來表征。“復(fù)雜性科學(xué)”認(rèn)為，整體性是系統(tǒng)科學(xué)的一個(gè)基本屬性。整體不是各部分、局部的簡(jiǎn)單累積，整體大于各部分之和。把握整體，需要教師擁有一種“非線性思維”，從而防止教學(xué)機(jī)械化、模式化、單一化，讓教學(xué)走向“有序”“共生”。

3. 敏銳捕捉，駕馭好課堂教學(xué)的“可能區(qū)間”

“復(fù)雜性科學(xué)”認(rèn)為，系統(tǒng)的現(xiàn)象與本質(zhì)是一體的。在某些條件下，系統(tǒng)內(nèi)部的偶然性、特例性等有可能是系統(tǒng)的本質(zhì)顯現(xiàn)。對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究，要避免簡(jiǎn)單的“還原論思維”“決定性思維”。通常情況下，偶然性只是未被發(fā)現(xiàn)的必然性。同時(shí)，必然性也不一定就比偶然性優(yōu)越，并不一定比偶然性具有合法地位。作為教師，要善于捕捉資源，駕馭好課堂教學(xué)的“可能性區(qū)間”。

比如教學(xué)《圓的面積》（蘇教版五下），學(xué)生在例題學(xué)習(xí)以及“練一練”“做一做”以及后續(xù)練習(xí)中，遭遇的問題都是已知直徑或半徑或周長(zhǎng)，要求圓的面積。這是日常、普遍、一般性問題。通過解決這些問題，學(xué)生就形成這樣的思維定式，即“要求圓的面積，首先就必須求出圓的半徑”。但是，這樣的具有普遍意義的認(rèn)識(shí)，卻并不反映解決圓的面積的問題本質(zhì)。當(dāng)學(xué)生偶然遇到“已知圓的半徑的平方是5，要求圓的面積”時(shí)，學(xué)生也是想方設(shè)法地求半徑，但是囿于小學(xué)階段沒有學(xué)習(xí)開方，因此學(xué)生就感到一籌莫展了。當(dāng)筆者啟發(fā)學(xué)生，已知圓的半徑的平方是否要先求出圓的半徑時(shí)，學(xué)生方才恍然大悟。在這里，偶然性反而蘊(yùn)含著圓的面積的本質(zhì)、反而揭示出解決圓的面積的本質(zhì)性方法。這正說明，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須讓學(xué)生秉持一種復(fù)雜性思維。只有秉持復(fù)雜性思維，才能捕捉到有意義、有價(jià)值的資源，從而駕馭好課堂教學(xué)的“可能區(qū)間”。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能偏執(zhí)于普適性、一般性的數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律發(fā)現(xiàn)及運(yùn)用，而必須關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)中的特殊性、個(gè)別性。不僅數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)是如此，數(shù)學(xué)教學(xué)場(chǎng)域中的人更是如此。教學(xué)中，“并沒有簡(jiǎn)單事物，只有被簡(jiǎn)化的事物”?！皬?fù)雜性科學(xué)”視域中的數(shù)學(xué)教學(xué)提醒教師，要保有多元意識(shí)、敏感意識(shí)和開放意識(shí)。只有這樣，才能實(shí)現(xiàn)教師教學(xué)思維由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的轉(zhuǎn)換。