朱向明

數(shù)學是思維的體操?；仡檾?shù)學課程目標的變化歷程（從“雙基”到“三維目標”，再到“核心素養(yǎng)”）可以發(fā)現(xiàn)：無論數(shù)學課程怎樣改革，數(shù)學思維始終是數(shù)學課程目標的核心。因此，數(shù)學課程的重要任務(wù)就是促進兒童的數(shù)學思考，幫助兒童積累豐富的數(shù)學思維經(jīng)驗，讓兒童通過數(shù)學學會思考。實際教學中，可以從優(yōu)化數(shù)學學習素材、巧妙設(shè)計探究活動、注重經(jīng)驗內(nèi)化反思等方面促進學生展開數(shù)學思考，積累思維經(jīng)驗。

[?]一、優(yōu)化數(shù)學學習素材，為數(shù)學思考“加料”

數(shù)學思維是一個由數(shù)學思維材料、數(shù)學思維方法、數(shù)學思維方式、數(shù)學思維觀念組成的立體結(jié)構(gòu)。在這個結(jié)構(gòu)中，材料是思維的基礎(chǔ)。數(shù)學教材作為一種重要的數(shù)學學習素材，為學生的數(shù)學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源。對數(shù)學學習“原料”——教材的研究和使用，主要體現(xiàn)在對例題和習題的優(yōu)化處理。

1. 突出例題思維張力，促進數(shù)學思考

例題是數(shù)學教材的主體，是幫助學生建構(gòu)新知、強化理解的重要載體。它既是教學的出發(fā)點，又讓學生在親身經(jīng)歷知識形成的過程中理解數(shù)學本質(zhì)。但受篇幅限制，教材不可能完全展開數(shù)學活動，這就需要教師充分挖掘例題蘊含的思維訓練點，精心加工例題“原材料”，促進兒童數(shù)學思考。

例如，《三角形的認識》一課，蘇教版教材（下文舉例均為蘇教版教材）在例1后安排了“試一試”：讓學生從方格紙上給定的4個點中任選3個作為頂點畫出一個三角形，再交流有什么發(fā)現(xiàn)。教材意在讓學生通過畫圖體會“不在同一直線上的3個點才能畫出三角形”。

筆者教學“試一試”時，分了三個層次：首先，在方格紙上提供3個點，讓學生用這3個點作為頂點，畫一個三角形再交流發(fā)現(xiàn)。接著，出示教材的“試一試”，引導學生完成并交流發(fā)現(xiàn)。最后，在方格紙上呈現(xiàn)一條線段（突出兩個端點），引發(fā)學生思考：畫一個三角形需要3個頂點，另一個頂點可能在哪里。教師借助動畫，不斷變化另一個點的位置，讓學生在頭腦中畫出三角形（根據(jù)第3個點的位置畫出不同類型的三角形）。

上述教學就以例題為“原料”進行了精細加工，通過層次遞進的活動促進學生在“畫”中展開積極的數(shù)學思考，讓學生在頭腦中形成“三角形”準確的內(nèi)涵與豐富的外延：第一層次可以體會到“只要三個點的位置確定了，三角形的大小、形狀就確定了”;第二層次就是教材意圖的體現(xiàn);第三層次通過變化的第三個點讓學生在腦中不斷畫出形狀不同的三角形，形成不同形狀三角形的表象，豐富三角形的外延，同時發(fā)展學生的空間觀念，積累思維活動經(jīng)驗。

2. 突出習題思維張力，促進數(shù)學思考

習題作為數(shù)學教材的重要組成部分，不僅可以幫助學生鞏固新知、形成技能，還可以發(fā)展數(shù)學思維，促進學生會想問題。但教材在編排習題時，往往受教材篇幅、習題數(shù)量、難度及梯度等影響，習題內(nèi)在的“思維張力”很難體現(xiàn)。為此，教師在教學時，應(yīng)準確把握習題意圖，合理二次加工，變“教材”為“學材”，變“原料”為“猛料”。

例如，認識11～20各數(shù)，教材提供了一道習題：讓學生看著一把0～20數(shù)尺圖，從0讀到20。筆者分四個層次教學這一題：第一層次——填。將習題中給出的11～20各數(shù)變?yōu)椤?，讓學生填數(shù)。第二層次——讀?？粗暾臄?shù)尺，先從左到右讀和從右到左讀;再2個2個跳著讀、3個3個跳著讀、5個5個跳著讀。第三層次——比。先找出比10小的數(shù)，再找出比10大的數(shù)。第四層次——數(shù)。從15開始向右數(shù)3個數(shù)，數(shù)到幾;向左數(shù)3個數(shù)呢？如果從15開始向右數(shù)6個數(shù)，數(shù)到幾？

杜威指出：思維只是隨心所欲、毫不連貫地東想西想是不夠的。有意義的思維應(yīng)是不斷的、一系列的思量，連貫有序，因果分明，前后呼應(yīng)。上述的教學，教師以教材上的一道習題為原料充分彰顯“數(shù)尺”中蘊含的思維內(nèi)核，精心組織一系列連貫有序的思維活動，既幫助學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)，又發(fā)展了數(shù)感，也為數(shù)的運算積累了思維經(jīng)驗：第一層次打破完整的“數(shù)尺”，學生在自主填寫中將新知納入原有的認知結(jié)構(gòu)。第二層次既強化了20以內(nèi)數(shù)的順序，又豐富了“單數(shù)”“雙數(shù)”的概念。幾次跳著讀，為2、3、5的乘法口訣積累了思維經(jīng)驗。第三層次的比，讓學生體會到“在數(shù)尺上，越往右，數(shù)越大，越向左，數(shù)越小”，進而建立“數(shù)序”。第四層次的數(shù)，不僅凸顯了加法和減法的本質(zhì)：加法是向后數(shù)的策略，減法是向前數(shù)的策略;而且擴展了認數(shù)的范圍，為后續(xù)學習百以內(nèi)的數(shù)積累了經(jīng)驗。

[?]二、巧妙設(shè)計探究活動，為數(shù)學思考“上色”

數(shù)學思維是人腦對外部的數(shù)學信息的接收、分析、選擇、加工和整合的過程?！八夭摹敝皇峭庠诘男畔?，由外在信息成為思維結(jié)果，還需要經(jīng)過一系列的從外感到內(nèi)化的交互作用過程。要實現(xiàn)這樣的交互作用，教師需要跳出知識的層面，從促進學生學會思考的高度巧妙設(shè)計探究活動，為學生展開數(shù)學思考不斷“上色”。

五年級下冊教材在《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》單元中安排的一道練習（如圖1，求這個圖形的周長），此題有三種常見解法：把三個半圓分別相加;把兩個小半圓合起來看作一個圓的周長，再加大半圓的周長;直接算一個大圓的周長。后面兩種方法都運用了轉(zhuǎn)化的策略。筆者教學此題時，并沒有止步于圖形周長的計算和轉(zhuǎn)化策略的運用，而是立足發(fā)展數(shù)學思考、積累思維經(jīng)驗，精心設(shè)計了四個層次的活動。

第一層次：解決問題，初步探究。課件出示此題，學生獨立思考后小組交流自己的算法，教師組織學生比較：這三種方法，你喜歡哪一種方法？進而明確：求三個半圓的周長和可以轉(zhuǎn)化為求一個圓的周長。

第二層次：變化數(shù)據(jù)，二次探究。課件出示兩個圖（與原圖一樣，變化圖中數(shù)據(jù)，大圓半徑變?yōu)?厘米和20厘米）先引發(fā)學生猜測：每個圖形的周長可以怎樣算？再組織學生計算驗證猜測，進而組織比較：所給的數(shù)據(jù)不同，在計算的方法上為什么相同，如果所給的大圓半徑為R，可以怎樣計算這個圖形的周長？

第三層次：變化圖形，三次探究。課件出示圖2（單位：厘米）引發(fā)學生猜測：這個圖形的周長可以怎樣算？學生計算驗證猜測的基礎(chǔ)上組織比較：在計算周長的方法上和前面的圖相同嗎？

第四個層次：自變圖形，四次探究。教師引發(fā)學生想象：如果還是用這種方法求這樣的圖形周長，那么像這樣的圖形還可以怎樣變？自己嘗試設(shè)計出一個圖形后計算，再和小組同學交流。

教育心理學家加涅把“教”定義為“用來激活和支持內(nèi)部學習過程的外部事件的安排”，把“學”定義為“由于經(jīng)驗而引起的學習者的知識變化”。數(shù)學教學過程即學生思維活動過程的優(yōu)化，既要注意學習的外部材料的組織，使其體現(xiàn)過程性和探索性，更要重視學習的內(nèi)部條件即思維內(nèi)部材料的表征，使其體現(xiàn)條件化、結(jié)構(gòu)化、策略化。在上面四個層次遞進的探究活動中，學生不僅體會了轉(zhuǎn)化策略對于解決圖形問題的價值，而且有效發(fā)展了形象思維、邏輯思維、直覺思維、發(fā)散思維和創(chuàng)造性思維。正是思維的培養(yǎng)，才為這樣一道普通的習題“上色”，使其變?yōu)橐淮斡幸饬x的探究之旅，學生也在不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，在發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的逐次“探險”中，品嘗“上色”數(shù)學的“美味”！

三、強化活動體驗反思，為數(shù)學思考“提味”

在數(shù)學教學中存在著三種思維活動：數(shù)學家的思維活動（一般存在于教材之中）、數(shù)學教師的思維活動和學生的思維活動。數(shù)學教學過程就是學生在教師指導下，通過數(shù)學思維活動，掌握數(shù)學家思維活動的成果，并發(fā)展數(shù)學思維能力的過程。因此，學生是數(shù)學學習活動的主體，學生必須通過積極的實踐體驗和思維活動把數(shù)學家的思維結(jié)果通過“再創(chuàng)造”轉(zhuǎn)化為自己的思維結(jié)果。教學中，教師既要“選料”——選擇好實踐探究的素材，又要“上色”——安排合理的探究活動，更要“提味”——組織活動體驗后的反思，活動不等于經(jīng)歷，經(jīng)歷不等于經(jīng)驗。思維的過程和思維的結(jié)果只有經(jīng)過反芻和回味，才能積淀為數(shù)學思維經(jīng)驗，才能提升思維品質(zhì)。

1. 反思解決問題的過程是否簡潔

波利亞在《怎樣解題》中，特別強調(diào)將回顧反思作為解題的一個重要環(huán)節(jié)，意在通過反思不斷調(diào)整思維結(jié)構(gòu)、深化思維層次、提高思維水平，同時在反思中再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造。例如，學生在解決“圖3是一個梯形。那么三角形甲的面積是三角形乙的” 時，多數(shù)學生都是按照分別求出甲、乙的面積再用除法計算的思路來解決的。教師引導學生反思：如果梯形的高是22.63厘米，你還能解決嗎？從而組織學生反思剛才解決問題的過程，進而尋找更簡潔的思路和方法：直接求甲的底是乙的底的就可以了。通過對比反思兩次解決問題的過程，可以有新的發(fā)現(xiàn)：圖中高的長度，對解決本題沒有影響，如果把高也參與計算，反而使問題解決變得麻煩。

2. 反思結(jié)果是否正確

學生已掌握的知識狀況和已有的思維方式，將影響著新的學習和解題思維的展開。在剛開始學習某一數(shù)學知識時，一定要準確、全面把握其數(shù)學本質(zhì)，否則，將影響后續(xù)的知識應(yīng)用和思維提升。鄭毓信教授也指出：“通過數(shù)學學會思維，促進學生積極思考，逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理?！?/p>

例如，“列舉”所蘊含的數(shù)學本質(zhì)是有序思考和分類思想。只有在分類和有序的基礎(chǔ)上才能做到列舉的結(jié)果不重復、不遺漏。教學中，教師往往關(guān)注的是列舉過程的不重復不遺漏，卻忽視了列舉出每種情況后需要對結(jié)果進行反思調(diào)整。為此，在本課的練習環(huán)節(jié)，教師提供了一個問題：小芳有50幣、30幣和20幣三種不同幣值的樂學幣各1枚，用這些樂學幣能換多少種不同幣值的獎品？

多數(shù)學生是把每類付幣方法相加，都認為能換7種不同幣值的獎品時，教師及時追問：“果真是這樣嗎？”引發(fā)學生對結(jié)果進行反思，從而回顧列舉過程，發(fā)現(xiàn)不能簡單把每類結(jié)果相加，而應(yīng)對各類結(jié)果進行比較，發(fā)現(xiàn)盡管分類合理，列舉有序，但是每一類的結(jié)果之間會有重復，以此培養(yǎng)學生思維的靈活性和批判性。

思維主要是靠啟迪內(nèi)省，而不是傳授，越是傳授得一清二楚，學習者就越不需要思維。教師的任務(wù)就是適時提示學生回顧反思，內(nèi)化活動體驗，在“有味道”的反思中體會隱藏在數(shù)學知識背后的數(shù)學思想和方法，感受數(shù)學思維方式的力量，以此積累數(shù)學思維經(jīng)驗，優(yōu)化思維方式，提升思維品質(zhì)，真正實現(xiàn)學會思考。