鄭 良

(安徽省靈璧第一中學(xué) 234200)

筆者在進行高三二輪“數(shù)列”專題復(fù)習(xí)備課時，遇到了如下兩道試題，很容易就發(fā)現(xiàn)了其中的解答錯誤.而類似的運算錯誤在學(xué)生答題中比較常見，故撰寫此文，以示提醒，以期拋磚引玉，引發(fā)更多、更好的解決方案.

一、試題與解答

例1設(shè)等差數(shù)列{an}滿足：3a7=5a13，cos2a4-cos2a4sin2a7+sin2a4cos2a7-sin2a4=-cos(a5+a6)，公差d∈(-2,0)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為( ).

A.100π B.54π C.77π D.300π

解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由3a7=5a13，得a1=-21d.

cos2a4-cos2a4sin2a7+sin2a4cos2a7-sin2a4=cos2a4(1-sin2a7)-sin2a4(1-cos2a7)=cos2a4cos2a7-sin2a4sin2a7=(cosa4cosa7-sina4sina7)(cosa4cosa7+sina4sina7)=cos(a4+a7)cos(a4-a7)=-cos(a5+a6).

當(dāng)n≥5時，n!的個位數(shù)字為0，而1!+2!+3!+4!的個位數(shù)字為3，所以所求前100項和的個位數(shù)字也是3.

二、案例剖析

下面分別驗證其充分性：

當(dāng)t=1時，an+1=(n+1)an，得an≠0，以上解答成立.(或先求an=n!,再驗證滿足an+1an-1=an(an-1+an))，此時所求前100項和的個位數(shù)字為3.

綜上所述，a1+a2+…+a100的個位數(shù)是3或1.

三、兩點感悟

1.深化運算能力 提高監(jiān)控反思

數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：理解數(shù)學(xué)對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果.數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結(jié)果.運算求解能力是指會根據(jù)法則、公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計合理、簡便的運算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計和近似計算.運算求解能力是思維能力和運算技能的結(jié)合.數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，通過運算可以促進學(xué)生思維發(fā)展，形成規(guī)范思考問題的本質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學(xué)精神.提高數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)必需夯實基礎(chǔ)知識、通曉運算規(guī)則，具有整體意識，明確問題走向，根據(jù)不同情形適時調(diào)整的能力.

學(xué)習(xí)過程中，可通過適當(dāng)?shù)暮献鲗W(xué)習(xí)，培養(yǎng)檢驗意識和技能等方式提高自我監(jiān)控能力.解決問題時嘗試思考：還有哪些角度？還有哪些方法？方法與結(jié)論是否能夠推廣等等.自我監(jiān)控能力的提高可實現(xiàn)根據(jù)具體問題進行自我調(diào)節(jié)從而保證了學(xué)習(xí)的效果.學(xué)生對除法運算中除數(shù)不能為零的元認識知識是具備的，但對其相關(guān)的元認知體驗未必深刻，它需要較多的正例與反例的強化與感悟.例1中，在方程cos(a4+a7)cos(a4-a7)=-cos(a4+a7)兩邊同時除以cos(a4+a7)是至精至簡的需要，也是化歸與轉(zhuǎn)化的體現(xiàn)，但解題者出現(xiàn)了對運算法則理解的 “暫時缺失”從而導(dǎo)致了錯誤操作.

2.強化邏輯推理 規(guī)范書寫步驟

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴謹性的基本保證，是人們在數(shù)學(xué)活動中進行交流的基本思維品質(zhì).推理論證講究言必有據(jù)，先證后用是解題的基本規(guī)范，也是演繹推理的根基.

平時解題的書寫要規(guī)范，要寫清問題的原理(數(shù)學(xué)模型)，盡可能做到不跳步.注重論據(jù)的落實，形成完整的推理論證鏈.如何求集合A和B的交集A∩B？一般有如下方法：

①平行型.先分別求出集合A，B，再求A∩B；

②遞進型.在集合A(B)的基礎(chǔ)上滿足集合B(A)；

③交錯型.對A，B交叉使用，最終確保滿足A，B.