荀光玲

【摘要】 ?三角函數(shù)作 為數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)學(xué)科占據(jù)著重要的地位。通過(guò)研究，歸納總結(jié)三角函數(shù)在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用類型，主要分為代數(shù)、幾何、最值求解問(wèn)題，并指出了解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)。另外，通過(guò)調(diào)研總結(jié)了目前中學(xué)三角函數(shù)解題中常常出現(xiàn)的一些問(wèn)題，對(duì)三角函數(shù)解題的方法進(jìn)行了總結(jié)歸納，大致可以分為定義法、數(shù)學(xué)結(jié)合法、公式定理法，并針對(duì)每種方法提供了實(shí)例進(jìn)行了講解。

【關(guān)鍵詞】 ?三角函數(shù) 解題方法 分析能力

對(duì)于中學(xué)學(xué)生而言掌握三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，并熟練運(yùn)用三角函數(shù)進(jìn)行解題具有重要的意義。學(xué)習(xí)三角函數(shù)可以提高抽象思維能力。三角函數(shù)可以將圖形的邊長(zhǎng)關(guān)系、角度關(guān)系通過(guò)公式表達(dá)并建立關(guān)系，有助于學(xué)生在數(shù)形之間變換。三角函數(shù)將抽象的圖形轉(zhuǎn)化為公式、代數(shù)的形式進(jìn)行表達(dá)。通過(guò)數(shù)學(xué)表達(dá)之間的變換、整理、計(jì)算，無(wú)形中增加學(xué)生的計(jì)算渠道，培養(yǎng)了計(jì)算能力。

一、三角函數(shù)解題的基本應(yīng)用

1.代數(shù)解題中的應(yīng)用

三角函數(shù)在解題中的應(yīng)用是指將代數(shù)問(wèn)題通過(guò)三角函數(shù)轉(zhuǎn)換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，利用三角函數(shù)的定義、性質(zhì)和相關(guān)定理進(jìn)行解決問(wèn)題。對(duì)于部分復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行三角函數(shù)轉(zhuǎn)化后，可以達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果，為解決代數(shù)問(wèn)題提供捷徑。

選擇合適的三角函數(shù)進(jìn)行代換是三角函數(shù)解決代數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵。進(jìn)行三角函數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)，首先應(yīng)從題中變數(shù)的允許值去考慮;再?gòu)慕忸}的需要通過(guò)分析，選擇合適的三角函數(shù)進(jìn)行代換。在進(jìn)行三角代換后，再根據(jù)所求問(wèn)題，采取對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解。

2.幾何解題中的應(yīng)用

三角函數(shù)在幾何解題中的應(yīng)用，就是講幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)、定理完成幾何命題的證明或求解。對(duì)于某些幾何問(wèn)題在證明或者求解時(shí)往往比較復(fù)雜，無(wú)法應(yīng)用幾何定理直接解決。然而，將上述問(wèn)題三角化后，理論三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，不僅證明過(guò)程簡(jiǎn)捷，而且證明思路也比較自然，易于證題。

3.最值解題中的應(yīng)用

三角函數(shù)在最值解題中的應(yīng)用是指將原函數(shù)中的自變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)化后，利用三角函數(shù)周期性、最值性等性質(zhì)，求解原函數(shù)的最值問(wèn)題。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)為有界函數(shù)，因此可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，將解析幾何最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題。本題型的解題關(guān)鍵為將原來(lái)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行三角化后，并靈活地選擇變量，運(yùn)用三角函數(shù)解析后，建立原目標(biāo)函數(shù)的三角函數(shù)表達(dá)式。

二、三角函數(shù)解題常見(jiàn)問(wèn)題

1.基礎(chǔ)理論知識(shí)掌握不扎實(shí)

對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的扎實(shí)掌握是解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：首先，對(duì)三角函數(shù)基本含義的掌握不理解，或者對(duì)有些問(wèn)題模棱兩可。其次，缺乏主動(dòng)性導(dǎo)致知其然，但不知其所以然。這勢(shì)必導(dǎo)致學(xué)生在解題中，對(duì)于未遇到的過(guò)的題缺乏應(yīng)對(duì)能力。

2.三角函數(shù)問(wèn)題分析能力不足

分析能力是解決三角函數(shù)問(wèn)題必須培養(yǎng)的一種能力，然而現(xiàn)實(shí)中學(xué)生在解題和教師在授課中往往忽視了這一點(diǎn)。對(duì)于很對(duì)學(xué)生和老師，當(dāng)遇到問(wèn)題時(shí)常常不去思考，而是機(jī)械性、慣性的去解題。這往往導(dǎo)致問(wèn)題解決到一半才發(fā)現(xiàn)無(wú)法再進(jìn)行下去。這種學(xué)習(xí)和教學(xué)方式雖然增加了做題的工作量，但實(shí)際并未提高、培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題的能力。在遇到其它問(wèn)題時(shí)往往不知如何分析或?qū)ふ彝黄瓶凇?/p>

三、中學(xué)三角函數(shù)在解題方法總結(jié)

1.定義法

定義法解題是指通過(guò)三角函數(shù)的基本定義，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整理、分析，進(jìn)而得到解決問(wèn)題途徑的一類方法。

例題1：在△ABC中，已知△中三邊的長(zhǎng)度分別為a、b、c，∠C=90°，求a3cosA+b3cosB？（可以用a、b、c進(jìn)行表達(dá)）。

解題思路：分析可以看出，被處理的式子無(wú)法直接進(jìn)行計(jì)算。因?yàn)閍、b分別代表了數(shù)值，cosA、cosB分別表示了兩角的函數(shù)?？梢詫⑸鲜鰞煞N類型的代數(shù)，轉(zhuǎn)換為同一種類型的在進(jìn)行計(jì)算。

四、結(jié)語(yǔ)

運(yùn)用三角函數(shù)解決解題，對(duì)于鍛煉學(xué)生計(jì)算能力、思維能力、分析能力等均有較大幫助。引導(dǎo)學(xué)生選擇正確的方法進(jìn)行解題，在三角函數(shù)解題中十分關(guān)鍵。因此，在日常教學(xué)中應(yīng)常與學(xué)生進(jìn)行溝通，要引導(dǎo)學(xué)生面對(duì)問(wèn)題時(shí)勤于梳理，對(duì)于方法要善于總結(jié)，進(jìn)而提高學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)進(jìn)行解題的能力。

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