聶淑媛

[摘? 要] 對MPCK呈現(xiàn)前后《二項式定理》的教學(xué)設(shè)計進(jìn)行了對比分析，通過精心挖掘MK、深刻剖析CK、巧妙更新PK，修訂和改進(jìn)了教學(xué)思路和教學(xué)設(shè)計模式，凸顯了MPCK理論對有效課堂教學(xué)的指導(dǎo)意義.

[關(guān)鍵詞] MPCK理論;有效教學(xué);二項式定理;楊輝三角

MPCK理論源于20世紀(jì)80年代美國學(xué)者舒爾曼（Lee S. Shulman，1938-）提出的教學(xué)內(nèi)容知識（Pedagogical Content Knowledge，簡記為PCK），這一概念旨在探討教師應(yīng)如何把學(xué)科知識和教育知識有機(jī)融合，從而以最高效簡潔且易于被學(xué)生理解和接受的方式呈現(xiàn)具體學(xué)科知識[1]，其中針對數(shù)學(xué)學(xué)科的研究即為MPCK. 自2005年起，國內(nèi)的數(shù)學(xué)教育工作者展開了多角度、全方位的MPCK研究. 董濤剖析了基于PCK結(jié)構(gòu)框架的數(shù)學(xué)課例研究教學(xué)途徑[2];程德勝等從宏觀層面概述了國內(nèi)學(xué)者研究MPCK理論的不同視角，并剖析了其未來需特別關(guān)注的熱點(diǎn)方向[3];李渺等明確了MPCK各成分的含義，并深入挖掘了話題MPCK和課堂MPCK的具體表現(xiàn)形式[4];史寧中等提出了數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展包含教師自我知識的拓展和實踐型教師教育兩大模塊[5];楊建寧、陸明明等基于MPCK視角，對高中數(shù)學(xué)的概念課和定理課進(jìn)行了實際案例分析[6][7];李渺則通過對經(jīng)典教學(xué)案例的比較和評析，深入挖掘了優(yōu)秀教師課堂MPCK的特征及表征形式[8]. 上述實踐和理論從不同方向充實和完善著MPCK理論，但總體來看，基于MPCK的有效課堂教學(xué)研究相對較少，筆者以《二項式定理》為課例，結(jié)合自身的專業(yè)成長經(jīng)歷，實證剖析MPCK理論對有效課堂教學(xué)的指導(dǎo)作用.

1. 《二項式定理》的原教學(xué)設(shè)計

環(huán)節(jié)一：提出問題、啟動思維. 首先請學(xué)生回顧乘法公式（a+b）2，（a+b）3及結(jié)論的推證方法，由此引出問題：利用上述思路，你能求出（a+b）4，（a+b）10的展開式嗎？有學(xué)生根據(jù)（a+b）4=（a+b）2×（a+b）2，嘗試給出了其展開式，但明顯感受到運(yùn)算的復(fù)雜和煩瑣，故一致認(rèn)為應(yīng)另辟蹊徑探究（a+b）10，可選擇何種視角解讀這類展開式呢？問題清晰且導(dǎo)向明確.

環(huán)節(jié)二：探究問題、發(fā)散思維. 面對問題，教師適時點(diǎn)撥，若與上一節(jié)剛學(xué)習(xí)的計數(shù)原理相聯(lián)系，能否構(gòu)建計數(shù)模型解釋（a+b）2，（a+b）3等公式？此時，學(xué)生極其熟悉的摸球模型呼之欲出，具體分析過程不再贅述. 當(dāng)學(xué)生基于組合思想和分類加法、分步乘法原理的層面認(rèn)知了（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4等具體展開式后，師生共同探究：欲求解（a+b）10，甚至更一般的（a+b）n，核心問題是挖掘其結(jié)構(gòu)特征，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、類比、猜想進(jìn)而提煉得到求二項展開式關(guān)鍵在于明確其項數(shù)、清楚項的排列規(guī)律和項的構(gòu)成，后者又可以細(xì)分為項的形式、項的系數(shù)和項的次數(shù)等.

環(huán)節(jié)三：剖析問題、拓展思維. 經(jīng)過層層剖析上述建構(gòu)于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題串，二項式定理的歸納總結(jié)可謂水到渠成，詮釋定理時可密切結(jié)合數(shù)學(xué)思想文化，如通常把展開式的第k+1項Tk+1=Can-kbk而不是第k項Tk=Can-k+1bk-1記為其通項，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美;借助組合數(shù)公式C=C理解二項式系數(shù)C，C，…，C的和諧美;由字母a，b的降冪和升冪排列規(guī)律體會其對稱美，等等.

環(huán)節(jié)四：延伸問題、深化思維. 由（a-b）n，（1+2x）n，2-等變式訓(xùn)練引領(lǐng)學(xué)生理解二項式定理的應(yīng)用實質(zhì)：對a，b賦值或賦表達(dá)式，并據(jù)此強(qiáng)調(diào)“二項式系數(shù)”與“二項展開式系數(shù)”的根本區(qū)別.

環(huán)節(jié)五：回顧問題、升華思維. 在總結(jié)階段，除了概述二項式定理及關(guān)鍵點(diǎn)，可對二項式系數(shù)進(jìn)行引申回顧：把C，C，…，C從n=1開始依次排列，即是學(xué)生已熟知的楊輝三角，請學(xué)生課后搜集楊輝三角的歷史知識，并基于此角度理解和推證二項式定理.

2. 基于MPCK視角的實證分析

對于環(huán)節(jié)一，從教師的MK來看，情境設(shè)置非常貼近學(xué)生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，根據(jù)多項式相乘推證（a+b）2，（a+b）3的展開式，這一過程學(xué)生極其熟練. 從CK來看，教師顯然已關(guān)注到學(xué)生的思維和固有知識，但高估了其計算能力和操作能力，學(xué)生根本不可能在短時間內(nèi)快速而準(zhǔn)確地找出（a+b）10，導(dǎo)致教師創(chuàng)設(shè)的問題只能起到“此路不通、請走彼路”的警示和輔助提醒作用. 從PK來看，教師注重問題引領(lǐng)，遵循從簡單到復(fù)雜、從已知到未知的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行由（a+b）2，（a+b）3到（a+b）4，（a+b）10的知識遷移，溫故知新，教法自然. 但對于為什么要進(jìn)行這樣的數(shù)學(xué)活動，或者說學(xué)習(xí)二項式定理的緣由，教師沒有任何解釋和鋪墊，只是“蠻橫地誘導(dǎo)”學(xué)生必須學(xué)習(xí)，學(xué)生也是“自然而然”地不得已而為之. 經(jīng)過長期缺少宏觀思想和整體意識的類似“訓(xùn)練”，師生最易囿于“只見樹木、不見森林”的狹隘局面.

為繼續(xù)探尋上一環(huán)節(jié)中的“彼路何在”，師生回顧計數(shù)原理和摸球模型，從MK來看，二項式定理位于加法原理和乘法原理之后，利用計數(shù)原理剖析二項式定理可謂知識的順應(yīng)和同化. 但從CK來看，總給人以“綁架”學(xué)生思維的嫌疑，在教師步步緊逼的問題圈套下，學(xué)生“情不自禁”地陷入定理分析中. 從PK來看，由特殊的（a+b）4過渡到一般的（a+b）n時，設(shè)計了一系列坡度小、起點(diǎn)低、銜接自然、層次分明的問題串，以實現(xiàn)對定理形式上的歸納概括，這是本節(jié)課展現(xiàn)教師基本功的關(guān)鍵點(diǎn)之一，此處無可非議.

對于環(huán)節(jié)三和環(huán)節(jié)四，從MK來看，注重突出二項式定理的本質(zhì)屬性，強(qiáng)調(diào)展開式的相關(guān)概念，定理建構(gòu)及應(yīng)用適當(dāng)、嫻熟. 從教師的CK來看，能關(guān)注到學(xué)生對定理內(nèi)涵與外延的理解，設(shè)計變式問題情境引領(lǐng)學(xué)生解析概念，使其直接或間接地感受知識的產(chǎn)生、發(fā)展和演變過程，與新課標(biāo)“重在經(jīng)歷和體驗”的理念相吻合. 從PK來看，教學(xué)中有機(jī)滲透了數(shù)學(xué)文化，結(jié)合具體知識特點(diǎn)使學(xué)生體會數(shù)學(xué)語言的簡捷和嚴(yán)謹(jǐn)，有助于其形成正確的數(shù)學(xué)觀. 但教學(xué)幾乎未涉及數(shù)學(xué)史上與二項式定理相關(guān)的知識典故，數(shù)學(xué)史的德育功能薄弱、欠缺.

正是為了彌補(bǔ)這一缺憾，教師在小結(jié)的最后拋出了楊輝三角作為課堂延伸和課后鞏固，從MK的角度來看，楊輝三角與二項式定理的結(jié)構(gòu)和形式密切相關(guān)，二者的有機(jī)聯(lián)系正是數(shù)學(xué)知識連貫性的體現(xiàn). 但從CK的角度來看，學(xué)生課下對兩個結(jié)論的比較分析可能會局限于表面特征，更多聚焦于直覺理解和形式操作. 從PK來看，盡管設(shè)計了開放性、導(dǎo)向性問題，但缺失了牛頓推廣的二項式定理，而且此處蘊(yùn)涵的邏輯演繹、情感態(tài)度，經(jīng)由教師的課堂點(diǎn)撥和渲染，其效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于學(xué)生的獨(dú)自品味.

基于上述分析，筆者重新審視了教學(xué)內(nèi)容的深度和廣度，以及學(xué)生的認(rèn)知風(fēng)格和潛在的思維障礙等學(xué)情態(tài)勢，從MK，CK和PK角度再具體設(shè)置三維教學(xué)目標(biāo)，尤其是過程與方法目標(biāo)和情感、態(tài)度、價值觀目標(biāo)，并以此為指導(dǎo)改進(jìn)和修訂了原教學(xué)設(shè)計.

3. MPCK融入后的《二項式定理》教學(xué)設(shè)計

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境、引入問題. 以學(xué)習(xí)格言“積跬步以致千里，積怠惰以致深淵”拉開課堂序幕，用數(shù)學(xué)語言描述，即比較（1+0.01）365和（1-0.01）365，或者（1+0.02）365和（1-0.02）365的差異！當(dāng)不允許借助計算器等工具時，需探究（a+b）n的展開式，旨在明確授課主題，強(qiáng)調(diào)知識之源，揭示學(xué)習(xí)二項式定理的意義和必要性，充分關(guān)注到學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī).

環(huán)節(jié)二：探究體驗、分析問題. 根據(jù)已學(xué)習(xí)過的推理論證方法，學(xué)生容易想到從n=1，2，3開始探尋（a+b）365，師生共同回憶并按如圖1所示排列相關(guān)公式，圖1可啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到楊輝三角，結(jié)合楊輝三角與（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3嘗試猜想（a+b）4，需重點(diǎn)分析展開式項的構(gòu)成，如項的形式、項的次數(shù)，尤其是基于（a+b）3的中間兩項，結(jié)合楊輝三角及（a+b）4的中間三個系數(shù)4，6，4，引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測對應(yīng)的中間三項依次為4a3b，6a2b2， 4ab3，結(jié)論是否正確呢？當(dāng)學(xué)生處于高度憤悱之時，無論是利用組合思想，還是引入摸球模型去探究展開式的構(gòu)成，都可謂一氣呵成、順理成章.

環(huán)節(jié)三：歸納建構(gòu)、解決問題. 類比（a+b）4，自然過渡到（a+b）n，并在圖1的基礎(chǔ)上生成二項式展開圖，如圖2所示. 結(jié)合圖2定義（a+b）n的通項，重點(diǎn)剖析其展開式項的結(jié)構(gòu)形式及次數(shù)，強(qiáng)調(diào)二項式系數(shù)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的對稱、排列的整齊和規(guī)律等數(shù)學(xué)美！借助楊輝三角、牛頓和歐拉發(fā)現(xiàn)使用二項式定理的史料宣揚(yáng)中西方古代數(shù)學(xué)思想及其差異，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心！

環(huán)節(jié)四：知識運(yùn)用、提升問題. 對（a+b）n與（a-b）n，（x+2y）n與（2y+x）n的展開式進(jìn)行對比分析，通過分別求其具體的第幾項，如第四項，以及的常數(shù)項等，明確二項式定理的本質(zhì)含義及表征，凸顯“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”之區(qū)別. 同時，列舉（1+1）n和（1-1）n等特例證明組合數(shù)相關(guān)公式.

環(huán)節(jié)五：回顧問題、梳理總結(jié). 回首課堂的初始問題情境，欲計算（1+0.01）365和（1-0.01）365，由于數(shù)值較大，可近似保留展開式的前3項或前4項，如（1+0.01）365≈1+365×0.01+×0.01≈11.29. 類似地，（1-0.01）365≈3.99. 跬步和怠惰的差距可見一斑！一方面，鼓勵學(xué)生課后繼續(xù)計算比較（1+0.02）365和（1-0.02）365，并簡要說明1.01365≈37.8，0.99365≈0.03和1.02365≈1377.4，0.98365≈0.0006，以真實且驚人的數(shù)據(jù)告誡學(xué)生積少成多、貴在積累和堅持的學(xué)習(xí)道理. 同時，引申問題應(yīng)用，上述思路正是估計ab或近似計算高次方根的理論依據(jù)，二項式定理的重要性不言而喻，此時再梳理定理的相關(guān)知識不僅輕松而且高效！

MPCK理論強(qiáng)調(diào)以學(xué)生已有的生活經(jīng)驗為起點(diǎn)，更多關(guān)注概念的實際背景與“再創(chuàng)造”過程，引導(dǎo)學(xué)生盡可能地經(jīng)歷把實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型的實踐歷程，過程教學(xué)觀可稱之為MPCK的靈魂. MPCK理念下的有效課堂教學(xué)，不僅要讓學(xué)生深刻理解和經(jīng)歷感受數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，而且要凸顯數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的有機(jī)聯(lián)系，更注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 對于本課例，從二項式定理的發(fā)展史而言，其雛形是11世紀(jì)賈憲《釋鎖算書》中的“開方作法本原圖”，因為賈憲只給出了最高為六次冪的二項式系數(shù)表，并且其著作早已失傳，故目前廣為人知的是楊輝三角，由此亦可知，楊輝三角和二項式定理的縱橫遷移、內(nèi)外聯(lián)系不容忽視. 教師只有深刻挖掘相關(guān)知識的數(shù)學(xué)背景，包括其誕生、發(fā)展歷程，及其思想方法在后續(xù)內(nèi)容中的拓展，在實踐生活中的表現(xiàn)等，最大限度地豐富和充實自身的MK，才能準(zhǔn)確地選取可切實重現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的問題情境，為實施有效課堂教學(xué)儲備經(jīng)典的基礎(chǔ)知識. 筆者通過對教師MK的梳理和提升，在重新設(shè)計二項式定理的教學(xué)時，以計算（1+0.01）365等數(shù)值呼應(yīng)“開高次方”運(yùn)算，并基于楊輝三角和創(chuàng)新的二項式展開圖挖掘定理，高效且生動再現(xiàn)了二項式定理的生成過程.

課堂教學(xué)的主體是學(xué)生，多角度、全方位地探明學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握程度，合理預(yù)估其學(xué)習(xí)過程中的困難和思維定式，是教師CK的研究內(nèi)容. 教師只有立足于MK，透徹理解CK，才能基于課堂教學(xué)目標(biāo)，靈活選擇PK. 本例中根據(jù)楊輝三角關(guān)于（a+b）4的系數(shù)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷比較和類推，探究其展開式. 由于為學(xué)生搭建的“腳手架”梯度合理、層次分明，故其思維發(fā)展由淺入深、層層遞進(jìn)，同時，教師根據(jù)學(xué)生和知識的不同需求，采取了講授法、啟發(fā)式、探究法等多元化PK交叉融合的教學(xué)方法，最終逐漸完成了對二項式定理由直觀到抽象、由低級到高級的認(rèn)識和推證，課堂脈絡(luò)清晰、高效簡潔. 最后，教師基于中國古典文化抽象出二項式模型，并首尾呼應(yīng)，不僅隱含和引申了二項式定理的源與流，而且恰到好處地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，切實體現(xiàn)了有效教學(xué)的本質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]? Shulman L S.Knowledge and Tea-ching：Foundations of the New Reform[J]. Harvard Educational Review，1987，57（1）：1-21.

[2]? 董濤. 基于PCK框架的數(shù)學(xué)課例研究教學(xué)途徑與策略[J]. 課程·教材·教法，2017，37（08）：52-56.

[3]? 程德勝，武晨，莊國華，等. 數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識（MPCK）實證研究綜述與啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017，26（04）：65-70.

[4]? 李渺，寧連華. 數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識（MPCK）的構(gòu)成成分、表現(xiàn)形式及其意義[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（02）：10-14.

[5]? 王宏，史寧中. 基于教師專業(yè)發(fā)展視角的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識研究[J]. 東北師大學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2015（06）：244-248.

[6]? 楊建寧. MPCK視角下的高中數(shù)學(xué)定理教學(xué)及案例分析[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（09）：9-10.

[7]? 陸明明. 基于課堂觀察的教師MPCK比較研究——以《數(shù)系的擴(kuò)充》同課異構(gòu)為例[J]. 教育研究與評論：中學(xué)教育教學(xué)，2016（06）：32-38.

[8]? 李渺. 優(yōu)秀教師課堂MPCK的特點(diǎn)——基于兩則教學(xué)案例的比較研究[J]. 數(shù)學(xué)通報，2013（04）：12-16.