李萍 張紅
【摘要】范希爾理論符合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律.對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“圖形與幾何”的教學(xué)存在著重要的意義.一個好的教學(xué)活動必然需要一個好的理論框架作為依據(jù).范希爾的幾何思維水平用于幾何教學(xué)活動的設(shè)計,有利于教師在幾何教學(xué)中有效地組織教學(xué)活動.范希爾幾何思維水平啟示我們,在幾何教學(xué)中:借助直觀,促進理解;在活動中探索圖形性質(zhì);在想象與推理中把握關(guān)系.
【關(guān)鍵詞】范希爾理論;幾何思維水平;幾何教學(xué)
在新課程實施以來[1],我們的課堂發(fā)生了許多變化,然而,我們可以發(fā)現(xiàn),課堂教學(xué)中有的教材的安排或者是作業(yè)的難度所需要的語言或者是能力常常超出學(xué)生的思維水平,而幾何概念相對是比較枯燥的,這樣很容易使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)興趣.再加上有的教師雖然注重數(shù)學(xué)聯(lián)系生活實際,但是卻停留在表面,并沒有引導(dǎo)學(xué)生將幾何概念從生活實際中抽象出來,這系列的問題都亟待我們?nèi)ソ鉀Q.范希爾幾何思維水平分為五個等級,而小學(xué)生只能達到前三個等級,所以在此文章中我們只研究范希爾前三個水平對圓的教學(xué)的思考.
一、范希爾理論的綜述
范希爾理論是荷蘭的范希爾夫婦根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知理論,結(jié)合自身在幾何教學(xué)中所面臨的問題研究所得到的用來刻畫學(xué)生的幾何思維水平的理論.范希爾理論的核心內(nèi)容有兩個,一是幾何思維的五個水平,二是與之對應(yīng)的五個教學(xué)階段.本文不研究與之對應(yīng)的五個教學(xué)階段.
(一)范希爾幾何思維的五個水平
1.水平0:視覺
兒童通過整體輪廓辨認(rèn)圖形,能畫圖或模仿畫出圖形,初步描述圖形,但無法通過圖形的特征或要素名稱來分析圖形,也無法對圖形做概括的論述.
例如,有的兒童可能會區(qū)分直線圖形和曲線圖形,但對同類的圖形,如,正方形和平行四邊形,則不能正確地區(qū)分.
2.水平1:分析
兒童能分析圖形的組成要素及特征,并且在此基礎(chǔ)上了解圖形的一些特性,利用特性解決幾何問題,但無法解釋性質(zhì)間的關(guān)系,也無法了解圖形的定義.
例如,這個階段的兒童可能會區(qū)分長方形和三角形,因為“長方形長得像門,而三角形不像門”,卻可能不會區(qū)分正方形和菱形,因為他們都是方的,像“手帕”,所以他們是一樣的.
3.水平2:非形式化的演繹
兒童能建立圖形以及圖形內(nèi)部性質(zhì)之間的關(guān)系,能探索圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系.使用公式與定義及發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做演繹推論,但不能了解證明與定理.例如,長方形是特殊的平行四邊形,可能比較難以理解.
4.水平3:形式的演繹
學(xué)生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”,“公理”和“定理”的意義,確信幾何定理是需要邏輯演算才能建立的,能猜測并嘗試用演繹方式證實其猜測,能夠以邏輯推理解釋幾何學(xué)中的公理,定義定理等,也能推理出新的定理,建立定理間的關(guān)系網(wǎng).
例如,他們可以把任何一個四邊形分割成兩個三角形,從而由三角形的內(nèi)角和是180推導(dǎo)出四邊形的內(nèi)角和是360°.
5.水平5:嚴(yán)密性
能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ?,以分析比較不同的幾何系統(tǒng),如歐式幾何和非歐幾何.這五個水平是順次的,但卻又是不連續(xù)的.學(xué)生在進入某一個水平之前.必須掌握好在這之前的水平的大部分內(nèi)容.
二、范希爾幾何思維水平對圓的認(rèn)識教學(xué)的啟示
(一)借助直觀,促進理解(水平0:視覺)
這個階段的學(xué)生只能從外觀上解讀圖形,而不關(guān)心也沒有能力確定圖形的性質(zhì).
1.對教學(xué)的啟示(引入階段)
例如,在“圓的認(rèn)識”的教學(xué)中[2],首先出示一組圖形,讓學(xué)生對其分類.此時,通過外觀的觀察可以按照直和曲的標(biāo)準(zhǔn)將其分類.通過這樣的標(biāo)準(zhǔn)分類,有利于學(xué)生從整體上感知四邊形、圓、橢圓的共同本質(zhì)特征,為進一步認(rèn)識圓做好鋪墊.盡管這樣的分類僅僅是從外觀上進行的,而不是根據(jù)圖形的性質(zhì)來區(qū)分的,但這樣的處理卻把學(xué)生的思維由直觀引向圖形的性質(zhì)特征聯(lián)系起來了,以便更好地從直觀化水平向描述水平過渡.
另外,關(guān)于圓的認(rèn)識,也是聯(lián)系生活中熟悉的事物.比如,在學(xué)習(xí)“圓”時,可向?qū)W生展示生活中的硬幣、盆的底部等等,讓學(xué)生說說這些圓有什么特點.為了讓學(xué)生更加直觀地感受圓的大小,可以用幾何畫板展示一組半徑大小不同的圓,可以讓學(xué)生想象這個圓無限伸縮的特點.這種直觀性的操作,有利于學(xué)生整體感知圓的特點(圓心與半徑).盡管這種認(rèn)識還是基于經(jīng)驗性的[3],但在理解幾何概念及其發(fā)展空間觀念時卻起著很大作用.過了很多年以后,學(xué)生也許早已忘記射線和直線的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義,但盆子的底部可大可小等生活情境可能牢牢地印在學(xué)生的頭腦中,而這個情境卻足以使其理解直線的定義和特征.
(二)在活動中探索圖形性質(zhì)(水平1:分析)
對幾何圖形的學(xué)習(xí),一個非常重要的方面,就是對圖形特征的學(xué)習(xí).如圓的特征的認(rèn)識,這就屬于這個水平層次的學(xué)習(xí).
當(dāng)在認(rèn)識圓的特征時,可以通過:
1.感受生活中的圓:硬幣、紐扣、光盤、桌面、鐘面……年輪.
2.動手摸圓,初步感知圓的特征.
3.借助實物創(chuàng)造圓.
4.動手實踐:動手折一折、畫一畫、量一量、比一比,看一看你有什么發(fā)現(xiàn)?
5.用圓規(guī)畫圓.
另外,處在此水平階段的學(xué)生“往往傾向于用日常用語來描述幾何概念,一般來說,他們尚不能用精確的語言來刻畫數(shù)學(xué)概念”.例如,學(xué)生在描述硬幣時,會說圓圓的,沒有棱角,用這種生活語言來描述圓的特點.對這種情況,教師首先要允許并鼓勵學(xué)生用自己的語言描述,但不能停留在這水平上,待學(xué)生用自己的語言描述后,教師要說出精確的數(shù)學(xué)語言以便逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握精確的數(shù)學(xué)語言.這一心理特點也啟示我們,在概念的形成過程中[4],不能一步到位,也就是說能直接出示定義概念,而是有一個概念的生成過程,是逐步形成或者說生成的.對這一點,也是符合皮亞杰的觀點:學(xué)生學(xué)習(xí)幾何,先有具體概念,再有定義概念.所以,我們在圓定義概念時,先出示其具體概念.具體來講,可以先出示圓的圖形,然后說像這樣的圖形,在數(shù)上我們把它叫作圓,用這種具體直觀的描述性語言,學(xué)生容易理解.
對出示圖形,這里又面對著這樣一個重要的問題:在探索圖形性質(zhì)特征時,我們?yōu)榱俗寣W(xué)生更好地探索圖形的特征,往往給出的圖形都是標(biāo)準(zhǔn)的圖形或者說標(biāo)準(zhǔn)位置的圖形.但要指出的是“不能只停留于對標(biāo)準(zhǔn)圖形的認(rèn)識,還要適當(dāng)?shù)刈儞Q方位,通過變式圖形與標(biāo)準(zhǔn)圖形的比較,來突出標(biāo)準(zhǔn)圖形的本質(zhì)特征,從而正確地掌握圖形的基礎(chǔ)特征”.事實上,只有通過各種變式圖形認(rèn)識了圖形的本質(zhì)特征,才能通過圖形的性質(zhì)與一類圖形建立聯(lián)系.
(三)在想象和推理中把握關(guān)系(水平2:非形式化的推理)
對幾何知識的學(xué)習(xí),除了圖形特征外,圖形關(guān)系的學(xué)習(xí)也是非常重要的內(nèi)容,圖形的關(guān)系具體分為不同各個要素之間的關(guān)系和不同圖形的關(guān)系.而同一圖形各個要素之間的關(guān)系往往反映了圖形的本質(zhì)特征.圖形與圖形之間的關(guān)系有利于學(xué)生整體把握幾何知識,形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).
在這一階段:教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形與圖形之間的關(guān)系,并對圓的認(rèn)識中比較難的部分進行引導(dǎo)(圓與之前學(xué)習(xí)的圖形都不同:邊是曲線,不是直的).雖然圓的特征(圓心、半徑),學(xué)生認(rèn)識比較容易,但對隨著半徑的改變,圓的大小也在不斷變化,學(xué)生學(xué)習(xí)卻比較困難,這就需要教師的引導(dǎo).同時,圓的基本特征與半徑與直徑的關(guān)系也不是很好理解.這就需要教師通過讓學(xué)生折一折、畫一畫、量一量、猜一猜、比一比等活動讓學(xué)生理解圓的基本特征及半徑與直徑的相互關(guān)系.
我們可以發(fā)現(xiàn)[5],大多數(shù)小學(xué)生都處于范希爾理論的水平0和水平1的層次,少部分人處于水平2,這說明學(xué)生的幾何思維水平發(fā)展符合范希爾理論不連續(xù)性的特點,從一個思維水平到另一個思維水平的過渡是跳躍的,也是極為不易的,所以我們?nèi)粘=虒W(xué)中要善于增強學(xué)生的體驗,讓學(xué)生通過自身的動手、操作、實踐,不斷獲得數(shù)學(xué)活動的體驗,增強他們的空間觀念,從而幫助學(xué)生盡快地實現(xiàn)思維水平.
【參考文獻】
[1]袁櫻.小學(xué)幾何教學(xué)中空間觀念的培齊研究[D].昆明:云南師范大學(xué),2007.
[2]陶紅強.范希爾幾何思維水平對教學(xué)的啟示[J].教育實踐與研究,2016(23):43-46.
[3]王文強.范希爾理論及其對幾何教學(xué)的啟示[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究:教研版,2016(23):97-98.
[4]鄭毓信.小學(xué)數(shù)學(xué)概念與思維教學(xué)[M].南京:江蘇鳳凰教育出版社,2014:108.
[5]孔企平.小學(xué)兒童如何學(xué)數(shù)學(xué)[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2001:103-105.