湯石英

【摘要】在數(shù)學(xué)中，“數(shù)”與“形”是兩大研究對(duì)象，這兩者在一定條件下是互相聯(lián)系，互相結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化的。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用數(shù)形結(jié)合起來解決問題，可以使抽象數(shù)學(xué)問題簡單化、具體化，讓學(xué)生容易理解，從而使解題直觀明了，便于學(xué)生解題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣及其解題思維能力，從而到達(dá)喜人的成效。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；教學(xué)；應(yīng)用

在數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”是兩大研究對(duì)象，這兩者在一定條件下是互相聯(lián)系，互相結(jié)合，互相轉(zhuǎn)化的，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用數(shù)形結(jié)合起來解決問題，可以使抽象數(shù)學(xué)問題簡單化、具體化，讓學(xué)生容易理解，從而使解題直觀明了，便于學(xué)生解題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣及其解題思維能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的意義

數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來。數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)為“形輔助數(shù)”和“數(shù)輔助形”，而“形輔助數(shù)”就是把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖形，從而啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生找到解題思路；“數(shù)輔助形”就是在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)性質(zhì)解決圖形問題，也就是將抽象的語言和直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。而初中階段是學(xué)生數(shù)學(xué)思維形成的初期，學(xué)生對(duì)抽象的問題比較難理解和掌握，所以在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，有利于提升學(xué)生空間想象能力和邏輯推理能力，有利學(xué)生的形象思維與抽象思維的形成、融合，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)深入淺出地、直觀地了解知識(shí)的內(nèi)涵，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象生動(dòng)、直觀具體，使學(xué)生感到易學(xué)、愛學(xué)，從而激發(fā)其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性。

二、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的具體應(yīng)用

基于多年教學(xué)實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，數(shù)形結(jié)合思想在解題中的具體應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

1.數(shù)形結(jié)合思想中“形輔助數(shù)”的具體運(yùn)用

（1）數(shù)形結(jié)合思想在有理數(shù)中的應(yīng)用

在初中階段，學(xué)生剛接觸有理數(shù)，如果單單是教師的文字?jǐn)⑹龅脑?，學(xué)生就會(huì)對(duì)有理數(shù)的概念及其應(yīng)用，及相反數(shù)、絕對(duì)值等都比較難理解。而結(jié)合數(shù)軸表示有理數(shù)，通過數(shù)軸能很好地幫助學(xué)生理解有理數(shù)相關(guān)概念，如相反數(shù)、絕對(duì)值等，并且利用圖形能把知識(shí)點(diǎn)直觀化，讓學(xué)生通俗易懂，且奠定其解題思路。如對(duì)于一些只含字母的有理數(shù)大小比較的題目，學(xué)生往往容易混淆，如果能利用圖形，就可以把這類題目變抽象為直觀，達(dá)到簡化的目的。

例：如下圖所示，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為a、b，則下列結(jié)論不正確的是（ ）

A. a+b> 0 B.a-b<0 C.ab<0 D.

分析：結(jié)合圖形， 由題意-1

（2）數(shù)形結(jié)合思想在不等式組中的應(yīng)用

在八年級(jí)解不等式組教學(xué)中，解不等式組是一個(gè)難題，尤其是講解不等式組的公共解集時(shí)，單文字?jǐn)⑹龉驳牟糠志褪沁@不等式組的解集，學(xué)生是很難理解的，什么是公共的部分？而這時(shí)結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，引用數(shù)軸，可將兩個(gè)不等式解集表示在同一數(shù)軸上，這樣就比較形象直觀得出解集的公共部分，即不等式組的解集。

（3）數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用

函數(shù)對(duì)于初中生來是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，也是重要知識(shí)內(nèi)容。對(duì)于函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合思想是一個(gè)十分重要的解題手段。利用函數(shù)圖像能解決很多函數(shù)問題，而且有利于提升學(xué)生空間想象能力和邏輯推理能力。

例：對(duì)于函數(shù) ，下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ）

A.它的圖象分布在第一、三象限。

B.它的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形。

C.當(dāng)x﹥0時(shí)，y的值隨x的增大而增大。

D.當(dāng)x﹤0時(shí)，y的值隨x的增大而減小。

分析：函數(shù)中的k值為13﹥0，所以其圖象分布在第一、三象限，函數(shù)值y隨x的增大而減小，且反比例函數(shù)圖象都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。做此類題目，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，在熟悉反比例函數(shù)的性質(zhì)基礎(chǔ)上，就能快捷準(zhǔn)確地作出正確選擇。

2.數(shù)形結(jié)合思想在“數(shù)輔助形”中的具體運(yùn)用

（1）數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

例：函數(shù) 與y=5x+17的函數(shù)圖像有交點(diǎn)嗎？如果有，它們交點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？

分析：這題如果讓學(xué)生畫圖找交點(diǎn)，既耗時(shí)，同時(shí)也容易出錯(cuò)，如果利用數(shù)形結(jié)合的思想，可以把 與 y=5x+17轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次方程 和x-y=-17，然后聯(lián)立方程組，通過解方程組的解，而這解就是這兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)。

（2）數(shù)形結(jié)合思想在直角三角形中的應(yīng)用

如下圖，用儀器測(cè)量一棵大樹AB的高度，在C處測(cè)得∠ADG=30°，在E處測(cè)得∠AFG=60°，CE=8米，儀器高度CD=1.5米，求這棵樹AB的高度（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字， ≈1.732）.分析：這題能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用。首先，根據(jù)題意可得GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米，然后設(shè)AG=x米，GF=y米，則在Rt△AFG與Rt△ADG，利用正切函數(shù)，即可求得x與y的關(guān)系，解方程組即可求得答案。當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合的例子還不止這些，但從這些例子，我們更加肯定數(shù)形結(jié)合在初中階段教學(xué)中的重要性，它不僅使學(xué)生通俗易懂，而且能調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際應(yīng)用中的成效

本人在從教初中四年間，深深體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的重要性，比如，我現(xiàn)在所教的班級(jí)，在初一時(shí)我在教學(xué)時(shí)基本是“數(shù)”和“形”是分開的，在授課時(shí)學(xué)生覺得乏味，積極性不高，思維難以跟上老師的教學(xué)思路，以致對(duì)一些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)掌握不夠牢固，致使整個(gè)班的成績很不理想。在初二時(shí)，經(jīng)過不斷學(xué)習(xí)別人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，特別是采用數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用，教學(xué)中我把這種思想有機(jī)滲透和明確陳述結(jié)合起來，在考慮對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)觀念培養(yǎng)的同時(shí)，尤為重視數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想在解題中的指導(dǎo)作用，通過這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣調(diào)動(dòng)起來了，從要他學(xué)轉(zhuǎn)變我要學(xué)、我會(huì)學(xué)，突出表現(xiàn)為學(xué)生空間想象能力和邏輯推理能力提升了，因此解題能抓住條件，思路清晰，很多學(xué)生特別是成績中等偏上的學(xué)生從解題困難到游刃有余，經(jīng)過這樣教學(xué)方法，我所教的班級(jí)成績提升了，從初一平均分50分提升到60多分，特別令人可喜的是，在全國數(shù)學(xué)“希望杯”比賽中取得較大的突破，有三名學(xué)生在全國數(shù)學(xué)“希望杯”賽中榮獲三等獎(jiǎng)。

總之，數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是進(jìn)行素質(zhì)教育的需要。教師要進(jìn)一步注重它的科學(xué)性和系統(tǒng)性，把有機(jī)滲透和明確陳述結(jié)合起來，在考慮對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)觀念培養(yǎng)的同時(shí)，更應(yīng)該以一種創(chuàng)新的精神，以一種科學(xué)、有效的教學(xué)方法引導(dǎo)、傳授，就如高度重視數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想在解題中的指導(dǎo)作用，這樣才能在教與學(xué)中取得喜人的成效。

參考文獻(xiàn)：

[1]付東峰.中考中的數(shù)學(xué)思想方法：初中數(shù)學(xué)（修訂版）[M].龍門書局， 2013.

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