郭光錢
在中學(xué)數(shù)學(xué)教材及有關(guān)復(fù)習(xí)資料中,常見有“解方程得、解方程組得”。即使我們的老師認(rèn)真?zhèn)湔n,挖掘它解的過程展現(xiàn)給學(xué)生,學(xué)生在作業(yè),考試中出錯率也很高。所以我們的老師應(yīng)該而且必須認(rèn)真地挖掘解的過程,將它完整地奉獻(xiàn)給學(xué)生,教學(xué)中不要輕易地說“解得”。下面以“直線與圓”為例,說明數(shù)學(xué)教學(xué)中不容忽視的“解得”,加強(qiáng)解題過程的訓(xùn)練,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。
例1:已知兩條直線 和 若 且坐標(biāo)原點到兩條直線的距離相等,求 的值。
,
思考:這是怎么解得的呢?引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真思考,真正地解這個方程組還有一定的技巧,否則解的過程將會比較復(fù)雜。較好地解法是由①得: 代入②得: , 從而得 ,如果用○1得: 代入②得:
, 顯然這一解法比上述解稍復(fù)雜一點,且在絕對值問題上易出錯。
例2:為必修2,第119頁例2, 的三個頂點的坐標(biāo)分別是 , ,求它的外接圓的方程。
解:設(shè)所求圓的方程為 ,
,
的外接圓的方程為
點評:此方程組解的過程是:①-②得: ④,③-②得: ⑤,由④⑤得:
點評:如果我們的老師在教學(xué)中用“解得”一筆帶過,但我們的學(xué)生卻是“解而不得”。
例3.已知圓 和圓 相交于A、B兩點,求弦長AB的長。
, ,
點評:此方程組的解法是②-①得: ③,得 代入①得:: , 即 ,從而
例4.求與圓 外切且與直線 相切于點 的圓的方程。
解:圓C的方程可化為: 則圓心為 ,半徑為1.設(shè)所求圓的方程為:
所求圓的方程為:
點評:此方程組解法如下:由②③得:
(1)當(dāng) 時, 代入①, 得 解得:
(2)當(dāng) 時, 代入①得 解得:
在解此方程組時,若對方程③平方去絕對值符號,將出現(xiàn)“ab”項,增大運(yùn)算量。
綜上,除我們老師認(rèn)真?zhèn)湔n,挖掘教材,充分地展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展過程外,還應(yīng)鼓勵學(xué)生在平時的作業(yè)中,加強(qiáng)解題過程的細(xì)化訓(xùn)練,以提高學(xué)生的心算、口算、筆算,以及運(yùn)算方面的綜合能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。